Was ist eine Funktion und was ist ihr Graph? - Johannes

Was ist eine Funktion und was ist ihr Graph?
Ausführliches Beispiel
Eine Funktion wird konkret angegeben durch
ihren Funktionsterm 𝑓(𝑥) und ihre
Definitionsmenge 𝐷𝑓 , z.B.
Definitionen und Bezeichnungen
• Eine Funktion
𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑓
ist eine Zuordnung, die jedem Element ihrer
Definitionsmenge 𝐷𝑓 mit Hilfe ihres Funktionsterms
𝑓(𝑥) genau einen Funktionswert zuordnet.
• Die Variable, die die Elemente der Definitionsmenge
vertritt, heißt Funktionsvariable.
Sie wird üblicherweise mit 𝑥 bezeichnet.
• Die Menge aller Funktionswerte von 𝑓 heißt
Wertemenge.
1
2
𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −𝑥−4 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = [−1; 5]
Die Definitionsmenge 𝐷𝑓 ist [−1; 5].
Der Funktionsterm 𝑓(𝑥) ist 21 𝑥2 − 𝑥 − 4.
Die Funktion 𝑓 ordnet z.B. den drei Zahlen
−1, 1 und 5 aus ihrer Definitionsmenge mit
Hilfe ihres Funktionsterms 𝑓(𝑥) = 21 𝑥2 − 𝑥 − 4
folgende Funktionswerte zu:
−1 ↦ 𝑓(−1) = 21 ⋅ (−1)2 − (−1) − 4 = −2, 5
1 ↦ 𝑓(1) = 21 ⋅ 12 − 1 − 4 = −4, 5
5 ↦ 𝑓(5) = 21 ⋅ 52 − 5 − 4 = 3, 5
Für die Wertemenge ergibt sich
𝑊𝑓 = [−4, 5; 3, 5].
• Der Graph 𝐺𝑓 der Funktion 𝑓 ist die Menge aller
Punkte 𝑃(𝑥|𝑦) im Koordinatensystem, für die gilt:
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 und 𝑦 = 𝑓(𝑥)
• Die Gleichung 𝑦 = 𝑓(𝑥), die die Beziehung zwischen
den Koordinaten der Graphenpunkte beschreibt,
heißt Funktionsgleichung von 𝑓 .
Der Graph 𝐺𝑓 ist die Menge aller Punkte
𝑃(𝑥|𝑦), deren Koordinaten die
Funktionsgleichung 𝑦 = 21 𝑥2 − 𝑥 − 4 erfüllen,
wobei die 𝑥-Koordinate eine Zahl aus 𝐷𝑓 ist.
Der Graph von 𝑓 sieht so aus:
• Die 𝑥-Werte der Definitionsmenge von 𝑓 ,
∘ für die die Gleichung 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0 gilt,
∘ an denen also der Graph 𝐺𝑓 die 𝑥-Achse
schneidet,
heißen Nullstellen von 𝑓 .
• Der 𝑦-Wert 𝑓(0), an dem der Graph 𝐺𝑓 die 𝑦-Achse
schneidet, heißt 𝑦-Abschnitt von 𝐺𝑓 .
Die Nullstelle von 𝑓 ist die Lösung der
Gleichung 21 𝑥2 − 𝑥 − 4 = 0, die in der
Definitionsmenge liegt.
Sie ist 𝑥 = 4, denn
1
2
⋅ 42 − 4 − 4 = 0.
Der 𝑦-Abschnitt von 𝐺𝑓 ist
𝑦 = 𝑓(0) = 21 ⋅ 02 − 0 − 4 = −4.
Merke: Stellen sind immer 𝑥-Werte aus der Definitionsmenge und von Punkten 𝑃(𝑥|𝑦) zu unterscheiden.
Johannes-Butzbach-Gymnasium Miltenberg
Grundwissen und Fachkompetenzen in der Mathematik