V - FH Dortmund

Physik III
im Studiengang Elektrotechnik
- 1. Hauptsatz der Thermodynamik -
Prof. Dr. Ulrich Hahn
WS 2008/09
Energieerhaltung
Erweiterung des Energieerhaltungssatzes der Mechanik
berführbar
Erfahrung: verschiedene Energieformen sind ineinander überfü
der Energieträ
Energieträger kann wechseln
mechanische Arbeit Wärme
R. Mayer (1842)
mechanisches Wä
Wärmeä
rmeäquivalent
J. Joule (1850)
Wärme mechanische Arbeit
Dampfmaschine
aber: 2. Hauptsatz
es gibt keine reibungsfreie Bewegung
esgibt
gibtkein
keinPerpetuum
PerpetuumMobile
Mobile(1.
(1.Art)!
Art)!
es
1. Hauptsatz
2
Formulierungen des 1. Hauptsatzes
H. v. Helmholtz (1847):
in einem abgeschlossenen System
bleibt die Gesamtenergie konstant
Gesamtenergie innere Energie
Nicht zur inneren Energie gehören:
⇒ U = const. ; ∆U = 0
Epot des Systems
Ekin des Systems
nicht geschlossene Systeme:
H. v. Helmholtz:
1. Hauptsatz
es gibt keine Maschine, die stä
ständig Arbeit
abgibt ohne Energie aufzunehmen
3
Änderung der inneren Energie
geschlossene Systeme:
System
U
Energie
makroskopisch geordnete Bewegung: mechanische Arbeit W
reversibel Kolbenbewegung
irreversibel Rührer
mikroskopisch ungeordnete Bewegung Wärme Q
irreversibel Heizung
Wärmeleitung
Konvektion
Strahlung
offene Systeme:
System
U
1. Hauptsatz
Materie
Energie
makroskopisch geordnete Bewegung
Ekin des Massenstroms
mikroskopisch ungeordnete Bewegung
T des Massenstroms
4
U : Zustandsgröße?
Kreisprozess (geschlossenes System):
Folge v. Zustandsänderungen mit ZE = ZA
U1´= U3 + E13
P1, V1, T1
U1
E21 = W21 + Q21
System:
P, V, T
P2, V2, T2
U2
W
Q
U2 = U1 + E21
E32 = W32 + Q32
E13 = W13 + Q13
P3, V3, T3
U3
U3 = U2 + E32
Umlauf: System ist wieder im Zustand 1:
System: Perpetuum Mobile
U1´ < U1: System gibt Energie ab
U1´ > U1: Umgebung gibt Energie ab Umgebung: Perpetuum Mobile
1. Hauptsatz
U1´ = U1 ; ∆U = 0
5
Zustandsgröße U
Kreisprozeß: ∆U = 0
⇒ U ist Zustandsgröß
Zustandsgröße
öße
beliebige Zustandsänderung:
∆U = U 2 − U1
unabhängig von der Art der Zustandsänderung
1. Hauptsatz fü
für geschlossene Systeme:
∆U = Qzu + Wzu − Qab − Wab
Prozessgrößen
ößen
Wärme, mechanische Arbeit: Prozessgröß
abhängig von der Art der Zustandsänderung
Konvention: dem System zugeführte Energien: > 0
vom System abgegebene Energien: < 0
1. Hauptsatz
6
Kreisprozesse I
∆U = 0 = Qzu − Qab + Wzu − Wab
Wärmekraftmaschine
Kühlschrank,
Wärmepumpe
≠0
>0
≠0
< 0 Wärme mech. Arbeit
<0
> 0 mech. Arbeit Wärme
Prozess oder Zustandsänderung:
zeitliche Folge von Ereignissen
Kausalitä
Kausalität: vorausgehende Ereignisse nachfolgende Ereignisse
System wechselwirkt mit der Umgebung
irreversibel Ausgleichsprozess
reversibel
Umkehrung ohne Änderung der Umgebung
immer im Gleichgewicht quasistatisch
1. Hauptsatz
7
Wärmekapazität
Änderung von U:
System:
P, V, TA
Q
System:
P, V, TE
Änderung der Temperatur des Systems
Ausnahmen:
Änderung des Aggregatzustandes
isotherme Zustandsänderung
Welche Temperaturänderung bewirkt Q?
dQ = C ⋅ dT
C: Wä
Wärmekapazitä
rmekapazität des Systems
Q: Prozessgröße ⇒ C: Prozessgröße
J
[C ] =
K
C
spezifische W.
definieren: cs :=
C = C(m) oder C(ν)
m
C abhängig vom Material
C
molare W.
