Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5

Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Herbst 2002
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner (ohne Lösemodule sowie sonstige
Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1
Geometrie
(1) Seien R, S und T drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Wir betrachten den
Winkel ∠RST und von seiner Winkelhalbierenden denjenigen Strahl w, der im Inneren von
des Winkels liegt.
Beweisen Sie: Die Punkte auf w sind genau diejenigen Punkte, welche von den Schenkeln
von ∠RST denselben Abstand haben.
(2) Ein Dreieck ∆ABC sei durch die folgenden Punkte gegeben:
A = (2 | 1), B = (8 | 1), C = (2 | 9).
(a) Zeigen Sie, der Punkt P = (6 | 2) hat von den Seiten BC und AB denselben Abstand.
(b) Stellen Sie die Gleichung der Dreieckswinkelhalbierenden durch den Punkt B auf.
(c) Berechnen Sie für ∆ABC den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden durch B mit der
Winkelhalbierenden durch A.
(d) Geben Sie die Gleichung des Inkreises von ∆ABC an.
2
Algebra
(1) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem nach den Variablen x, y, z auf:
-x +
y
x +
y
(s+1)·y
+ (s+2)·z = 1
+
z = 1
+ 4s·z = 10
(2) Zeigen Sie: Die Zahlen 2003 und 1010 sind teilerfremd.
(3) Finden Sie ganze Zahlen a und b, so dass gilt:
2003 a + 1010 b = 1
1
3
Analysis
(1) Betrachten Sie die reelle Funktion f, die definiert ist durch
f(x) =
4x − 2
x2 − x − 2
(a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von f.
(b) Geben Sie die Grenzwerte von f an den Rändern des Definitionsbereichs an und
skizzieren Sie den Graphen F von f.
(2) Lösen Sie die Ungleichung
x
x −1
>
x−2
x +1
und geben Sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.
(3) Prüfen Sie, ob die Gerade mit der Gleichung 3x + 2y = 2 eine Tangente an F ist.
(4) Sei (xn) eine streng monoton wachsende reelle Zahlenfolge mit durchweg negativen Folgengliedern.
(a) Zeigen Sie: Die Folge (yn) definiert durch
yn : = xn ·
3
n+1
ist eine Nullfolge.
(b) Geben Sie ein konkretes Beispiel einer Folge (xn) explizit an, die streng monoton
wächst, deren Folgenglieder sämtlich negativ sind, und die selbst keine Nullfolge ist.
4
Stochastik
Ein Stapel Spielkarten, bestehend aus 4 Pikkarten und 4 Herzkarten (jeweils Bube, Dame,
König und As) liegt auf dem Tisch. Michel zieht aus dem gut gemischten Stapel rein zufällig
vier Karten und legt sie vor sich hin. Das Ganze nennen wir einen Durchgang.
(1) Wie viele Möglichkeiten für das Ergebnis eines solchen Durchgangs gibt es, wenn nur interessiert,
(a) ob mindestens zwei Herzkarten unter den gezogenen Karten sind?
(b) welche vier Karten gezogen wurden?
Geben Sie jeweils eine bestimmte Möglichkeit (eines Ergebnisses ) für (a) und (b) an und
berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
(2) Wie wahrscheinlich ist, dass bei einem Durchgang lauter verschiedene Bilder (also ein
Bube, eine Dame, ein König und ein As) gezogen wurde? (Geben Sie die
Wahrscheinlichkeit
in Prozent an.)
(3) Wie viele Durchgänge muss man unabhängig voneinander mindestens durchführen, bis
man mit 90 % Sicherheit mindestens einmal lauter Herzkarten gezogen hat?
(4) Jetzt wird die Ziehungsmethode für einen Durchgang geändert. Es werden nacheinander
vier Karten aus dem Stapel gezogen. Nun wird aber jeweils zurückgelegt und neu
gemischt. Wie wahrscheinlich ist es dann, genau zwei Könige (und zwei "Nicht-Könige") zu
ziehen?
(5) Berechnen Sie den Koeffizienten von X6 im Polynom (1 + X) 12.
2
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
1
Geometrieunterricht in den Klassen 5 bis 10
a) Begriffsbildung
(1) Erklären Sie, was ein geometrischer Quader ist?
(2) Wie hängen geometrische und materielle Quader miteinander zusammen?
Hat eine Postkarte die Form eines Quaders? Weshalb?
(3) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Begriffs (geometrischer) Quader in
der Jahrgangsstufe 5 (oder früheren Jahrgangsstufen).
Welche Rolle können dabei (Vollkörper-, Flächen-, Kanten-) Modelle spielen?
b) Konstruktionsproblem
Aufgabe
Konstruiere ein Trapez ABCD aus den Daten
ABCD, a = AB, e = AC, h = Abst(C;AB), F = Flächeninhalt(ABCD).
(1) Stellen Sie eine Planfigur her und beschreiben Sie, wie diese entsteht.
(2) Lösen Sie zuerst das allgemeine Konstruktionsproblem und konstruieren Sie dann mit
den speziellen Daten a = 6 cm, e = 7 cm, h = 3 cm, F = 15 cm 2.
Welche Konstruktionsoperationen (Zeichengeräte) soll/muss man dabei zulassen?
(3) Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an.
(4) Nennen Sie heuristische Vorschläge, um Lösungsideen zu finden. Wie kann man
Schülern helfen, ohne ihnen gleich alles zu verraten?
(5) Welche didaktischen Funktionen kann die Aufgabe im Geometrieunterricht erfüllen?
2
Algebraunterricht in den Klassen 5 bis 10
Lösen von Textaufgaben
(1) Analysieren Sie die Aufgabe. Welche Fragen
kann man dem Text entnehmen?
(2) Beantworten Sie diese Fragen.
(3) Schreiben Sie die Lösung der Aufgabe so auf,
dass sie sowohl als Musterlösung für die
spezielle Aufgabe dient als auch zum Vorbild
beim Bearbeiten von Textaufgaben.
(4) Welche Schwierigkeiten können Schüler mit der
Aufgabe haben?
(5) Wie kann man Schülern helfen, eine Lösung zu
finden?
(6) Was kann der Schüler an dieser Aufgabe lernen
zum Lösen von Textaufgaben?
Es tönt im sonst so stillen Wald
Der Jäger Lustgeschrei;
Der Rüde bellt, die Büchse knallt,
Und tötend fliegt das Blei.
Die Zahl der Rehe kenn ich nicht,
Die fielen durch den Schuß;
Doch lag’s an Füchs und Hasen dicht,
Die man addieren muß.
Acht Hasen waren’s mehr als Reh,
Und auch zwei Füchse mehr;
Die Jagd war also, wie ich seh,
Gar nicht an Beute leer.
Doch zieht man von der Füchse Zahl
Drei ab, so wird es klar,
Wie groß nun auch für dieses Mal
Die Zahl der Jäger war.
Addierst du, was verlangt man hat,
Das Wild, das fiel durch Blei,
So übersteigt es das Quadrat
Der Jäger Zahl um drei.
Wie stark die Zahl der Jäger war,
Wie reich an Beut‘ die Jagd,
Dies lieber Leser, sonnenklar
Dir dies Geschichtchen sagt.
3