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Eine Einführung der irrationalen Zahlen
Klasse 8
Einzelstunde 71
S1
Tandembogen und Irrgarten –
eine Einführung der irrationalen Zahlen
IV/A
Irmgard Letzner, Berlin
M 1 Die rationalen Zahlen – Brüche würfeln und berechnen
Ein Würfelspiel für 2 Spieler
Materialien
rPapier und Bleistift
Foto: J. Mittag
r2 Würfel
So geht’s
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
– Der jüngere Spieler beginnt.
– Sie oder er würfelt zweimal hintereinander.
1. Wurf à Zähler = 4
Aus den Augenzahlen wird ein Bruch gebildet: Die Summe des ersten Wurfes ist
gleich dem Zähler des Bruches, die Summe des zweiten Wurfes ist gleich dem Nenner
des Bruches.
Beispiel:
1. Wurf: 6 + 2 = 8; 2. Wurf: 3 + 4 = 7
8
erwürfelt.
à Der Spieler hat den Bruch
7
– Der andere Spieler rechnet diesen Bruch in eine Dezimalzahl um. Falls sich der
Bruch zu einer natürlichen Zahl kürzen lässt, muss der Nenner noch einmal erwürfelt
werden.
– Der Spieler, der gewürfelt hat, kontrolliert die Lösung. Ist die Lösung richtig, so
bekommt der, der den Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt hat, einen Punkt.
– Dieser Spieler ist jetzt mit Würfeln an der Reihe.
– Der Spieler, der nach 30 Runden die meisten Punkte hat, gewinnt.
Aufgabe: Dezimalbrüche sind alle – und doch gibt es Unterschiede!
a) Schreibe die folgenden Brüche als Dezimalzahl in dein Heft.
Gruppe 1:
3
=?
80
7
=?
40
9
=?
16
1
=?
5
13
=?
250
7
=?
160
Gruppe 2:
6
=?
41
5
=?
21
8
=?
27
4
=?
9
1
=?
13
1
=?
7
Gruppe 3:
5
=?
12
7
=?
30
5
=?
22
1
=?
6
3
=?
14
1
=?
18
b) Was fällt dir an den Ergebnissen auf? Woran liegt das?
Sieh dir die Nenner der Brüche an (Primfaktorzerlegung!).
68 RAAbits Mathematik September 2011
Eine Einführung der irrationalen Zahlen
Klasse 8
Einzelstunde 71
S2
M 2 Numeri irrationales – Zahlen wider die Vernunft
IV/A
Neben den abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen gibt es noch weitere Dezimalzahlen, z. B. die Kreiszahl π.
π = 3,141592654…
Die Kreiszahl π hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma, aber die Ziffern wiederholen sich nicht. Man sagt: Die Zahl π hat keine Periode. Solche Zahlen heißen nicht
periodische Dezimalzahlen. Sie sind nicht rational. Auch die Zahl, deren Quadrat 5 ergibt
(geschrieben:
5 ; gelesen: Wurzel aus 5), ist keine rationale Zahl.
Merke: Irrationale Zahlen
Eine rationale Zahl q ∈ q kannst du als abbrechende oder periodische Dezimalzahl
und als Bruch schreiben. Dezimalzahlen, für die dies nicht möglich ist, heißen irrationale Zahlen. Alle nicht periodischen Dezimalzahlen sind irrational, viele Wurzeln und
die Zahl π.
T
H
C
Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen.
Diese Menge bezeichnet man mit r.
Auf der Zahlengeraden liegen die reellen Zahlen dicht
I
S
N
Auf der Zahlengeraden entspricht jeder reellen Zahl ein Punkt. Diesen Punkt kann man
mithilfe einer Folge ineinandergeschachtelter Intervalle bestimmen. Zwischen den
reellen Zahlen gibt es auf der Zahlengeraden keine Lücke. Die Zahlen aus r liegen dicht.
So geht’s: Intervallschachtelung für die Zahl
A
R
O
2
2,2
V
2,23
2,236
5
<
5 < 3
denn
22 = 4
<
5 < 2,3
denn
(2,2)2 = 4,84
<
5 < 2,24
denn
4,9729 < 5 < 5,0176
<
5 < 2,237
denn
4,9997 < 5 < 5,0042
5<
denn
4,999696 < 5 < 5,000143
2,2360 <
2,2361
und
4 <5< 9
Aufgabe
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9 = 32
und 4,84 < 5 < 5,29 und 5,29 = (2,3)2
Intervallschachtelung für
Führe eine Intervallschachtelung für die Zahl
und
7[
10 ;
15 ] durch.
