Trigonometrische Funktionenn - PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

TRIGONOMETRISCHE1 FUNKTIONEN
Bisher haben wir uns in einem Dreick mit den Seiten, den Höhen, den Sätzen des Euklid und
Pythagoras, dem Bogenmaß über einer Dreieckseite, und das nur auf Spezialfälle beschränkt,
auseinandersetzen müssen. Dabei sind jedoch direkte Zusammenhänge zwischen den Seiten und den
Winkeln in einem Dreieck im Verborgenen geblieben. In einzelnen Fällen haben wir uns schon
gewünscht, einfachere Möglichkeiten haben zu können, um schnell zu einem Ergebnis zu kommen.
Diese Lücke schließen wir nun, indem wir uns zunächst auf rechtwinklige Dreiecke beschränken.
Natürlich gehen wir den Weg, der uns einen größtmöglichen Überbick auf des Wesentliche erlaubt.
Betrachten wir einen Kreis. Du wirst gleich erkennen, warum dieses wichtig ist, wenn du noch ein
wenig wartest und mir vertraust.
Tc
i
N
R
S
ξ
Bξ
i
C
T
D
Du erkennst in diesem Kreis fünf rechtwinklige Dreiecke. Die Namen der Seiten sind mit großen
Buchstaben benannt. Die Längen dieser Seiten bezeichnen wir mit kleinen Buchstaben. Insbesondere
b (ξ )
bezeichnet B (ξ ) den Bogen über den Winkel ξ = r (Xi) im Bogenmaß. Damit ein rechtwinkliges
Dreieck RCS vorliegt, sei zunächst 0 < ξ < π . Wir definieren: Das Verhältnis der Länge s der dem
2
Winkel ξ gegenüberliegenden Kathete S zu der Länge r der Hypotenuse R heißt Sinus des
Winkels ξ , in Zeichen
sin (ξ ) := rs .
Entsprechend heißt das Verhältnis der Längen der Ankathete C zur Hypotenuse R der Cosinus des
Winkels ξ , in Zeichen
cos (ξ ) := cr .
Wir halten fest: s = r sin (ξ ) und c = r cos (ξ ) . In diesem rechtwinkligen Dreieck wenden wir den
Satz des Pythagoras an und erhalten
2
2
s 2 + c 2 = r 2 ⇔ (r sin (ξ )) + (r cos (ξ )) = r 2
⇔ r 2 sin 2 (ξ ) + r 2 cos 2 (ξ ) = r 2
⇔ sin 2 (ξ ) + cos 2 (ξ ) = 1.
Wir werden bald sehen, dass diese Beziehung für alle Winkel 0 ≤ ξ ≤ 2π gilt.
Nun ist jedes rechtwinklige Dreieck ähnlich zum Dreieck RCS und du kannst die Hypotenuse immer
als Radius eines Kreises ansehen.
1
Aus griech.: tri ‚drei‘, gonia ‚Ecke‘ bzw. ‚Winkel‘ und mètrein ‚messen‘ oder trigono ‚Dreieck‘ und mètron
‚Maß‘
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Im obigen Bild können weitere Längenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks angeben. Das
Längenverhältnis rt der Länge t der Gegenkathete T zur Länge r der Ankathete R heißt Tangens
des Winkels ξ , in Zeichen
tan (ξ ) := rt .
Mit anderen Worten: Die Länge des Tangentenabschnittes berechnet sich durch t = r tan (ξ ) .
Wie stehen nun die Längen t und t c der Abschnitte T und T c in Beziehung?
Dafür betrachten wir die Ähnlichkeit der Dreiecke RT c N ≃ TRCD . Wir finden
r = tc .
r
t
Das reziproke Längenverhältnis zu Tangens heißt Cotangens des Winkels ξ , in Zeichen
cot (ξ ) := tr .
c
Insbesondere gilt
cot (ξ ) =
1 .
tan(ξ )
Wir bestätigen für die Längen noch einmal die Äquivalenz zu dem Höhensatz des Euklid
r2 = t ⋅tc .
Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke RCS ≃ TRCD kann das Längenverhältnis Tangens durch
Sinus und Cosinus ausgedrückt werden. Es gilt
r sin( ξ )
sin( ξ )
tan (ξ ) = rt = cs =
=
.
r cos( ξ ) cos( ξ )
Entsprechend ist
cot (ξ ) =
cos(ξ )
.
sin(ξ )
Der Vollständigkeit halber führen wir noch zwei Längenverhältnisse an.
Der Kehrwert des Cosinus heißt Sekans
sec (ξ ) := cr
und der Kehrwert des Sinus heißt Cosekans
csc (ξ ) := rs .
Kleine Übung
Zeige die Zusammenhänge sin 2 (ξ ) =
cot 2 ( ξ )
tan 2 ( ξ )
2
1
1
=
und
cos
(
ξ
)
=
=
.
1 + cot 2 ( ξ ) 1 + tan 2 ( ξ )
1 + tan 2 ( ξ ) 1 + cot 2 ( ξ )
Wir werden später diese Längenverhältnisse zu Funktionen erweitern, indem wir den
Radius im Kreis vor- und zurückrotieren lassen.
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Der Sinussatz für beliebige Dreiecke
hb
Wir führen die Berechnung beliebiger Dreiecke auf rechtwinklige
Dreiecke über ihre Höhen, in Rot und Braun gehalten, zurück. Es gilt:
a = b = c = 2r .
sin(α ) sin(β ) sin( γ )
a
β
γ
ha
Beweisen Sie diese Aussage!
hc
b
r
c
2γ
α
i
r
Hinweis: b sin (α ) = a sin (β ) , sin (γ ) = sin (π − γ ) , c sin (α ) = a sin ( γ ) .
Beachte auch den Zentriwinkel.
Kleine Übung
Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit Umkreisradius rU , den Seitenlängen a, b und c ist A = abc
.
4r
U
Dieser Satz liefert insbesondere den Umkreisradius bei gegebenen Flächeninhalt und Seitenlängen.
Der Kosinussatz
Der Kosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras auf beliebige
Dreiecke. Dazu werden die entsprechenden Höhen eingetragen, so
dass rechtwinklige Dreiecke entstehen, aus denen die Höhen wieder
a1
eleminiert werden.
In diesem Dreieck mit den Seiten a, b, c unterteilen wir c in ha b
c = c1 + c2 und verlängern die Seiten a um a1 sowie b um b1 .
α
Nach Pythagoras gilt:
hb
b1
a
β
γ
c2
hc
c1
c
b 2 = c12 + hc2
a 2 = c22 + hc2 .
Durch Elemination von hc2 erhalten wir
a 2 − b 2 = c22 − c12 = (c2 + c1 )(c2 − c1 ) = c (c2 − c1 ) .
Mit
c2 − c1 = c − 2c1 = 2c2 − c
folgt
a 2 = b 2 + c 2 − 2cc1
b 2 = c 2 + a 2 − 2cc2 .
Da c1 = b cos (α ) und c2 = a cos (β ) , erhalten wir schließlich
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos (α )
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos (β ).
2
Für den letzten Winkel γ betrachten wir b 2 = a12 + ha2 und (a + a1 ) + ha2 = c 2 und eleminieren
wieder
ha2 .
Dies
liefert
a 2 + 2aa1 + b 2 = c 2 ⇔ c 2 = a 2 + b 2 + 2aa1
und
mit
a1 = b cos (π − γ ) = −b cos (γ ) schließlich die dritte Formel
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos (γ ).
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Zusammenfassung
Tc
N
i
T
R
S
ξ
ξ
T
Bξ
ξ
i
R
D
C
Tangentendreieck
gedreht und gespiegelt
In einem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Zusammenhänge.
