S. FX(x) fX(x) E[X] Var[X] diskret 26 Pr[X ≤ x] Pr[X = x] ∑ xfX(x) E[(X

S.
26
diskret
FX (x)
Pr[X ≤ x]
fX (x)
Pr[X = x]
XE[X]
xfX (x)
Var[X]
E[(X − E[X])2 ] = E[X 2 ] − E[X]2
x∈WX
Z
kontinuierlich
91
x
Pr[X ≤ x] = Pr[X < x] =
0
FX
(x)
fX (t)dt
−∞
Bernoulli
Binomial
(p)
(
1 − p für x = 0
1
für x = 1
47
Bin(n, p)
x
X
48
fX (k)
k=0
Geometrisch
Geo(p)
x
X
50
Poisson
54
Po(λ)
(
1−p
p
für x = 0
für x = 1
n x n−x
b(x; n, p) =
p q
x
(a, b)
104
Normal
N (µ, σ 2 )
105
Exp(λ)
Markov (S. 60)
E[X]
Pr[X ≥ t] ≤
t
109
Pr[|X − E[X]| ≥ t] ≤
Var[X]
t2
pq = p(1 − p)
np
npq
1
p
q
p2
fX (k)
e−λ λx
x!
x ∈ N0
λ
λ
a+b
2
(a − b)2
12
µ
σ2
1
λ
1
λ2
für x < a
x−a
für a ≤ x ≤ b
b−a


1
für x > b
Z x
Φ(x; µ, σ) =
ϕ(t)dt
Chebyshev (S. 61)
p
x ∈ N+
−∞
Exponential
E[(X − E[X])2 ] = E[X 2 ] − E[X]2
pq x−1