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Einzelstunde 71
S3
M 3 Wahr oder falsch? – Ein Tandem
Foto: Pixelio
IV/A
12. 1,3 ∈ r
11. Die Menge der ganzen Zahlen ist eine
Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.
l) wahr
k) wahr
j) wahr
10. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine
Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen.
i) wahr
9. Irrationale Zahlen sind nicht periodisch.
h) falsch
8. Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl.
g) falsch
7. Jede natürliche Zahl ist rational.
f) falsch
6. –17 ist eine natürliche Zahl.
T
H
C
5. 0,1122334455667788991010111...
ist eine rationale Zahl.
4. 10 ist eine ganze Zahl.
e) wahr
d) falsch
c) wahr
I
S
N
a) falsch
Hier sind die Lösungen
deines Partners:
b) 1,34 ist eine rationale Zahl.
c) 1000 ist eine reelle Zahl.
1
d)
ist eine ganze Zahl.
3
e) 0,5155155515555155... ist eine
irrationale Zahl.
Wahr oder falsch?
b) wahr
V
a) –5 ist eine natürliche Zahl.
1. 3 ist eine rationale Zahl.
1
2. − ist eine ganze Zahl.
2
3. 0,5 ist eine rationale Zahl.
A
R
O
Wahr oder falsch?
Hier sind die Lösungen
deines Partners:
1. wahr
2. falsch
3. wahr
4. wahr
5. falsch
f) Jede rationale Zahl ist ganzzahlig.
6. falsch
g) Natürliche Zahlen sind keine ganzen
Zahlen.
7. wahr
h) Die Menge der ganzen Zahlen ist eine
Teilmenge der Menge der natürlichen
Zahlen.
8. falsch
9. wahr
10. wahr
11. wahr
j) Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
12. wahr
k) Rationale Zahlen lassen sich als Bruch
darstellen.
l) Jede natürliche Zahl ist nicht negativ.
Foto: Pixelio
i) 1,333333... ∈ q
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S5
M 5
Der Irrgarten
IV/A
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
So geht’s
– Beginne am Eingang (bei den beiden Füßen). Entscheide bei
den einzelnen Aussagen (M 4), ob sie wahr oder falsch sind.
– Bei einer richtigen Aussage folgst du dem durchgezogenen
Pfeil, bei einer falschen Aussage dem gepunkteten Pfeil. Wenn
all deine Entscheidungen richtig waren, gelangst du auf diese
Weise zum Ausgang, ansonsten musst du noch einmal von
vorn beginnen.
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S6
Rund um die Einzelstunde
IV/A
Klasse:
8
Dauer:
3–4 Stunden
Inhalt:
Brüche; abbrechende, periodische und nicht periodische Dezimalzahlen;
Wurzeln; Kreiszahl π; rationale Zahlen + irrationale Zahlen = reelle Zahlen;
Intervallschachtelung
Ihr Plus: Tandembogen und Irrgarten
Didaktisch-methodische Hinweise
Wiederholen Sie zu Beginn der Einheit die rationalen Zahlen. Die Schüler inden anhand
des Würfelspiels und der Aufgabe (M 1) heraus, dass bei der Umwandlung von Brüchen
in Dezimalzahlen drei verschiedene Typen von Dezimalzahlen entstehen können: abbrechende, reinperiodische und gemischtperiodische. Sie entdecken, woran sie erkennen
können, aus welchem Bruch welcher Typ entsteht.
T
H
C
Teilen Sie Ihre Klasse in drei Gruppen:
1. Gruppe: abbrechende Dezimalzahlen (Zeile 1)
I
S
N
2. Gruppe: reinperiodische Dezimalzahlen (Zeile 2)
3. Gruppe: gemischtperiodische Dezimalzahlen (Zeile 3)
Die Schüler wandeln die ihnen zugeteilten Brüche in Dezimalzahlen um und schreiben
diese in ihr Heft, und zwar in Stillarbeit. Sie überlegen sich, was ihnen an ihren Ergebnissen besonders auffällt.
A
R
O
Anschließend bilden Sie Dreiergruppen, in denen jeder Dezimalzahlentyp einmal
vertreten ist. Dort erläutern die Schüler, was sie in der Stillarbeit herausgefunden haben.
