MSG-Hausaufgaben Blatt 12

MSG-Hausaufgaben Blatt 12
Abgabe: 15.12.2015
Anastasia Prokudina, Simone Zahn
Aufgabe 1. Gegeben ist das Drachenviereck ABCD. Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit zwei paar benachbarter gleich langer Seiten, in diesem Fall gilt AB = DA und
BC = CD.
Mit S bezeichnen wir den Schnittpunkt der Diagonalen (du darfst annehmen, dass
sich S im Inneren des Vierecks befindet).
C
D
S
B
A
a) Zeige dass die Dreiecke 4ABC und 4ACD kongruent sind.
b) Zeige damit die Kongruenz von 4ABS und 4ASD.
Hinweis: Aus der Kongruenz in a) folgt, dass die Winkel und Seitenlängen der Dreiecke 4ABC und 4ACD übereinstimmen.
c) Folgere aus der Kongruenz in b), dass die beiden Diagonalen des Vierecks ABCD
senkrecht aufeinander stehen. (Das heißt, dass ^ASB = 90◦ gilt. )
d) Ist die folgende Aussage richtig?
Wenn in einem (jetzt wieder allgemeinen) Viereck ABCD die Diagonalen senkrecht
stehen, dann ist es ein Drachenviereck.
Wenn die Aussage richtig ist, dann beweise sie, wenn sie falsch ist, zeichne ein Gegenbeispiel.
e) Zusatz: Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und
eine der beiden Diagonalen durch den Diagonalenschnittpunkt halbiert wird, so ist
das Viereck ein Drachenviereck.
Aufgabe 2. Anna führt Paul einen Zaubertrick vor. Sie sagt: Denk dir eine natürliche
Zahl, sag sie mir aber nicht. Addiere diese Zahl nun zu den 6 darauffolgenden Zahlen.
Das Ergebnis teilst du durch 7. Nun multipliziere deine Zahl mit 10 und addiere 4 zu
dem Ergebnis! Welche Zahl erhälst du?
Paul antwortet: 24! Daraufhin sagt Anna, dass er sich wohl verrechnet haben muss.
Nach kurzem Überlegen stimmt Paul zu, dass das eigentliche Ergebnis 54 ist. Anna weiß
sofort, dass Paul sich die Zahl 2 gedacht hatte.
Woher wusste Anna, dass Paul sich verrechnet hat?
Wie funktioniert der Zaubertrick?
Aufgabe 3. Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M . Auf dem Kreis liegen (in dieser
Reihenfolge) die Punkte A, B, C, D so, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
• Die Gerade AB geht durch M .
• Die Strecken BD und AM haben die gleiche Länge.
• Die Strecken BC und CD haben die gleiche Länge.
Berechne die Innenwinkel des Vierecks ABCD!
Tipp: Berechne zuerst die Innenwinkel des Dreiecks 4ABD, indem du die Hilfsstrecke
M D einzeichnest. Versuche daraus den Innenwinkel bei C zu bestimmen.