Mathematik I Mathematik I
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Organisation Organisation Termin: Termin: Donnerstags, Donnerstags,8.00 8.00––9.30, 9.30,9.50 9.50––11. 11.20 20 Mathematik Mathematik II Raum Raum407 407 Leitung: Leitung: Dr. Dr. Marc-A. Marc-A. Zschiegner Zschiegner Dr. Dr.Marc-A. Marc-A.Zschiegner, Zschiegner,Dipl.-Math., Dipl.-Math.,StR. StR. [email protected] [email protected] Tel.: Tel.:0641 0641//99-32083 99-32083 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 1 Kapitel 1: Grundlagen Was Wasist istMathematik? Mathematik?––Der DerInhalt Inhalt Was Wasist istMathematik? Mathematik?––Die Die Methode Methode •• Definitionen Definitionen Festlegungen Festlegungenvon vonBegriffen. Begriffen. In Inder derMathematik Mathematikwissen wissenwir wirganz ganzgenau, genau,worüber worüberwir wirreden. reden. •• Sätze Sätze Aussagen. Aussagen.Die DieErkenntnisse Erkenntnisseder derMathematik. Mathematik. •• Geometrie Geometrie(seit (seitEuklid, Euklid,ca. ca.300 300v.v.Chr.) Chr.) Die DieLehre Lehrevom vomuns unsumgebenden umgebendenRaum Raum(2D, (2D,3D, 3D,...) ...) •• Algebra Algebra(seit (seitder derAntike) Antike) Zahlen Zahlenund undRechnen Rechnen •• Beweise Beweise In Inder derMathematik Mathematikerzielen erzielenwir wirErkenntnisse Erkenntnissenur nurdurch durchrein reinlogische logische Argumentation. Argumentation.Das Dasist istgut: gut:Die DieErgebnisse Ergebnissesind sindso sosicher sicherwie wieinin keiner keineranderen anderenWissenschaft. Wissenschaft. •• Beispiele Beispiele Illustrieren Illustrierenund undmotivieren motivierenSätze Sätzeund undBeweise. Beweise. •• Analysis Analysis(seit (seitdem dem18.Jahrhundert) 18.Jahrhundert) Die DieLehre Lehrevom vomUnendlichkleinen Unendlichkleinenund undden denGrenzübergängen Grenzübergängen •• Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung(20. (20.Jahrhundert) Jahrhundert) (Wie) (Wie)können könnenwir wirden denZufall Zufallverstehen? verstehen? Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 2 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 3 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 4 Inhalt Inhaltder derVorlesung Vorlesung SPIC SPIC 11Grundlagen Grundlagen Mengen, Mengen,Abbildungen, Abbildungen,Logik, Logik,Beweisen, Beweisen,Kombinatorik Kombinatorik •• SPIC SPIC==Students StudentsPersonal PersonalInformation InformationCenter Center 22Algebra Algebra Zahlen, Zahlen,(Un-) (Un-)Gleichungen, Gleichungen,Gleichungssysteme, Gleichungssysteme,Potenzen Potenzen&&Co. Co. •• www.studiumplus.de www.studiumplus.deÆ ÆStudium StudiumÆ ÆSPIC SPIC 33Analytische AnalytischeGeometrie Geometrie Koordinaten, Koordinaten,Vektoren, Vektoren,Geraden, Geraden,Ebenen, Ebenen,Anwendungen Anwendungen •• Download Downloadder derFolien Folienund undweiterer weitererMaterialien Materialien •• Forum Forumund undNews Newszur zurVorlesung Vorlesung 44Analysis Analysis Folgen, Folgen,Reihen, Reihen,Grenzwerte, Grenzwerte,Differenzialrechnung Differenzialrechnung © Dr. Zschiegner 2008 Seite 5 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 6 Kapitel 1: Grundlagen Inhalt Inhalt 1.1 1.1Mengen Mengen {{},},∈, ∈,... ... 1.2 1.2Abbildungen Abbildungen f:f:XX→ →YY Kapitel Kapitel11 Grundlagen Grundlagen 1.3 1.3Logik Logik ⇒, ⇒,∨, ∨,... ... 1.4 1.4Beweisen Beweisenmit mitvollständiger vollständigerInduktion Induktion 11++22++33++… …++nn==?? 