Höhensätze: s 2 = cd und r 2 = t ⋅ t c
2
Kathetensätze: r 2 = c (c + d ) und t 2 = d (c + d ) sowie (c + d ) = t (t + t c ) und n 2 = t c (t + t c )
Pythagoras: Ergeben sich aus den Höhen- und Kathetensätzen
Definition der sechs Winkelfunktionen für 0 < ξ < π , ξ im Bogenmaß
2
sin (ξ ) := rs ,
tan (ξ ) := rt ,
cos (ξ ) := cr ,
cot (ξ ) := tr ,
sec (ξ ) := cr ,
c
csc (ξ ) := rs
Ausdrücken der Winkelfunktionen durch andere
sin 2 (ξ ) + cos 2 (ξ ) = 1 ,
sin 2 (ξ ) =
cot (ξ ) tan (ξ ) = 1 ,
tan 2 (ξ )
1
=
1 + cot 2 (ξ ) 1 + tan 2 (ξ )
und
tan (ξ ) =
sin(ξ )
,
cos(ξ )
cos2 (ξ) =
cot (ξ ) =
cos(ξ )
sin(ξ )
cot 2 (ξ )
1
=
1 + tan 2 (ξ ) 1 + cot 2 (ξ )
In einem beliebigen Dreieck gilt
hb
der Sinussatz
a = b = c = 2r
U
sin(α ) sin(β ) sin( γ )
a
β
γ
und der Kosinussatz
ha
i
b
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos (α )
2
2
rI
hc
2γ
α
2
b = c + a − 2ca cos (β )
rU
c
rU
i
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos (γ ).
sowie die Flächeninhalte des Dreiecks
A = abc = rI s = s ( s − a)( s − b)( s − c) = 2rU2 sin (α )sin (β )sin (γ ) = rI rU (sin (α ) + sin (β ) + sin (γ )) ,
4rU
wobei 2s = a + b + c 2.
2
http://www.dr-gert-hillebrandt.de/pdf/schule/Mathematik%20Schule/SEK1/berechnungen_im_dreieck_mit_hilfe_der_seitenlaengen.pdf
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Die Additionstheoreme
Für eine sehr schöne mathematische Herleitung verweise ich auf den Artikel Komplexe Zahlen.
Hier wollen wir uns wieder geometrisch leiten lassen. Dazu führen wir die Aussage des 1.
Additionstheorem auf ähnliche Dreiecke zurück. Bewiesen soll das folgende Theorem des Sinus.
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
(1)
Schauen wir uns den Sachverhalt in einer Graphik an.
α
R
E
c
a
A
β
D
i
α
i
i
b
Folgende Beziehungen sind im Bild enthalten.
a = r sin (α + β ) , b = d sin α , c = e cos α , e = r sin β , d = r cos β
Daraus erhalten wir
sin (α + β ) =
a b+c b c b d c e
=
= + = ⋅ + ⋅ = sin α cos β + cos α sin β .
r
r
r r d r e r
Dieses Theorem gilt auch für größere Winkel α + β > π . Er kann jedoch ohne weiteres geführt
2
werden, indem die Periodizität der Winkelfunktionen ausgenutzt wird. Z. B. sin (π − α) = sin α ,
sin (π + α) = sin (−α) = − sin α , cos (π + α) = cos (π − α) = − cos (−α) = − cos α .
Hieraus folgt auch sofort
sin (α − β ) = sin (α + (−β )) = sin α cos (−β ) + cos α sin (−β ) = sin α cos β − cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
(2)
Benutzen wir nun noch den Zusammenhang cos γ = sin ( π2 − γ ) , so finden wir
(
)
cos (α + β ) = sin ( π2 − (α + β )) = sin ( π2 − α ) − β = sin ( π2 − α ) cos β − cos ( π2 − α ) sin β =
cos α cos β − sin (π − α) sin β = cos α cos β − sin α sin β.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
5
Das dritte Additionstheorem ist nun gefunden und lautet
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β .
(3)
Entsprechend bekommen wir
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β .
Damit sind die Additionstheoreme geometrisch bewiesen.
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(4)