2004

Ergänzungsprüfung
zum Erwerb der Fachhochschulreife 2004
Prüfungsfach:
Mathematik
(nichttechnische Ausbildungsrichtung)
Prüfungstag:
Prüfungsdauer:
Donnerstag, 24. Juni 2004
09:00 - 12:00 Uhr
Hilfsmittel:
elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner,
zugelassene Formelsammlung
Hinweise:
Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben.
Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu
bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule.
Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.
- 2 Analysis: Aufgabe 1
BE
1.0 Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt
die x-Achse an der Stelle x 0 = – 3 und hat im Punkt A(– 5 ; – 4) die
Steigung m = 4,5.
9
1.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f.
1 3


2
Ergebnis : f ( x ) = 8 ( x + 3x − 9x − 27 ) 
3
1.2 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen von f.
5
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extremalpunkte sowie die
Koordinaten des Wendepunktes W von G(f).
[Teillösung: W ( − 1; − 2)]
3
1.4 Zeichnen Sie den Graphen G(f) im Bereich − 5 ≤ x ≤ 4 unter
Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein rechtwinkliges
Koordinatensystem ein (1 LE = 1 cm).
3
1.5 Eine Gerade g schneidet den Graphen G(f) im Wendepunkt, die x-Achse
im Punkt B(3; 0).
Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf und zeichnen Sie die Gerade g
in das Koordinatensystem ein.
2
1.6 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Wendetangente und der Geraden g.
25
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- 3 Analysis: Aufgabe 2
BE
2.0
Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung
1
f ( x ) = − ( x 4 − 8x 2 − 128 ) .
32
Der Graph der Funktion wird mit G(f) bezeichnet.
1
2.1
Untersuchen Sie G(f) auf Symmetrie.
3
2.2
Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f.
8
2.3
Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extremalpunkte sowie die
Koordinaten der Wendepunkte von G(f).
3
2.4
Zeichnen Sie den Graphen G(f) in ein Koordinatensystem
im Bereich – 4 ≤ x ≤ 4 (1 LE = 1 cm).
2.5
Die Gerade mit der Gleichung x = u mit u ∈ [0 ; 4], u ∈ IR schneidet G(f)
im Punkt Q und die x-Achse im Punkt P. Zusammen mit dem
Koordinatenursprung O legen diese Punkte das Dreieck OPQ fest.
1
2.5.1 Zeichnen Sie für u = 3 das Dreieck in das Koordinatensystem ein.
3
2.5.2 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ in Abhängigkeit von u.
1 5


3
Ergebnis : A ( u ) = − 64 (u − 8u − 128u )
6
2.5.3 Für welchen Wert von u nimmt der Flächeninhalt seinen größten Wert an?
Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt.
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- 4 Analysis: Aufgabe 3
BE
3.0
In einem Monopolbetrieb kann die Nachfrage (Stückzahl x) über den
Stückpreis p(x) gesteuert werden. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl x,
Stückpreis p(x) und den bei der Produktion entstehenden Gesamtkosten K(x)
ist in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt.
Stückzahl
Stückpreis
Gesamtkosten Umsatz
x
p(x)
K(x)
0
-
1000 €
100
67,5 €
3000 €
200
55,0 €
5000 €
300
42,5 €
7000 €
U(x)
Gewinn
G(x)
4
3.1
Bestimmen Sie die lineare Preisfunktion p: p(x) = mP x + tP.
[Ergebnis: p(x) = – 0,125x + 80]
4
3.2
Bestimmen Sie die lineare Gesamtkostenfunktion K: K(x) = mK x + tK.
2
3.3
Ermitteln Sie die Umsatzfunktion U : U(x) = x ⋅ p(x)
4
3.4
Bei welcher Stückzahl wird der maximale Umsatz erzielt?
2
3.5
Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G : G(x) = U(x) − K(x) .
[Ergebnis: G(x) = – 0,125x2 + 60x – 1000]
4
3.6
Bei welchen Produktionszahlen arbeitet der Betrieb mit Gewinn?
5
3.7
Welchen Gewinn kann der Betrieb maximal erzielen?
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- 5 Analysis: Aufgabe 4
BE
4.0
Eine Glashütte stellt kegelförmige
Eisbecher her. Die Mantellinie s des
Kegels beträgt dabei immer s = 10 cm.
r
h
s = 10 cm
Das Volumen des Bechers ändert sich,
wenn die Höhe h und damit gleichzeitig
der Radius r verändert werden.
5
4.1
Stellen Sie das Volumen des Kegels als Funktion der Höhe h dar und
geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.
π 3 100 ⋅ π 

Teilergebnis : V(h) = − 3 h + 3 h 
9
4.2
Bestimmen Sie denjenigen Wert von h, für den das Volumen des Kegels
seinen absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie dieses Volumen.
4
4.3
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion V(h) in ein rechtwinkliges
Koordinatensystem. Fertigen Sie dazu eine Wertetabelle im Bereich
0 ≤ h ≤ 10 mit Schrittweite ∆h = 2 cm.
h-Achse: 1 LE = 1 cm;
V-Achse: 1 LE(= 1 cm) = 50 cm3
6
4.4
Bestimmen Sie durch Rechnung, für welche Werte von h das Volumen
V = 64π cm3 beträgt.
1
4.5
Ermitteln Sie die Lösungen von Aufgabe 4.4 zeichnerisch.
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- 6 Analytische Geometrie
BE
5.0
4
5.1
5
5.2
4
5.3
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
A(–3; 7; 2), B(–2; 8; 1), C(–4; 9; 3) und Da(6; 7; a+9) mit a∈ IR und
 12 
r  
der Vektor d =  9  gegeben.
 28 
 
r r
uur
r uuur r uuur uur uuuuur
Für die Vektoren a, b, und c a gilt: a = AB, b = AC, c a = ADa .
r r
uur
Für welche Werte a∈ IR sind die Vektoren a, b, und c a linear unabhängig?
r r
uur
Die Vektoren a, b, und c 4 mit a = 4 sind linear unabhängig.
r
r r
uur
Stellen Sie den Vektor d als Linearkombination der Vektoren a, b, und c 4 dar.
uur
Für welche Werte a∈IR hat der Vektor c a die Länge 9 ⋅ 2 LE?
5.4.0 Nun sei a = 2.
2
r
uur
5.4.1 Zeigen Sie, dass für a = 2 die Vektoren a und c 2 und gleichzeitig die Vektoren
r
uur
b und c 2 aufeinander senkrecht stehen.
3
5.4.2 Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC.
3
5.4.3 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD2.
4
5.4.4 Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ACD2.
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