cm :=
C = C(T)
ν
1. Hauptsatz
8
Wärmekapazität idealer Gase
isochore Zustandsänderung:
Q
dQ V =const = CV ⋅ dT
CV : isochore Wärmekapazitä
rmekapazität
Qicr =
TE
∫C
V
TA
1. Hauptsatz
⋅ dT = ∆U
gilt fü
für beliebige Prozesse TA TE
9
Wärmekapazität idealer Gase
isobare Zustandsänderung:
dQ P =const = C P ⋅ dT
CP : isobare Wärmekapazitä
rmekapazität
zusätzlich: Gasvolumen ändert sich
Temperaturänderung, mechanische Arbeit
dQibr = dU + P(V ) ⋅ dV
C P = CV + ν ⋅ R
Häufig verwendet: Enthalpie
P = const
W
VE, TE
VAP,TA
P
Q
cPm = cVm + R
cPs = cVs + Rs
Qibr = ∆U + P ⋅ ∆V = ∆(U + P ⋅V ) = C P ∆T = ∆H
H := U + P ⋅ V
1. Hauptsatz
10
Innere Energie ungeordnete Bewegung
Molekularbewegung im idealen Gas:
Moleküle:
Massenpunkte
Wechselwirkung: Kollisionen untereinander, mit Gefäßwand
große Molekülzahl:
statistische Betrachtung
1 Molekül (eindimensional):
Impulsübertrag auf die Gefäßwand:
Strom von Molekülen
(eindimensional):
∆p = 2 ⋅ mM ⋅ v⊥
Kraft auf die Gefäß
Gefäßwand
äßwand
Druck im Gefäß
Gefäß
Schwerpunkt des Gases ruht:
F N ⋅ mM 2
1
v⊥
N (v x ) = N ⇒ P = =
A
V
2
1. Hauptsatz
11
thermische Energie
P=
Bewegung der Moleküle kinetische Energie
N
⋅ 2 ⋅ Ekin, x
V
Geschwindigkeiten der Moleküle mittlere kinetische Energie
⇒ P ⋅ V = N ⋅ 2 ⋅ Ekin, x = N ⋅ k ⋅ T
eindimensionale Bewegung:
1 Freiheitsgrad d. Molekü
Moleküls
Ekin, x
ungeordnete Bewegung
Temperatur
1
= ⋅ k ⋅T
2
thermische Energie
Freiheitsgrad
3-dim. Gefäße: Druck Kräfte in x, y, z - Richtung
Bewegung in x, y, z - Richtung gleich wahrscheinlich
N/3 in x-, N/3 in y-, N/3 in z - Richtung
1. Hauptsatz
Ekin, x
1
= ⋅ Ekin
3
Ekin
3
= ⋅ k ⋅T
2
12
Freiheitsgrade
Translation:
3 Freiheitsgrade
Gleichverteilungssatz:
Gasgemische:
ImMittel
Mittelweisen
weisenalle
alleFreiheitsgrade
Freiheitsgrade
Im
diegleiche
gleichethermische
thermischeEnergie
Energieauf
auf
die
schwere Moleküle fliegen langsamer!
Moleküle: ausgedehnte Objekte
Rotation um Schwerpunkt
(elastische) Deformation
Rotation: 3 Hauptträgheitsachsen 3 Freiheitsgrade
2 Freiheitsgrade
lineare Moleküle: Jz << Jx, Jy
Schwingung:
1. Hauptsatz
E pot = Ekin
2 Freiheitsgrade/Feder
1
EM = ( fT + f R + f S ) ⋅ k ⋅ T
2
13
Wärmekapazität – innere Energie
f
f
ideales Gas: U = N k ⋅ T = ν ⋅ R ⋅ T
2
2
dU
= CV ⇒
dT
cVm =
f
R
2
isochoreWärmekapazität
Wärmekapazität
Freiheitsgrade
Freiheitsgrade
Molek
Molekülstruktur
isochore
ülstruktur
leicht meßbar:
Adiabatenexponent
Clement-Desormes
Rüchardt
Flammersfeld
Gas
f +2
CP
=
κ :=
f
CV
cVm
cPm κ
}f=3
}f = 5
} f=7
1. Hauptsatz
f=6
f>7
f=6
14
Ausfrieren von Freiheitsgraden
Temperaturabhängigkeit von CV:
+ Schwingung
+ Rotation
Translation
kleine Temperaturen: Rotation und Schwingung fallen aus
kT < Emin
r
h
Rotation: | L | = l ⋅ , l ∈ ℵ
Emin Quantenphysik
1. Hauptsatz
2
1
Schwingung: E = h ⋅ ω ⋅ (n + ); n ∈ ℵ
2
15
Wärmekapazität von Kristallen
thermische Ausdehnung nicht behindern
thermische Ausdehnung klein:
kinetische Theorie:
⇒
c = 3⋅ R
m
V
Krä
Kräfte
C P ≈ CV
Atome schwingen in 3 Dimensionen f = 6
J
= 24 ,93
mol ⋅ K
unabhä
unabhängig vom Material
Dulong – Petit - Regel
gültig für:
hohe Temperaturen
schwere Elemente
