Brückenkurs Mathematik 1. Grundlagen

Inhalte
Brückenkurs Mathematik
Grundlagen
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Vektorrechnung
Trigonometrische Funktionen
Differentialrechnung
Integralrechnung
Matrizen, Lineare Gleichungssysteme
(LGS)
1.
_________________________________________________________
2.
3.
4.
5.
Fachhochschule Hannover
SS 2012
Dipl.-Math. Cornelia Reitberger
Brückenkurs Mathematik SS 2012
C. Reitberger
6.
7.
Brückenkurs Mathematik SS 2012
C. Reitberger
1
2
1.1 Zahlenräume
1. Grundlagen
N  1,2,3,4,.....
N 0  0,1,2,3,4,....
_______________________________________________________
Menge der natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen)
Menge der natürlichen Zahlen und 0
Z  ....,3,2,1,0,1,2,3,... 

Z  z | z  N   z  N  z  0

Z  n, n | n  N 0 

a

Q   | a, b  Z 
b

R
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3
1.2 Grundrechenarten
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalenZahlen (Brüche)
Menge der reellen Zahlen (rationale + irrationale Zahlen)
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4
1.3 Eigenschaften von Verknüpfungen
Elementare Verknüpfungen
•Addition
a+b
"Summand + Summand“ bildet „Summe“
•Subtraktion
a-b
„Minuend – Subtrahend“ bildet „Differenz“
•Multiplikation
a .b
„Faktor . Faktor“ bildet „Produkt“
•Division
a:b
„Dividend : Divisor“ bildet „Quotient“
Eine Verknüpfung ° heißt kommutativ, wenn für alle
a, b  R gilt :
a°b=b°a
Eine Verknüpfung ° heißt assoziativ, wenn für alle
a, b, c  R gilt:
(a ° b) ° c = a °(b ° c)
Es gilt das Distibutivgesetz zwischen zwei
Verknüpfungen ° und  , wenn für alle a,b,c  R gilt:
a°(b  c)=(a°b)  (a°c)
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5
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6
1.3 Beispiele
1.4 Klammerregeln
Für alle a, b, c  R gilt :
Addition
Kommutativ
-gesetz
Für die Verknüpfungen Subtraktion – und Division :
gelten Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und
Distributivgesetz NICHT!
Multiplikation
3 4  43
5 12  12  5
Wir wenden einen TRICK an:
Assoziativ- ( 4  5)  3  4  (3  5) ( 2  6)  3  2  (6  3)
gesetz
93 48
12  3  2 18
Distributivgesetz
a  b  a  (b)

1

a :b  a

b
4  ( 2  7)  4  2  4  7
4  9  8  28
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7
1.4 Klammerregeln
1. Klammerregel
8
1.4 Klammerregeln
Es gilt:
Vereinbarungen
a+(b – c)=a + b – c (Vorzeichen beibehalten bei Plus)
1. Punkt vor Strichrechnung
und
2. Klammern geben an, welcher Teil der
Rechnung zuerst ausgeführt werden soll.
a – (b + c)=a – b - c (Vorzeichen ändern bei Minus)
a – (b - c)=a – b + c
3. Aneinandergereihte (Klammer)ausdrücke sind
durch Multiplikation miteinander verknüpft.
Bsp:  (  4 x  1)  ( 3 x  2 )  ( 2  5 y )  4 x  1  3 x  2  2  5 y
 7x  5y 1
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9
1.5 Faktorisieren und Ausmultiplizieren
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1.5 Faktorisieren und Ausmultiplizieren
Tricks zum Faktorisieren:
Allgemein:
1. Binomische Formeln
Komplexe Terme lassen sich durch
Ausmultiplizieren vereinfachen:
Bsp:
Für alle a, b  R gilt:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(1—)(x+2)+(x+1)(x² +1) =x³+3
(a-b)² = a² - 2ab + b²
Manchmal ist es sinnvoll, längere Terme zu faktorisieren:
Bsp:
xz²+2x+2y+yz² = z²(x+y)+2(x+y)
= (z²+2)(x+y)
(a+b)(a-b) = a² -b²
Bsp: x ²  8 x  16  ( x  4 ) 2
x ²  16  ( x  4 )( x  4 )
59 2  ( 60  1) 2  3600  120  1  3481
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12
1.5 Faktorisieren und Ausmultiplizieren
1.5 Faktorisieren und Ausmultiplizieren
Tricks zum Faktorisieren:
Tricks zum Faktorisieren:
2. Satzes von Vieta
3. p,q-Formel
Für alle p, q  R gilt:
Jede quadratische Gleichung geschrieben in Normalform x² + px + q
lässt sich faktorisieren in der Form
x² + p x + q = (x-x1)(x-x2)
x ²  px  q  ( x  x1 )( x  x 2 )
Wobei
p = - (x1 + x2 )
q = x1x2
x1 , 2  
Geeignet für ganzzahlige Lösungen und einfache Brüche
Bsp:
Bsp:
x²  5x  1
x ²  20 x  19  p  20   ( x1  x 2 ), q  19  x1  x 2
a) Bruch
Aber:
 10

2 2
( x  4 , 91 )( x  0 . 21 )  x 2  5 x  1
 4 , 79
2
  10 
 

 
2
 22 
 0 , 21
z
und dem Nenner
aZ
bZ
und dem Divisor
dem Ergebnis der Division
bZ
a:b
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15
16
1.6 Brüche
1. Negative Brüche
2. Erweitern und Kürzen von Brüchen

