¨Ubungen Lineare Algebra 1.¨Ubungsblatt

Übungen Lineare Algebra
1. Übungsblatt
Aufgabe 1: Finden Sie für den Satz von Pythagoras a2 + b2 = c2 mindestens
einen Beweis mit rein geometrischen Methoden!
Aufgabe 2: Überlegen bzw. beweisen Sie an Hand von Venn-Diagrammen die
folgenden Gesetze für Mengenoperationen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Idempotenz: A ∪ A = A und A ∩ A = A
Assoziativgesetz: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) und (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Kommutativgesetz: A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A
Distributivgesetz: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C
Identitätsgesetz: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = A, A ∪ U = U, A ∩ U = A
Komplementaritätsgesetz: A ∪ A = U, A ∩ A = ∅, ( A ) = A, U = ∅, ∅ = U
Hinweis: Mit U ist die sog. Universalmenge bezeichnet, in der alle Mengen
eingebettet sind, und A ist das Komplement von A.
Aufgabe 3: Beweisen Sie (De Morgansches Gesetz):
a) (A ∪ B) = A ∩ B
b) (A ∩ B) = A ∪ B
Aufgabe 4: Zeigen/Überlegen Sie für die Teilmengenrelation:
a) Reflexivität: A ⊆ A, ∀A
b) Transitivität: A ⊆ B und B ⊆ C =⇒ A ⊆ C
c) Nicht kommutativ: A ⊆ B 6= B ⊆ A wenn A 6= B
Aufgabe 5: Stellen Sie Mengenrelationen zwischen den Mengen N, Z, Q, R, und
C auf.
Aufgabe
ist:
a)
b)
c)
d)
e)
6: Zeigen Sie, dass jede der folgenden Relationen äquivalent A ⊆ B
A∪B =B
A∩B =A
B⊆A
A∩B =∅
B∪A=U
%
1
Die folgenden Beispiele gelten nicht mehr als Hausaufgaben.
Aufgabe 7: Es sei die Menge M={0,1,2,3,4} mit der Restklassenaddition
a ⊕ b = c (mod 5) (d.h. c ist der Rest der ganzzahligen Division durch 5)
gegeben. Stellen Sie die Verknüpfungstafel auf und überprüfen Sie, ob (M,⊕)
die Gruppenaxiome erfüllt.
Aufgabe 8: Betrachten Sie die Menge der folgenden Transformationen auf ein
gleichseitiges Dreieck mit den Eckpunkten P1 , P2 , P3 :
a) I: Das Dreieck bleibt gleich
b) D± : Drehungen um den Schwerpunkt um ±120 Grad
c) S1 , S2 , S3 : Spiegelungen um die Seitenhalbierenden
Bildet diese Menge eine Gruppe? Stellen Sie gegebenenfalls die Verknüpfungstabelle auf und bestimmen Sie alle Untergruppen.
Aufgabe 9: Gegeben sei die abelsche Gruppe (Z, +).
a) Prüfen Sie, ob die geraden bzw. ungeraden ganzen Zahlen jeweils eine
Untergruppe bilden.
b) Sei H die Untermenge der Vielfachen von 5, i.e. H = {..., −10, −5, 0, 5, 10, ...}.
Ist H eine Untergruppe bzw. ein Normalteiler? Berechnen Sie gegebenenfalls die Nebenklassen von H in (Z, +), bilden Sie die Quotientengruppe Z/H := Z5 und stellen Sie deren Verknüpfungstabelle auf.
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