Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten, bearbeitet von Verena

Konkretes Beispiel mit
Lösungsschritten,
bearbeitet von Verena Lindner und
Nicole Schieferer, Jänner 2004
Aufgabenstellung:
Löse die Gleichung
4 - / x + 2 / > 2x + 5
in G = IR und veranschauliche die
Lösung grafisch;
Erläuterung zu den Lösungsschritten und mathematische
Kompetenzen
Beim gegebenen Beispiel handelt es sich um eine BetragsUngleichung. Es sind jene Zahlen zu „suchen“, welche beim
Einsetzen in die gegebene Ungleichung eine wahre Aussage ergeben.
Wie bei jeder „Suchaufgabe“ sind auch in diesem Fall mit der
Aufgabe drei Fragen verbunden:
Was sucht man? Man sucht eben die Menge aller Zahlen, welche
die gegebene Ungleichung erfüllen, welche also beim Einsetzen in
die Ungleichung eine wahre Aussage ergeben.
Wo sucht man? In der gegebenen Grundmenge, im konkreten
Beispiel also der Menge aller reellen Zahlen.
Wie sucht man? Dazu verwendet man Umformungen, mit deren
Hilfe man die Ungleichung vereinfacht, bis x alleine auf einer Seite
steht und die Lösung somit einfach abgelesen werden kann.
Natürlich darf die Lösungsmenge im Verlaufe der Umformungen
nicht verändert werden, sonst könnte ja von der am Ende gefundenen
Lösungsmenge ja nicht mehr auf die ursprünglich gesuchten
Lösungsmenge geschlossen werden ! Umformungen, welche dies
leisten – welche die Lösungsmenge also nicht verändern – nennt man
Äquivalenzumformungen !“
Mathematische Kompetenzen:
Aufgabenstellung bei Ungleichungen verstehen;
Begriff „Betrag einer Zahl“ verstehen und damit arbeiten
können; Begriffe „Lösungs- und Grundmenge“ kennen;
Unterscheidung zweier Fälle, je
nachdem ob x+2 ≥ 0 (Æ Fall 1) oder
x+2 < 0 (Æ Fall 2) gilt. Abhängig davon
kann /x+2/ = (x+2) bzw. /x+2/ = (-x-2)
gesetzt werden und somit anstelle der
„unangenehmen“ Betragsungleichung
mit einer einfacheren linearen
Ungleichung weitergerechnet werden !
Da im konkreten Fall in der Ungleichung ein Betrag vorkommt, muss
eine Fallunterscheidung angewendet werden ! Dabei wird
unterschieden, ob der Ausdruck im Betrag positiv oder negativ (bzw.
gleich 0) ist, denn davon hängt es ab, wie der Betrag berechnet
werden kann. Beachte: Ist der Ausdruck im Betrag positiv, sind die
Betragszeichen überflüssig und man kann diese einfach weglassen
bzw. durch eine Klammer ersetzen, z.B.: /4/ = 4!
Ist der Ausdruck im Betrag aber negativ, ändert der Betrag den
Zahlenwert auf den entsprechenden positiven Wert ab. In diesem Fall
erzwingt der Betrag also die Multiplikation des Ausdrucks mit –1:
z.B.: /-4 /= (-4)⋅(-1) = 4 !
Also:
/positive Zahl/ = Zahl selber
/negative Zahl/ = Zahl ⋅(-1)
Da nun x+2 aber abhängig davon, welche Zahl wir für x einsetzen,
positiv oder negativ sein kann, ist nicht klar, welche Variante
vorliegt, ob wir also /x+2/ durch (x+2) oder (x+2)⋅(-1) ersetzen
können. Diese Entscheidung wird erst durch die Annahme zweier
Fälle klar.
Mathematische Kompetenzen:
Wissen was der Betrag einer Zahl bedeutet; mit Beträgen
rechnen können; entsprechende Fallunterscheidungen
vornehmen können;
Fall 1: x + 2 ≥ 0 ⇒
„Fallbedingung x ≥ - 2“
Wegen x + 2 ≥ 0 gilt /x+2/ = (x+2) und
somit kann die Betragsungleichung
4 - / x + 2 / > 2x + 5
in der Form
Entscheidend für die Fallunterscheidung ist also das
Vorzeichen des Ausdrucks x+2. Dieser Ausdruck kann negativ,
positiv oder Null sein.
Im 1.Fall nehmen wir an, dass x +2 ≥ 0 ist.
Für die damit angesprochenen Zahlen (x ≥ -2) können wir
(weil x+2 ja als positiv bzw. Null angenommen wird) den
Betrag /x+2/ einfach durch (x+2) ersetzen, wodurch aus der
“unangenehmen“ Betragsungleichung eine „einfachere“ lineare
Ungleichung wird.
Diese können wir mit Hilfe elementarer
Äquivalenzumformungen lösen.
4 – ( x + 2 ) > 2x + 5
geschrieben werden.