Negative Brüche haben die Form
a a
a


b
b
b
Erweitern von Brüchen
Teilen mit negativen Zahlen
für alle
Kürzen von Brüchen
a  b ( a  b) : b a


b  c (b  c ) : b c
a, b, c  Z
Erweitern und Kürzen verändert den Wert
eines Bruches nicht!
3 3
3


denn (  3) : 4  3 : (  4 )   0, 75
4
4
4
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
a ac

b bc
Erinnerung:
Alle Formen sind äquivalent.
 0,75  
aZ
mit dem Dividenden
2
1.6 Brüche

a :b
mit dem Zähler
c) Dezimalbruch, Dezimalzahl
 a  2 , b   10 , c  2
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Bsp:
a
b
b) Quotient
2
b
 b  c
   
2a
 2a  a
 x1, 2  
14
Alle rationalen Zahlen lassen sich schreiben als
ax ²  bx  c  ( x  x1 )( x  x 2 )
2 x ²  10 x  2
2
 2 , 5  2 , 29  4 , 79
5

 1  
 2 
 2 , 5  2 , 29  0 , 21
1.6 Brüche
Jede quadratische Gleichung geschrieben in Form a x² + b x + c = 0
mit a , b, c  R lässt sich faktorisieren in der Form
Bsp:
5

2
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4. abc-Formel eignet sich nicht zum Faktorisieren !
x1, 2  
 p   5, q  1
13
1.5 Faktorisieren und Ausmultiplizieren
Wobei
2
 p
  q
 2
 x1 , 2  
 x1   19 , x 2   1
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p

2
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Bsp:
1
6

 0 ,125
8 48
und
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80 % 
80
4
  0 ,8
100 5
18
1.6 Brüche
1.6 Brüche
3. Addition und Subtraktion von Brüchen
a) Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem die
Zähler addiert und die Nenner beibehalten werden.
„Durch Summen kürzen nur die Dummen“
3x 2  2
 x 2  2!!!!!!!!!!!
3
Sondern:
a c ac
 
b b
b
Nachrechnen mit x=3
(Subtraktion analog)
3x 2  2
2
 x2 
3
3
4x3  2x2  3 y
1 3y
 x  2
4x2
2 4x
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Bsp:
14
6
20


125 125 125
14
6

?
125 25
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19
1.6 Brüche
aber
20
1.6 Brüche
3. Addition und Subtraktion von Brüchen
4. Gemischte Zahlen
b) Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden
Eine gemischte Zahl ist eine Summe (!) aus einer ganzen
Zahl und einem Bruch.
zunächst auf einen gemeinsamen Nenner
(Hauptnenner) gebracht.
Gemischte Zahlen lassen sich in unechte Brüche
(=Zähler größer als Nenner) umwandeln.
a c ad bc ad  bc
 


b d bd bd
bd
(Subtraktion analog)
Bsp:
14
6
14 6  5
44




125 25 125 125 125
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Bsp:
2
2 3 5 2 15  2
3  3 
 
5
5 5 5
5
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1.6 Brüche
1.6 Brüche
5. Multiplikation von Brüchen
6. Division von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem Zähler
und Nenner getrennt miteinander multipliziert werden.
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem
er mit dem Kehrwert des zweiten Bruches
multipliziert wird.
a c a  c ac
 

b d b  d bd
Bsp:
22
a c a d ad
:   
b d b c bc
Bsp:
5 2
10
1



16 25 400 40
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23
70
10
2
14 7 14 5
: 
 


125 5 125 7 875 125 25
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1.7 Summen- und Produktzeichen
1.6 Brüche
7. Doppelbrüche
Ein Index (Plural Indizes) ist ein tiefgestelltes
Zeichen, das an Symbole für Variable, Funktionen
oder Operationen angebracht wird.
Bei der Berechnung von Doppelbrüchen geht man über zur
Quotienten-Schreibweise und ersetzt schrittweise die
Bruchstriche („von groß nach klein“)
Bsp:
a
b  a: c  ad
c b d b c
d
Ein Index kann eine Zahl oder eine Formel sein.
3
3
4
28  4 : 15  ( 3 : 28 ) : 15  3  1  14  1  1
15 28 14
4 1 14 4  28 15 4  2  5 40
14
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Bsp.:
x1 , x2 , x3 ,....
fortlaufende Indizes an , an 1 , an  2 , an 3 ,.....
für n  6 a6 , a7 , a8 , a9 ,...
Indizes zur Unterscheidung
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1.7 Summen- und Produktzeichen
26
1.7 Summen- und Produktzeichen
für n, m, k  Z , n  k  m ak  R
Rechenregeln für Summen mit
Das Summenzeichen dient zur vereinfachten
Darstellung von Summen
n
Addition von Summen
n
a
k 1
für
k
: a1  a2  a3  .....  an
n, k  Z , n  k
27
1.7 Summen- und Produktzeichen
Das Produktzeichen (entstanden aus dem griechischen
Buchstaben für p) dient zur vereinfachten Darstellung
von Produkten.
n
k
: a1  a2  a3  .....  an
k 1
für
n, k  Z , n  k
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ak  R
29
n
k m
k
k m
k
 bk )
n
k
 c  ak
k m
6
6
i 3
a
k m
n
 6i
Definition:
k
 ca
Multiplikation mit
ak  R
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n
 a   b   (a
k m
Definition:
f1 ( x), f 5 ( x)
2
 6 i 2  6(32  4 2  52  62 )  516
i 3
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