Wiederholung 2 - Ruhr

Wiederholung 2: Stetige Verteilungen und Statistik
Dichten, Verteilungsfunktionen, Kenngrößen wichtiger stetiger Verteilungen
Aufgabe 1:
1. Bestimme ein c > 0, so dass f (x) = 65 (x2 + x)I[0,c] (x) eine Dichte ist.
2. Berechne für das in 1. bestimmte c die Verteilungsfunktion zur Dichte f .
Aufgabe 2:
Es seien X, Y ∼ N (0, 1) unabhängige Zufallsvariablen.
1. Zeige, dass die Summe X + Y wieder normalverteilt ist.
2. Bestimme die Verteilung von σX + µ mit σ > 0.
3. Gib ein Beispiel dafür an, dass 1. für abhängige normalverteilte Zufallsvariablen im Allgemeinen
falsch ist.
Aufgabe 3:
Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit Parameter λ > 0.
1. Berechne Erwartungswert und Varianz von X.
2. Es sei weiter Y gleichverteilt auf dem Intervall [0, 2] und unabhängig von X. Berechne die Kovarianz
von X und XY 2 .
Satz von de Moivre-Laplace
Aufgabe 4:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vertreter A bei einem Kundenbesuch einen Verkauf abschließt beträgt
erfahrungsgemäß 0.1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 400 Kundenbesuchen zwischen 39
und 49 Verkäufe abschließt?
Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzer
Aufgabe 5:
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz 1. Betrachte
für n ≥ 2 die folgenden Schätzer:
µ̂1 =
1
(X1 + X2 ),
2
n
µ̂2 =
1 X
Xi ,
3n i=1
1. Welcher der Schätzer ist erwartungstreu?
2. Welcher der Schätzer ist asymptotisch erwartungstreu?
3. Welcher der Schätzer ist konsistent?
n
µ̂3 =
1 X
Xi
n − 1 i=1
Aufgabe 6:
Eine Münze wird n mal geworfen und es wird notiert, wie häufig Kopf“ fällt. Bestimme den Maximum”
Likelihood-Schätzer für die Wahrscheinlichkeit für Kopf“ und seine mittlere quadratische Abweichung.
”
Aufgabe 7:
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig normalverteilt mit bekanntem Erwartungswert µ und
unbekannter Varianz σ 2 > 0. Zeige, dass
n
1X
(Xi − µ)2
σ̂ =
n i=1
2
ein Maximum-Likelihood-Schätzer für σ 2 ist. Ist σ̂ 2 erwartungstreu?
Konfidenzintervalle, Tests
Aufgabe 8:
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch N (µ, 4) verteilte Zufallsvariablen.
1. Ist [X̄n −
√4 , X̄n
n
+
√4 ]
n
ein 0.95-Konfidenzintervall für µ?
2. Wie groß muss n sein, damit die Länge des Konfidenzintervalls kleiner als 1 ist?
3. Gibt es bessere Konfidenzintervalle?
Aufgabe 9:
X sei eine Stichprobe der Länge 1 mit Dichte f (x) = (λ − 1)x−λ I(1,∞) (x) für ein λ > 1. Getestet werden
sollen mit dem Test ϕ(x) = I{x > c} die Hypothesen
H0 : λ ≤ 4 gegen H1 : λ > 4.
1. Bestimme c so, dass es sich um einen Test zum Niveau α handelt.
2. Es sei nun λ = 5. Welche Fehlentscheidung kann auftreten? Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür.
Aufgabe 10:
Es seien X1 und X2 unabhängig identisch N (µ, 1)-verteilt. Betrachte die folgenden Tests für die Hypothesen H0 : µ = 0 gegen H1 : µ = 5:
√
ϕ1 (x1 , x2 ) = I{x1 > u1−α } und ϕ2 (x1 , x2 ) = I{x1 + x2 > 2u1−α }
1. Zeige, dass ϕ1 und ϕ2 beide Tests zum Niveau α sind.
2. Welcher Test ist besser? Betrachte dazu die Fehler 2. Art.