4 – x – 2 > 2x + 5
2 – x > 2x + 5
-3x > 3
/ : (-3)
x<-1 ⇒
„Lösungsbedingung x < -1“
Elemente von L1 müssen somit
insgesamt folgende Bedingungen
erfüllen:
Also gilt:
L1 = {x ∈ IR / (x≥-2) ∧(x<-1)}
L1 = [ -2; -1 [
Beachte insbesondere die letzten beiden Zeilen: da wir
die Umgleichung durch eine negative Zahl dividieren,
müssen wir das Ungleichheitszeichen umdrehen !
Damit die im ersten Fall untersuchten Zahlen Lösungen sind,
müssen sie die also die
„Lösungsbedingung x < -1“
erfüllen.
Fall- und Lösungsbedingung legen gemeinsam die
Lösungsmenge des 1. Falls fest. Lösungen müssen beide
Bedingungen erfüllen. Für welche Zahlen dies der Fall ist, kann
man mit Hilfe einer grafischen Darstellung der Bedingungen
auf der Zahlengeraden leicht erkennen.
Offensichtlich handelt es sich um die Zahlen zwischen –2
und – 1, sodass L1 = [-2 ; -1[ gilt. Beachte, dass –2 selber eine
Lösung ist (deshalb die Klammer bei der Intervallschreibweise
nach innen), -1 hingegen nicht (Klammer nach außen) !
Mathematische Kompetenzen:
Lineare Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen
lösen können; mit der Intervallschreibweise arbeiten können;
eine Lösungsmenge aus zwei Bedingungen im Sinne einer
„und – Verknüpfung“ bestimmen können;
Fall 2: x + 2 < 0 ⇒
Nun zum zweiten Fall !
„Fallbedingung x < - 2“
In diesem Fall gehen wir von der anderen Möglichkeit aus,
nämlich dass x+2 negativ ist.
Anders als im 1.Fall, können wir hier den Betrag nicht einfach
durch eine Klammer ersetzen, vielmehr gilt wegen x+2 < 0:
/ x+2/ = (x+2)⋅(-1) = (-x-2)
Wegen x + 2 < 0 gilt /x+2/ = (-x-2) und
somit kann die Betragsungleichung
Wieder wird die resultierende lineare Ungleichung mit Hilfe
von Äquivalenzumformungen vereinfacht, bis x alleine auf
eine Seite steht und die Lösungsbedingung für x somit einfach
abgelesen werden kann !
Wieder müssen wir am Ende mit einer negative Zahl dividieren
und deshalb das Ungleichheitszeichen umdrehen !
4 - / x + 2 / > 2x + 5
in der Form
4 – (-x - 2 ) > 2x + 5
geschrieben werden.
4 + x + 2 > 2x + 5
6 + x > 2x + 5
-x > -1
x <1 ⇒
/ ⋅ (-1)
„Lösungsbedingung x < 1“
Bezogen auf die im gegeben 2.Fall eingeschränkte
Verknüpfung von Fall- und
Lösungsbedingung legt L2 wie folgt fest: Grundmenge x < -2 sind also offensichtlich die links von –2
liegenden Zahlen Lösungen und somit Elemente von L2 !
Also: L1 = {x ∈ IR / (x<-2)}
L1 = [ -∝; -2 [
Mathematische Kompetenzen:
Wissen, dass bei der Multiplikation und Division einer
Ungleichung mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen
umgedreht werden muss !
Die Gesamtlösungsmenge umfasst nun alle im 1. oder 2. Fall
gefundenen Lösungen. Es gilt also: Lges = L1 U L2. Da L2 alle
Zahlen links von –2 umfasst und L1 alle anschließenden Zahlen
von – 2 bis –1, umfasst Lges einfach alle Zahlen links von –1.
Lges kann somit kompakter in der Form ]-∝ ; -1[ geschrieben
werden !
Lges= L1 U L2 = ] - ∞ ; -1[
Mathematische Kompetenzen:
Gesamtlösungsmenge aus zwei Teillösungsmengen „additiv“
(vereinigend) zusammenfassen können;
Nun zur grafischen Interpretation der Lösung:
Die linke Seite der Ungleichung beschreibt die Kurve
y1 = 4 - /x+2/, die rechte Seite repräsentiert die Gerade
g: y2 = 2x + 5. Bezogen auf den grafischen Bezug des Beispiels
lautet die Frage:
Wo verläuft y1 oberhalb von y2 ?
( 4 - / x+2 / > 2x + 5 )?
Aus der Skizze (angefertigt mit DERIVE) ist ersichtlich, dass
dies genau links von x = -1 der Fall ist.
Also gilt: L = ]-∝ , -1[ was sich mit der rechnerisch erhaltenen
Lösung deckt ! Vergleiche oben !
Mathematische Kompetenzen:
Eine Ungleichung grafisch im Sinne der Frage interpretieren können, „Wo
verläuft die eine Kurve ober- bzw. unterhalb der anderen“;
Kurven mit DERIVE zeichnen können;
Bestimmte Bereiche im Verlauf einer Kurve bezogen auf die
x – Achse herauslesen und in Intervallschreibweise angeben können;