Übungen zur Vorlesung Algebra und

Prof. Dr. F. Kalhoff
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2015/16
Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Blatt 1
Definition. Sei M ⊂ Rn eine Punktmenge im euklidischen Raum (d.h. dem Rn
mit dem Standardskalarprodukt h·, ·i). Eine Symmetrie von M ist eine orthogonale Abbildung f : Rn → Rn (d.h. linear und hf (v), f (w)i = hv, wi für alle
v, w ∈ Rn ) mit f (M ) = M .
Aufgabe 1. Es sei M ⊂ R2 das durch die Ecken (1, 0), (− 21 ,
gegebene reguläre Dreieck.
√
3
)
2
und (− 12 , −
√
3
)
2
a) Beschreiben Sie die Symmetrien von M durch Angabe orthogonaler Matrizen (als Darstellungsmatrizen der zugehörigen linearen Abbildungen).
b) Bezeichnen Sie die Ecken mit 1, 2 und 3. Nun beschreiben Sie erneut die
Symmetrien von M als Permutationen der Menge {1, 2, 3}. Geben Sie hierzu
eine Verknüpfungstafel an.
Aufgabe 2. Sei M eine endliche Menge, P(M ) bezeichne ihre Potenzmenge und
∆ : P(M )×P(M ) → P(M ), (A, B) 7→ A∪B\(A∩B). Zeigen Sie, dass (P(M ), ∆)
eine Gruppe ist.
Hinweis: Sie dürfen die DeMorganschen Regeln verwenden. Diese lauten für Mengen A, B ⊂ M : A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B, wobei die Komplemente als
in M gebildet zu verstehen sind.
Aufgabe 3.
a) Sei (G, ◦) eine Gruppe, in der x ◦ x = e gilt für alle x ∈ G. Zeigen Sie, dass
G abelsch ist.
b) Sei (G, ◦) eine Gruppe, und seien A, B ⊂ G Untergruppen. Geben Sie eine
hinreichende und notwendige Bedingung an, unter der A ∪ B ebenfalls eine
Untergruppe ist. Beweisen Sie die Richtigkeit ihrer Behauptung.
Definition. Eine Menge mit Verknüpfung (M, ·) heit Quasi-Gruppe, wenn für
jedes a ∈ M sowohl die Linkstranslation La : M → M , x 7→ a · x als auch die
Rechtstranslation Ra : M → M , x 7→ x · a bijektiv sind. Eine Quasi-Gruppe heißt
Loop, wenn sie ein neutrales Element besitzt.
Aufgabe 4. Geben Sie möglichst kleine Verknüpfungstafeln für Beispiele der
folgenden algebraischen Strukturen an:
a) eine Halbgruppe, die weder Monoid noch Quasi-Gruppe ist,
b) eine Quasi-Gruppe, die keine Loop ist,
c) ein Monoid, das weder Gruppe noch Quasi-Gruppe ist,
d) eine Loop, die keine Gruppe ist.
Abgabetermin: Donnerstag, der 29.10.15, 12:00 Uhr.