0
(
1 − e−λx
0
xfX (x)dx
fX (k)
k=0
Gleich
+∞
−∞
k=1
x
X
Z
falls x ≥ 0
sonst
(
1
b−a
für a ≤ x ≤ b
0
sonst
1
(x − µ)2
ϕ(x; µ, σ) = √
· exp −
2σ 2
2πσ
(
λ · e−λx falls x ≥ 0
0
sonst
P
Chernoff (S. 66, 69) für Bin oder Bernoulli
eδ
Pr[X ≥ (1 + δ)µ] ≤
δ > −1
(1 + δ)1+δ
1
Zufallsvariablen
Bestimmte Verteilungen
Unabhängigkeit (23, 40):
Normalverteilung und Normierung (S. 107):
Pr[A ∩ B] = Pr[A] · Pr[B]
Pr[X1 = x1 , X2 = x2 , . . . Xn = xn ] = Pr[X1 = x1 ] · Pr[X2 = x2 ] · · · Pr[Xn = xn ]
X ∼ N (µ, σ 2 ) =⇒ (aX + b) ∼ N (aµ + b, a2 σ 2 )
Bedingte Wahrscheinlichkeit (S. 14):
Pr[A ∩ B]
Pr[A|B] =
Pr[B]
X ∼ N (µ, σ 2 ) =⇒
Pr[A ∩ B] = Pr[B|A] · Pr[A] = Pr[A|B] · Pr[B]
Multiplikationssatz (S. 17):
Pr[a < X ≤ b] = Φ
Pr[A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ] = Pr[A1 ] · Pr[A2 |A1 ] · · · Pr[An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ]
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (S. 19):
X −µ
σ
b−µ
σ
∼ N (0, 1)
−Φ
a−µ
σ
Gedächtnislosigkeit (S. 111): genau bei Geo und Exp
Pr[B] = Pr[B|A] · Pr[A] + Pr[B|Ā] · Pr[Ā]
Pr[B] =
n
X
Pr[B|Ai ] · Pr[Ai ]
i=1
B⊆
[
˙ n
i=1
Pr[X > x + y|X > y] = Pr[X > x]
Ai
Faltung (S. 42):
Approximation durch Normalverteilung
Z := X + Y
fZ (z) =
X
fX (x) · fY (z − x)
x∈WX
Zentraler Grenzwertsatz (S. 123, Satz 2.40):
Pn Xi unabhängig, identisch verteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 . Yn := i=1 Xi . Konfidenzintervall!
Linearität des Erwartungswertes (S. 43):
Z := X1 + X2 + · · · + Xn
E[Z] = E[X1 ] + E[X2 ] + · · · + E[Xn ]
Zn :=
Yn − nµ
√
σ n
im Grenzfall n → ∞ : Zn ∼ N (0, 1)
Linearität der Varianz bei unabhängigen Zufallsvariablen (S. 46):
Z := X1 + X2 + · · · + Xn
Für n Bernoulliexperimente bzw. eine einzige Binomialverteilte Hn : Grenzwertsatz von
DeMoivre (S. 125, Satz 2.42):
Var[Z] = Var[X1 ] + Var[X2 ] + · · · + Var[Xn ]
Multiplikativität des Erwartungswertes bei unabhängigen Zufallsvariablen (S. 44):
Z := X1 · X2 · · · Xn
Hn − np
Hn∗ := p
np(1 − p)
E[Z] = E[X1 ] · E[X2 ] · · · E[Xn ]
2
im Grenzfall n → ∞ : Hn∗ ∼ N (0, 1)
Schätzer und Konfidenz
t-Test: Eine Zufallsvariable, σ unbekannt, µ zu testen. (S. 157)
Zwei-Stichproben-t-Test: Zwei Zufallsvariablen, µ zu vergleichen. (S. 159)
U erwartungstreuer Schätzer für ϑ wenn E[U ] = ϑ (S. 137 Definition 3.1)
X 2 -Anpassungstest: Eine endliche, diskrete Zufallsvariable, Verteilung insgesamt zu
P
1
2
MSE: Mean Squared Error n (U −ϑ) , bei erwartungstreuem Schätzer MSE= Var[U ]
testen. (S. 161)
MSE klein ⇔ Schätzer effizient. vlg. Aufg. 7.3.
Markovkette in diskreter Zeit: S. 172 ff.:
Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz (erwartungstreue Schätzer):
n
X̄ :=
1X
Xi
n i=1
n
S 2 :=
1 X
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
Likelihood L(~x; ϑ) :=
n
Y
Exponentieren von Matrix P :
Eigenwerte: P − λi · I = 0; Eigenvektoren: P · νi = λi · νi
D: Eigenwerte auf Diagonale; B: Eigenvektoren als Spaltenvektoren
P k = B · Dk · B −1 , einfach Diagonaleinträge potenzieren.
f (xi ; ϑ)
Tij = min{n ≥ 1|Xn = j, wennX0 = i} Übergangszeit von i nach j.
hij erwartete Übergangszeit, fij Ankunftswahrscheinlichkeit.
X
E[Tij ] = hij = 1 +
pik hkj
i=1
ML-Schätzwert ϑ̂ als Parameter, bei dem L(x; ϑ) minimal wird, durch Ableitung.
Konfidenzintervall [U1 , U2 ] zum Konfidenzniveau 1 − α: Pr[U1 ≤ ϑ ≤ U2 ] ≥ 1 − α
k6=j
2
Für n Stichproben von X ∼ N (µσ ) (S. 144, 3.4):
z(1− α ) σ
z(1− α ) σ 2
Pr X̄ − √
≤ µ ≤ X̄ + √ 2
=1−α
n
n
Pr[Tij < ∞] = fij = pij +
X
pik fkj
k6=j
Stationäre Verteilung: π = P π (S. 178, 4.9)
Kochrezept Konfidenzintervall:
(n)
1. Zentraler Grenzwertsatz ergibt standardnormalverteiltes Z
irreduzibel: Irreduzibel: pij > 0, im endlichen Fall äquivalent stark Verbunden.
Dann gibt es eine stationäre Verteilung.
2. Pr[−z(1− α ) ≤ Z ≤ z(1− α ) ] ≥ 1 − α
Periode: maximales ξ so dass {n ∈ N0 |pii > 0} ⊆ {i · ξ|i ∈ N0 }
2
3. Z 2 ≤ z(1−
α nach ϑ auflösen
)
aperiodisch: ξ = 1 bzw. ∃k : pij > 0
2
(n)
2
(k)
∧
(k+1)
pij
>0
2
ergodisch: irreduzibel und aperiodisch, konvergiert immer zu stationärer Verteilung.
Fahrplan Testverfahren:
Eine Doppelstochastische Übergangsmatrix (Zeilen- und Spaltensummen 1) führt zu
Gleichverteilung. (S. 188, 4.23)
Gauß-Test: Eine Zufallsvariable, σ bekannt, µ zu testen. (S. 156)
3
Markovkette in kontinuierlicher Zeit: S. 189 ff.:
λ Zufluss- und µ Abflussrate. Aufenthaltsdauer ∼ Exp(µ).
νij Übergangsrate von i zu j.
λi =
X
νji
µi =
X
νij
j6=i
j6=i
Verteilungsentwichlung S. 193; kontinuierliche Verteilung:
X
X
X
0=
πj νji − πi
νij
mit
πi = 1
j6=i
j6=i
i
Warteschlangen: S. 196 ff.
Ankunftsrate λ, Bearbeitungsrate µ
N Anzahl der Jobs im System (wartend und in Bearbeitung)
Verkehrsdichte ρ = µλ < 1, sonst Divergenz.
E[N ] =
X
k · πk =
k≥0
ρ
1−ρ
Var[N ] =
ρ
(1 − ρ)2
Ri Antwortzeit (Gesamtverweildauer) für Job i, E[N ] = λ · E[R]
Birt-and-Death S. 200 ff.
M/M/k-Schlangen s. Aufgabe 10.4.
4