d - Uni Kassel

Leistung, Reibung
Leistung:
Definition
dW
P=
dt
Leistung ist verrichtete Arbeit pro Zeit. Einheit der Leistung: 1 Watt = 1 J/s
t1
 
  t1  d s
W = ∫ F ds = ∫ F
dt = ∫ F ⋅ v dt
dt
t0
x0
t0
x1
 
dW d  
= ∫ F ⋅ v dt = F ⋅ v
dt
dt
 
P = F ⋅v
143
Leistung beim Beschleunigen:
Beschleunigung mit konstanter Kraft:
 
ma = F
Differentialgleichung integrieren:





F
F
∫ a dt = v (t ) = ∫ m dt = m t + v0

 
 F
 
  F2
⇒ P(t ) = F ⋅ v (t ) = F ⋅  t + v0  =
t + F ⋅ v0
m
 m
Die Leistung steigt linear mit der Zeit an
144
Leistung und potentielle Energie:
∆s
∆m
h
∆Epot = ∆m g h
∆Epot
∆m
P=
=
gh
∆t
∆t
∆m
P=
vgh
∆s
Der Motor muss die Leistung P liefern.
145
Reibung
1. Haftreibung
FN


FR ≤ µ H FN
FR
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µH : Haftreibungskoeffizient
Die Haftreibung hängt nicht von der Auflagefläche sondern nur von der
Andruckkraft ab.

FG sin α
Der Körper beginnt
zu rutschen wenn
FG sin α = µ H FG cos α
⇒
µ H = tan α

FG

FN
α
146
2. Gleitreibung
Wenn der Körper rutscht, wird die Reibungskraft geringer:


FR = µG FN
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µG : Gleitreibungskoeffizient
Material
µH
µG
Stahl-Stahl
0.7
0.6
Alu-Alu
1.0
1.0
Glas-Glas
0.9
0.4
Teflon-Teflon
0.04
0.04
Gummi-Beton
1.0
0.8
Gummi-Beton (naß)
0.3
0.25
147
3. Rollreibung
Analog:


FR = µ R FN
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µR : Rollreibungskoeffizient
Material
µR
Stahl – Stahl
0.001
Gummi-Beton
0.01
148
4. Viskose Reibung (Stokes-Reibung)
Kleine, langsame Kugel mit Radius r in einer viskosen Flüssigkeit


FR = −6π η r v
η: Viskosität der Flüssigkeit
Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit
Unter Einfluss der Gewichtskraft :
Nach anfänglicher Beschleunigung konstante Sinkgeschwindigkeit


FR = − FG


− 6π η r v = −m g


mg
v=
6π η r
Kugel
Öl
149
5. Schnelle Bewegung in Gas oder Flüssigkeit
Reibungskraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit v
FR = 12 cw ρ A v 2
cw Widerstandskoeffizient (Kugel: cw ≅ 1, Stromlinienform: cw < 1)
ρ
Dichte des Mediums (Gas, Flüssigkeit)
A Querschnittsfläche
A
Die Kugel beschleunigt das Medium
auf die Geschwindigkeit ≅ v
∆s = v ∆t
m = ρ A ∆s
E = 12 mv 2 = 12 ρ A v 3∆t
∆E 1
⇒ P=
= 2 ρ A v 3 = v FR
∆t
⇒ FR = 12 ρ A v 2
150
Leistung beim Autofahren:
Parameter Auto: m = 1000 kg, A = 3 m2, cw = 0.5, ρLuft = 1.2 kg/m3
Rollreibung:
FR = µ R m g = 100 N
Luftwiderstand:
FR = 12 cw ρ A v 2 = 0.9 kg/m ⋅ v 2
Leistung:
P = F ⋅v
Bei 50 km/h (= 13.88 m/s):
Fges= 100 N + 174 N = 274 N
P
Bei 150 km/h (=41.66 m/s):
= 3800 W
≅ 4 kW
Fges= 100 N + 1562 N = 1662 N
P
= 69270 W
≅ 70 kW
Leistung gegen Luftwiderstand ist proportional zu v3
151