Grundwissen 9. Klasse Mathematik

Grundwissen 9. Klasse
Mathematik
Philipp Kövener
I. Reelle Zahlen
1.1 Quadratwurzel
Definition
Für a 0 ist die Quadratwurzel
diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. a
heißt Radikand und darf nicht negativ sein.
= |a| für a
, denn 9² = 81
, denn 1,2² = 1,44
nicht definiert
1.2 Rechenregeln
, für a,b ≥ 0
Produktregel:
Quotientenregel:
Achtung:
mit b ≠ 0
und
und
, aber
1
1.3 Reelle Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus der Menge der rationalen Zahlen ℚ
(Bruchzahlen; endliche oder unendlich periodische Dezimalbrüche) und der Menge der
irrationalen Zahlen (nicht endliche und nicht periodische Dezimalzahlen)
2
sind z.B. rational, da man endliche und periodische
(unendliche) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln kann.
oder 1,010010001… sind z.B. irrational, da diese in keinen Bruch
umgewandelt werden können.
Irrationale Quadratwurzeln, wie
bestimmt werden.
können näherungsweise mit Hilfe von Intervallen
weil
1² < 2 < 2²
1,4²< 2 < 1,5²
1,41² < 2 < 1,42²
1,414² < 2 < 1,415²
liegt im Intervall
[1; 2]
[1.4; 1,5]
[1,41; 1,42]
[1,414; 1,415]
1.4 Binomische Formeln
(1.binomische Formel; „Plus-Formel“)
(2. binomische Formel; „Minus-Formel“)
(3. binomische Formel; „Plus-Minus-Formel“)
1.5 n-te Wurzeln
Definition
ist für
diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt.
heißt n-te Wurzel aus a. (n
;n
);
denn 5³ = 125 ;
existiert nicht
2
1.6 Potenzgesetze
Potenzgesetze
Sind q und p rationale Zahlen und z und y positive reelle Zahlen, so gilt
für Potenzen mit gleicher Basis:
und
für Potenzen mit gleichem Exponenten:
und
für Potenzen von Potenzen:
1.7 Potenzen mit rationalen Exponenten
Definition
Für positive Grundzahlen a gilt:
für n
,n
und
1, also
1.8 Rechnen mit Wurzeln
1.8.1 Teilweise Radizieren
Ziel: Wir wollen die Wurzel auf die einfachste Form bringen.
1. Faktorisieren des Radikanden
z.B.
2. Anwendung der Produktregel
3. Ordnen der Zahlen
3
(p
,q
)
1.8.2 Rationalmachen des Nenners
Mit Bruchtermen lässt sich häufig leichter rechnen, wenn im Nenner keine Wurzeln
auftreten.
1. Der Nenner eines Bruches besteht aus einer Wurzel. Man erweitert mit dieser Wurzel
z.B.
oder
2. Der Nenner eines Bruches ist eine Summe oder eine Differenz, in der Quadratwurzeln
vorkommen. Man nutzt beim Erweitern die 3. binomische Formel/“Plus-Minus-Formel“
z.B.
1.8.3 Lösen von Wurzelgleichungen
1. Bringe die Wurzel alleine auf eine Seite
2. Quadriere beide Seiten der Gleichung
3. Löse die Gleichung
4. Überprüfe das Ergebnis
1.
2.
3.
4. Achtung: Probe: Das Einsetzen von 5 führt zu keinem richtigen Ergebnis. Durch das
Quadrieren kann sich eine Gleichung ergeben, die eine andere Lösung als die ursprüngliche
hat. Daher ist eine Probe unerlässlich.
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VII. Raumgeometrie
7.1 Geraden und Ebenen im Raum
Eine Gerade s wird als Senkrechte (Lot) zur Ebene E bezeichnet, wenn sie mit zwei
(beliebigen) Geraden g und h dieser Ebene E, die durch den Schnittpunkt F gehen, einen
rechten Winkel bildet.
Die Länge der Lotstrecke [PF] ist der sogenannte Abstand des Punktes P von der Ebene E.
Der Winkel ∢FQP des rechtwinkligen Dreiecks QFP ist der Neigungswinkel einer Geraden g
gegen eine Ebene E.
Dabei ist Q Schnittpunkt von g mit E, P ein beliebiger Punkt (nicht Q) der Geraden g und F
Fußpunkt des Lotes von P auf die Ebene.
Schneiden sich zwei Ebenen E1 und E2 in der gemeinsamen Geraden s, so nennt man den
spitzen Winkel zwischen zwei Geraden g und h, die in demselben Punkt P auf der
Schnittgeraden s senkrecht stehen und in E1 bzw. E2 liegen, den Neigungswinkel zwischen
den Ebenen E1 und E2.
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7.2 Schrägbilder von Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel
Regeln zur Erstellung eines Schrägbildes:
1. Zur Zeichenebene parallel Strecken erscheinen in wahrer Länge und Richtung
2. Zur Zeichenebene senkrechte Strecken erscheinen unter dem Winkel α
(Verzerrungswinkel) gegen die Horizontale geneigt und im gleichen Verhältnis k
(Verzerrungsverhältnis) verkürzt oder verlängert
3. Parallelität wird beibehalten
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Für Schrägbilder von Zylindern und Kegeln ist es erforderlich, das Schrägbild von Kreisen zu
zeichnen. Dazu zeichnet man in einer Hilfsfigur den Kreis in wahrer Größe, markiert
Hilfspunkte auf der Kreislinie und trägt Lotstrecken ein. Diese werden dann in das Schrägbild
übertragen.
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7.3 Volumen und Oberflächeninhalt
7.3.1 Prisma
4-seitiges Prisma
Ein Prisma mit G als Grundfläche, h als Höhe und M als Mantelfläche hat ein/en
 Volumen: V = G h
 Oberflächeninhalt: O = 2 G + M
7.3.2 Zylinder
Ist bei einem geraden Zylinder r der Grundkreisradius, h die Höhe und G der Grundflächeninhalt,
so gilt für das/den
 Volumen: V = G h =
 Inhalt der Mantelfläche: M = 2
 Oberflächeninhalt: O = 2 G + M =
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7.3.3 Pyramide
4-seitige Pyramide
Besitzt eine Pyramide eine Grundfläche G, eine Mantelfläche M und eine Höhe h, so gilt:
 Volumen: V =

Oberflächeninhalt: O = G + M (M besteht in diesem Beispiel aus den 4 Dreiecken)
7.3.4 Kegel
Ist bei einem geraden Kegel r der Grundkreisradius, G die Grundfläche, h die Höhe und s die
Mantellinie, dann berechnet man
 Volumen: V =
=


Inhalt der Mantelfläche: M =
Oberflächeninhalt: O = G + M =
Darstellungen und weitere Informationen entnommen aus „Lambacher Schweizer 9“
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Quellenverzeichnis
Prof. August Schmid, Prof. Dr. Ingo Weidig: Lambacher Schweizer 9 – Mathematik für
Gymnasien, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2007
zu I. und VII.:
Regeln und Rechnungen angelehnt an:
Lambacher Schweizer 9, Seite 8-41, 150-177
Graphiken und Zeichnungen:
Skriptseite
2
5,7,8
6
Seite Lambacher Schweizer 9
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176
154
9