Am Ende tragen drei Schüler aus verschiedenen Gruppen ihre Erkenntnisse vor. Stellen
Sie gemeinsam Regeln zusammen, welche Art von Ergebnis bei der Umwandlung eines
Bruches in eine Dezimalzahl auftreten kann (siehe Lösungsteil). Diese Regeln halten die
Schüler in ihrem Heft fest. Wenn die Schüler in der Stillarbeit nicht alle zu einem Ergebnis
gekommen sind, bilden Sie trotzdem die Dreiergruppen, damit sich die Schüler austauschen können. Beim Vergleich mit den Primfaktorzerlegungen der anderen Schüler
kommen die Lernenden in der Regel auf die fehlenden Aussagen.
V
Achten Sie beim Aufstellen der Regeln auf eine exakte Formulierung. Die Schüler sind
im Gebrauch der logischen Verknüpfungen und bzw. oder oft nicht sicher.
Überleitung zu den reellen Zahlen
Stellen Sie zur Überleitung zum Zahlbereich der reellen Zahlen folgende Fragen:
1. Kann es sein, dass beim Umwandeln eines Bruches in eine Dezimalzahl eine
Dezimalzahl entsteht, die nicht abbricht und auch nicht periodisch ist?
Antwort: Nein. Mit der Aufgabe von M 1 haben die Schüler eine vollständige Klassiikation der Dezimalzahlen erhalten, die aus Brüchen entstehen können. Halten Sie dies
an der Tafel fest.
2. Was bedeutet der Strich über den Ziffern hinter dem Komma (Beispiel: 0,92 )?
Antwort: Der Strich über der 9 und der 2 ist eine Abkürzung für eine unendliche Folge
von Neunen und Zweien hinter dem Komma. Die Dezimalzahl 0,92 hat die Periode 92:
0,92 = 0,92929292…
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Einzelstunde 71
S7
3. Wie lang kann eine Periode sein?
Antwort: Eine Periode hat eine endliche Länge. Es handelt sich um eine endliche
Zahlenfolge hinter dem Komma, die sich allerdings unendlich oft wiederholt. Dadurch
hat die periodische Dezimalzahl unendlich viele Stellen hinter dem Komma.
IV/A
Begründung: Teilt man eine natürliche Zahl p durch q ∈n, dann gibt es höchstens
q – 1 Reste (1, 2, ..., q – 1). Sobald aber ein Rest erneut auftritt, wiederholen sich die
Ziffern.
4. Gibt es noch andere Zahlen?
Antwort: Ja. Es gibt auch Dezimalzahlen, bei denen die Nachkommastellen nicht
in Perioden geordnet sind. Dies sind z. B. Zahlen mit einer Ziffernfolge hinter
dem Komma, in der keine Regelmäßigkeit erkennbar ist, sodass man aus einer
endlichen Anzahl bekannter Ziffern nicht auf die Ziffern danach schließen kann
(Beispiel: Kreiszahl π). Aber auch wenn eine Regelmäßigkeit erkennbar ist (z. B. bei
0,01001000100001000001...), die es erlaubt, die Zahlenfolge unendlich weit fortzusetzen, handelt es sich in der Regel dennoch nicht um eine periodische Dezimalzahl.
In diesem Beispiel kommt von Schritt zu Schritt immer eine 0 hinzu, sodass die Zahl
0,01001000100001000001... keine Periode besitzt. Sie ist daher irrational.
T
H
C
Lassen Sie die Schüler weitere Beispiele von irrationalen Zahlen erinden.
5. Wie wandelt man Dezimalzahlen in Brüche um?
3
4
So: 1,34 = 1 +
+
;
10 100
Brüche gleichnamig machen und summieren!
I
S
N
Erklären Sie das Verfahren anhand dieses oder eines anderen Beispiels.
A
R
O
Quadratverdoppelung
Stellen Sie den Schülern jeweils zwei
kongruente Quadrate aus verschiedenfarbiger
Pappe (Seitenlänge = 1 dm) sowie eine Schere
zur Verfügung. Arbeitsauftrag: Bilde ein
Quadrat mit dem doppelten Flächeninhalt und
bestimme die Seitenlänge dieses Quadrates.
V
Alternative
Einfacher ist die Lösung der umgekehrten Aufgabenstellung: Erzeuge (durch Falten oder
Schneiden eines Quadrates) ein Quadrat mit halbem Flächeninhalt. Wie lang war die
ursprüngliche Seite, wenn die neue, kürzere Seite die Länge 1 dm hat?