Ausfrieren d. Freiheitsgrade:
kollektive Schwingungen
(Wellen, Phononen)
1. Hauptsatz
16
Wärmekapazität von Flüssigkeiten
„lockere“ Bindung der Moleküle
unterschiedliche Bewegungsmöglichkeiten
Zahl der Freiheitsgrade unbestimmt
CP, CV nur experimentell bestimmbar
1. Hauptsatz
Wasser: guter Wärmespeicher
17
Kalorimetrie
Messung der Wärmekapazität von Festkörpern oder Flüssigkeiten
abgeschlossenes System (Thermosgefäß)
Flüssigkeit, c1 bekannt
2 Subsysteme
Meßobjekt, c2 unbekannt
TE
Anfangszustand: Temperaturunterschied
Endzustand:
thermisches Gleichgewicht
T2
System 1:
T1
T1
Q1 Q2
Q1 = C1 ⋅ (TE − T1 )
= − Q2
System 2:
T2
= − C2 ⋅ (TE − T2 )
n
n Subsysteme im abgeschlossenen System:
c2s =
1. Hauptsatz
m1 ⋅ c ⋅ (TE − T1 )
m1 ⋅ (T2 − TE )
s
1
∑Q
i =1
i
=0
Richmannsche Mischungsregel
18
spezielle Zustandsänderungen idealer Gase
reversible Prozesse
geschlossene Systeme Energietransfer
Wärme
Volumenänderungsarbeit
VE
r r
r r = − P ⋅ dV
WV = ∫ F • ds = ∫ P ⋅ da • ds
∫
VA
Betrachtung im
Arbeitsdiagramm
P
P(V )
WV
VA
1. Hauptsatz
VE
V
19
isotherme Zustandsänderung
T=const
T=const
Zustandsänderung bei T = const
unabhängige Zustandsgröße: V
P, V
T=const
BoyleBoyle-Mariotte:
Mariotte: P ⋅V = const
T=const
1
P(V ) = ν ⋅ R ⋅ T ⋅
V
VE
WV = − ∫ P(V ) ⋅ dV
VA
V
= −ν ⋅ R ⋅ T ⋅ ln( E )
VA
T = const ⇒ ∆U = 0 = WV + Q
VE
Q = −WV = ν ⋅ R ⋅ T ⋅ ln( )
VA
was an Wärme aufgenommen wird,
wird an mechanischer Arbeit abgegeben
1. Hauptsatz
20
isochore Zustandsänderung
P, T,
V = const
Zustandsänderung bei V = const
unabhängige Zustandsgröße: T
Q
GayGay-Lussac:
Lussac:
P
= const.
T
VE
WV = − ∫ P(V ) ⋅ dV = 0
VA
TE
Q = ∫ CV ⋅ dT = ν ⋅ c ⋅ (TE − TA )
m
V
TA
1. Hauptsatz
f
= ν ⋅ R ⋅ ⋅ (TE − TA ) = ∆U
2
21
isobare Zustandsänderung
Zustandsänderung bei P = const
unabhängige Zustandsgröße: T
V, T
P=const
GayGay-Lussac:
Lussac:
V
= const.
T
Q
VE
WV = − ∫ P(V ) ⋅ dV
= − P ⋅ (VE − VA )
VA
TE
Q = ∫ C P ⋅ dT
TA
1. Hauptsatz
f +2
⋅ (TE − TA )
= ν ⋅ c ⋅ (TE − TA ) = ν ⋅ R ⋅
2
m
P
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adiabatische Zustandsänderung
Zustandsänderung ohne Wärmeaustausch
unabhängige Zustandsgröße: V
P(V), T(V) @ Q = 0
1. Hauptsatz:
dU = CV ⋅ dT= − P (V , T ) ⋅ dV ( +dQ )
ν ⋅ R ⋅ T (V )
⇒ CV ⋅ dT = −
⋅ dV
V
TE ⋅VEκ−1 = TA ⋅ VAκ−1
1. Hauptsatz
DGL, gesuchte Funktion: T(V)
T ⋅ V κ−1 = const.
P ⋅ V κ = const.'
T κ ⋅ P1−κ = const.' '
Poissonsche
Gleichungen
W = ν ⋅ cVm ⋅ (TE − TA ) = PE ⋅VE − PA ⋅VA
κ −1
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polytrope Zustandsänderung
isotherme, -chore, -bare, adiabatische Zustandsänderung:
Idealisierung realer Zustandsänderungen
isotherm:
perfekter Wärmekontakt
mit der Umgebung
adiabatisch: kein Wärmekontakt
mit der Umgebung
realer Prozeß
Prozeß:
isobar:
isochor:
1. Hauptsatz
P ⋅V n = const.
P ⋅ V 1 = const.
P ⋅V κ = const .
1 ≤ n ≤ κ n : Polytropenexponent
perfekter Druckausgleich
mit der Umgebung
P ⋅ V 0 = const .
kein Druckausgleich
mit der Umgebung
P 0 ⋅V = const .
PA ⋅ VA VE 1−n
W=
⋅ (( ) − 1)
n − 1 VA
n=0
n∞
1
1
Q = ν ⋅ R ⋅ (TE −TA ) ⋅ (
−
)
κ −1 n −1
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