Lösungsansatz: Die gesuchte Zahl d muss dann die Bedingung d2 = 2 dm2 erfüllen.
An dieser Stelle erweist sich der Taschenrechner eher als hinderlich. Falls ein Schüler
den Begriff Wurzel schon kennt, wird er
2 in den Taschenrechner eintippen und sich
anzeigen lassen. Greifen Sie dies gegebenenfalls auf und lassen Sie ihn dann prüfen,
ob die angezeigte Zahl beim Quadrieren tatsächlich 2 ergibt. Es zeigt sich, dass der
Taschenrechner das zwar anzeigt, dass aber bei schriftlicher Kontrolle nicht genau
2 entsteht, weil der Taschenrechner einen Näherungswert für
2 angezeigt hat.
Fällt der Begriff Wurzel nicht, so lassen Sie die Schüler jetzt Zahlen vermuten, für die
d2 = 2 dm2 gilt. Das führt in natürlicher Weise zur Methode der Intervallschachtelung
(M 2). In der Regel verabredet man, dass hierbei bei jedem Schritt eine Dezimale mehr
angegeben wird.
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Klasse 8
Einzelstunde 71
S 10
Lösungen und
W
Tipps zum Einsatz
IV/A
M 1
Die rationalen Zahlen – Brüche würfeln und berechnen
Mit diesem einfachen Würfelspiel üben Ihre Schüler, Bruchzahlen in Dezimalzahlen
umzuwandeln. Sie erkennen, dass hierbei verschiedene Arten von Dezimalzahlen
auftreten: abbrechende und periodische. Die nicht periodischen Dezimalzahlen hingegen
können sie nicht erwürfeln, weil sich diese Zahlen nicht als Bruch darstellen lassen.
Aufgabe: Dezimalbrüche sind alle – und doch gibt es Unterschiede!
a)
Gruppe 1: Abbrechende Dezimalbrüche
3
7
9
1
13
7
= 0,0375;
= 0,175;
= 0,5625;
= 0,2;
= 0,052;
= 0,04375
80
40
16
5
250
160
Gruppe 2: Reinperiodische Dezimalbrüche
6
5
8
4
1
1
= 0,238095 ;
= 0,14634 ;
= 0,296 ;
= 0, 4 ;
= 0,076923 ; = 0,142857
21
41
27
9
13
7
T
H
C
Gruppe 3: Gemischtperiodische Dezimalbrüche
5
7
5
1
3
1
= 0, 416 ;
= 227 ;
= 0,23 ;
= 0,16 ;
= 2142857 ;
= 0,05
12
30
22
6
14
18
I
S
N
b)
A
R
O
Die drei Gruppen unterscheiden sich in den Nachkommastellen. Gruppe 1 enthält nur
abbrechende, Gruppe 2 nur reinperiodische und Gruppe 3 nur gemischtperiodische
Dezimalzahlen. Man erkennt folgende Regeln:
Beim Umwandeln eines vollständig gekürzten Bruches in eine Dezimalzahl erhält man
V
– eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält
(80 = 24 • 5; 40 = 23 • 5; 16 = 24; 250 = 53 • 2; 160 = 25 • 5).
– eine reinperiodische Dezimalzahl (d. h., dass die Periode gleich nach dem Komma
beginnt), wenn der Nenner weder den Faktor 2 noch den Faktor 5 enthält.
– eine gemischtperiodische Dezimalzahl (d. h., dass vor der Periode noch andere Ziffern
stehen), wenn der Nenner die Primfaktoren 2 oder 5 (oder beide) und eine weitere
Zahl enthält (12 = 22 • 3; 30 = 2 • 3 • 5; 22 = 2 • 11; 14 = 2 • 7; 18 = 2 • 9).
M 2
Numeri irrationales − Zahlen wider die Vernunft
Aufgabe
1. Intervallschachtelung für die Zahl
7 = 2,645751311…
2
<
7 < 3
denn
4
<7< 9
2,6
<
7 < 2,7
denn
6,76
< 7 < 7,29
2,64
<
7 < 2,65
denn
6,9696
< 7 < 7,0225
2,645
<
7 < 2,646
denn
6,996025 < 7 < 7,001316
7 < 2,6458
denn
6,999728 < 7 < 7,000258
2,6457 <
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