1.5 1.5Kombinatorik Kombinatorik n!, n!, n k Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 7 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 8 1.1 1.1 Mengen Mengen Was Wasist isteine eineMenge? Menge? •• Schwierige SchwierigeFrage! Frage! •• Der Der„Vater „Vaterder derMengenlehre“, Mengenlehre“,Georg GeorgCantor Cantor(1845 (1845--1918), 1918),sagte: sagte: „Unter „Untereiner einerMenge Mengeverstehen verstehenwir wirjede jedeZusammenfassung Zusammenfassung M M von von bestimmten, bestimmten,wohlunterschiedenen wohlunterschiedenenObjekten Objekten m m unserer unserer Anschauung Anschauungoder oderunseres unseresDenkens Denkens... ...zu zueinem einemGanzen.“ Ganzen.“ •• Anstatt Anstattgenau genauzu zusagen, sagen,was waseine eineMenge Mengeist, ist,stellen stellenwir wirdar, dar,wie wie man manMengen Mengenbeschreiben beschreibenkann. kann.Dafür Dafürgibt gibtes esdrei dreiMöglichkeiten. Möglichkeiten. 1. 1.Durch DurchAufzählung Aufzählung 2. 2.Durch DurchEigenschaften Eigenschaften 3. 3.Das Daskartesische kartesischeProdukt Produkt Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 9 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 10 Kapitel 1: Grundlagen 1.1.1 1.1.1Beschreibung Beschreibung durch durch Aufzählung Aufzählung Notation Notationund und Bemerkung Bemerkung •• Die DieElemente Elementeder derMenge Mengewerden werdenin ingeschweifte geschweifteKlammern Klammern geschrieben: geschrieben: •• Beispiel: Beispiel:{rot, {rot,grün, grün,blau} blau} ist istdie dieMenge Mengeder derFarben Farbenrot, rot,grün grünund und blau. blau. a, a,b, b,cc sind sinddie dieElemente Elementeder derMenge Menge {a, {a,b, b,c}. c}. •• Bei Beieiner einerMenge Mengespielt spieltdie dieReihenfolge Reihenfolgeder derElemente Elementekeine keine Rolle: Rolle: •• Beispiel: Beispiel:Die DieMenge Menge{Susanne, {Susanne,Yvonne, Yvonne,Ute, Ute,Nicole} Nicole} besteht bestehtaus aus den denElementen ElementenSusanne, Susanne,Yvonne, Yvonne,Ute, Ute,Nicole. Nicole. {c, {c,a, a,b} b}=={b, {b,a, a,c} c}=={a, {a,b, b,c}. c}. •• Beispiel: Beispiel:Wir Wirbetrachten betrachtenoft oftMengen Mengenvon vonZahlen: Zahlen: M M=={0, {0,1, 1,2, 2,3, 3,4} 4} ist istdie dieMenge Mengeder derZahlen Zahlen 0, 0,1, 1,2, 2,3, 3,4. 4. •• In Ineiner einerMenge Mengewerden werdenElemente, Elemente,die diemehrfach mehrfachauftauchen, auftauchen,nur nur einmal einmalbetrachtet: betrachtet: {a, {a,a, a,a, a,a, a,b, b,b, b,b, b,c, c,c, c,c, c,c, c,c, c,c, c,c, c,c} c}=={a, {a,b, b,c}. c}. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 11 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 12 Unendliche Unendliche Mengen Mengen Elemente, Elemente,Teilmengen Teilmengen •• m m∈∈M: M:Das DasElement Element m m ist istininder derMenge Menge M M enthalten. enthalten. •• N: N:Menge Mengeder dernatürlichen natürlichenZahlen: Zahlen: NN=={0, {0,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,...}. ...}. •• m m∉∉M: M:Das DasElement Element m m ist istnicht nichtininder derMenge Menge M M enthalten. enthalten. •• M M11⊆⊆M M22(„Teilmenge“): („Teilmenge“):Jedes JedesElement Elementvon von M M11 ist istauch auchein einElement Element von von M M2.. •• Z: Z:Menge Mengeder derganzen ganzenZahlen: Zahlen: 2 ZZ=={..., {...,–3, –3,–2, –2,–1, –1,0, 0,1, 1,2, 2,3, 3,...}. ...}. •• Beispiel: Beispiel: M {rot,blau} blau} ist istTeilmenge Teilmengevon von M M2 =={rot, {rot,blau, blau,grün}. grün}. M1 =={rot, •• Q: Q:Menge Mengeder derrationalen rationalenZahlen Zahlen(„Brüche”). („Brüche”). 1 Kapitel 1: Grundlagen 2 •• Die Dieleere leereMenge Mengeenthält enthältkein keinElement. Element.Sie Siewird wirdmit mit {}{} oder oder ∅ ∅ bezeichnet. bezeichnet. •• R: R:Menge Mengeder derreellen reellenZahlen. Zahlen. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 13 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 14 Kapitel 1: Grundlagen 1.1.2 1.1.2Beschreibung Beschreibungeiner einer Menge Menge durch durchEigenschaften Eigenschaften Aufgaben Aufgaben •• Wichtiges WichtigesPrinzip: Prinzip:Man Mansondert sondertaus auseiner einerschon schonvorhandenen vorhandenen Menge Mengeeine eineTeilmenge Teilmengeaus. aus. Stellen StellenSie Siefolgende folgendeMengen Mengenininaufzählender aufzählenderForm Formdar: dar: •• Man Mannennt nenntdas dasauch auch„Mengenbildung „Mengenbildungdurch durchAussonderung“ Aussonderung“ (a) (a) AA=={x {x∈∈NN| ||x|x++1| 1|≤≤4} 4} •• Beispiele: Beispiele: (b) (b) BB=={p {p∈∈NN| |ppist istPrimzahl Primzahlund undpp≤≤35} 35} 1. 1.TT==Menge Mengealler allerTiere. Tiere.M M=={t{t∈∈TT| |tt ist istintelligent}. intelligent}.(Klassische (Klassische Definition Definitiondes desMenschen) Menschen) 2. 2.GG=={z {z∈∈ZZ| |zz ist istgerade}. gerade}. Eigenschaft: Eigenschaft:„gerade „geradesein“. sein“. Es Esist ist GG=={..., {...,–4, –4,–2, –2,0, 0,2, 2,4, 4,...}. ...}. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 15 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 16 Intervalle Intervalle Durchschnitt Durchschnitt (Schnittmenge) (Schnittmenge) •• Der DerDurchschnitt Durchschnittzweier zweierMengen Mengen M M11 und und M M22 ist istso sodefiniert: definiert: M M11∩∩M M22=={m {m∈∈M M11| |m m∈∈M M22}}(= (={m {m∈∈M M22| |m m∈∈M M11}). }). Für Fürzwei zweireelle reelleZahlen Zahlenaaund undbbmit mitaa<<bbschreiben schreibenwir: wir: Eigenschaft: Eigenschaft:“m “m∈∈M M22””.. •• (a, (a,b) b)=={x∈R {x∈R| |a<x<b} a<x<b} „offenes „offenesIntervall“, Intervall“, •• Beispiel: Beispiel: M M11:: Menge Menge der der Biologiestudenten, Biologiestudenten, M M22:: Menge Menge der der MatheMathematikstudenten. matikstudenten. Dann Dann ist ist M M1 ∩∩ M M2 die die Menge Menge der der Studenten, Studenten, die die •• (a, (a,b] b]=={x∈R {x∈R| |a<x≤b} a<x≤b} „linksseitig „linksseitighalboffenes halboffenesIntervall“, Intervall“, 1 •• [a, [a,b) b)=={x∈R {x∈R| |a≤x<b} a≤x<b} „rechtsseitig „rechtsseitighalboffenes halboffenesIntervall“, Intervall“, 2 sowohl sowohlBio Bioals alsauch auchMathe Mathestudieren. studieren. •• [a, [a,b] b]=={x∈R {x∈R| |a≤x≤b} a≤x≤b} „geschlossenes „geschlossenesIntervall“. Intervall“. •• Beispiel: Beispiel: GG == Menge Menge der der geraden geraden natürlichen natürlichen Zahlen, Zahlen, DD == Menge Menge der derdurch durch33teilbaren teilbarennatürlichen natürlichenZahlen. Zahlen.Dann Dannist ist GG∩∩DD die dieMenge Menge der derdurch durch66teilbaren teilbarennatürlichen natürlichenZahlen. Zahlen. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 17 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 18 Kapitel 1: Grundlagen Schnittmengen Schnittmengenim imVenn-Diagramm Venn-Diagramm Disjunkte DisjunkteMengen Mengen •• Zwei ZweiMengen Mengenheißen heißendisjunkt disjunkt(oder (oderauch auch„elementfremd“), „elementfremd“), wenn wennsie siekein keinElement Elementgemeinsam gemeinsamhaben. haben. Formaler: Formaler:M M11 und und M M22 werden werdendisjunkt disjunktgenannt, genannt,falls falls M M11∩∩M M22=={}{} gilt. gilt. •• Beispiel: Beispiel:Sei Sei CC die dieMenge Mengeder derMitglieder Mitgliederder derCDU, CDU,SS die dieMenge Menge der derMitglieder Mitgliederder derSPD. SPD.Dann Dannsind sind CC und und SS disjunkte disjunkteMengen. Mengen. •• Beispiel: Beispiel:Die DieMenge Mengeder derdurch durch 44 teilbaren teilbarenZahlen Zahlenund unddie dieMenge Menge der derPrimzahlen Primzahlensind sinddisjunkt. disjunkt. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 19 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 20 Vereinigungsmenge Vereinigungsmenge Aufgaben Aufgaben •• Die DieVereinigung Vereinigungzweier zweierMengen Mengen M M11 und und M M22 ist istso sodefiniert: definiert: Bestimmen BestimmenSie Siedie diefolgenden folgendenMengen: Mengen: M M11∪∪M M22=={m {m| |m m∈∈M M11 oder oder m m∈∈M M22}.}. (a) (a){rot, {rot,blau, blau,gelb} gelb}∩∩{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, •• Beispiel: Mengeder derBiologiestudenten, Biologiestudenten,M M22::Menge Mengeder der Beispiel:M M11::Menge Mathematikstudenten. Mathematikstudenten.Dann Dannist ist M M1 ∪∪M M2 die dieMenge Mengeder derStudenten, Studenten, 1 (b) (b){rot, {rot,blau, blau,gelb} gelb}∪∪{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, 2 die dieBio Biooder oderMathe Mathe(oder (oderbeides) beides)studieren. studieren. (c) (c)NN∩∩{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, Bemerkung: Bemerkung:Wenn Wennwir wir„oder“ „oder“sagen sagenmeinen meinenwir wirimmer immerdas dasnichtnichtausschließliche ausschließlicheOder. Oder. (d) (d)NN∪∪{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, (e) (e)NN∩∩Z, Z, •• Beispiel: Beispiel:GG==Menge Mengeder dergeraden geradennatürlichen natürlichenZahlen, Zahlen,UU==Menge Menge der derungeraden ungeradennatürlichen natürlichenZahlen. Zahlen.Dann Dannist ist GG∪∪UU==N. N. (f) (f)NN∪∪Z. Z. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 21 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 22 Kapitel 1: Grundlagen Differenz Differenzvon von Mengen Mengen Komplement Komplementeiner einer Menge Menge •• Die DieDifferenz Differenzzweier zweierMengen Mengen M M11 und und M M22 ist istso sodefiniert: definiert: •• Wenn Wenndie dieMenge Menge M M22 eine eineTeilmenge Teilmengevon von M M11 ist, ist,so sonennt nenntman mandie die Differenz Differenz M M1\M \M2 das dasKomplement Komplementvon von M M2 in in M M1.. M M11\\M M22=={m {m∈∈M M11| |m m∉∉M M22}.}. Eigenschaft: Eigenschaft: “m “m∉∉M M2”.”. 1 2 2 2 •• Zwei und M M11 Zwei Teilmengen Teilmengen M M22 und komplementär komplementärgenannt, genannt,wenn wenngilt gilt •• Beispiele: Beispiele:{rot, {rot,blau, blau,gelb}\{grün, gelb}\{grün,weiß, weiß,rot} rot}=={blau, {blau,gelb} gelb} Z\G Z\G ==Menge Mengeder derungeraden ungeradenganzen ganzenZahlen Zahlen 1 einer einer Menge Menge M M werden werden M M22==M M und undM M11∩∩M M22=={}. {}. M11∪∪M N\G N\G ==Menge Mengeder derungeraden ungeradennatürlichen natürlichenZahlen. Zahlen. (Man M\M11 ist.) ist.) (Mankann kannauch auchsagen: sagen:… …wenn wenn M M22==M\M •• Bemerkungen: Bemerkungen: 1. 1.Wir Wirbenutzen benutzen“\” “\” anstelle anstellevon von “–”. “–”. •• Beispiel: {2, 4, 4, 6}, 6}, M M22 == {1, {1, 3, 3, 5} 5} sind sind komplementäre komplementäre TeilTeilBeispiel: M M11 == {2, mengen mengenvon von {1, {1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,6}. 6}. 2. \M22 auch auchdann dannbilden, bilden,wenn wenn M M22 keine keineTeilmenge Teilmenge 2.Man Mandarf darf M M11\M von von M M1 ist. ist. 1 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 23 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 24 Aufgaben Aufgaben 1.1.3 1.1.3Das Daskartesische kartesischeProdukt Produkt •• Ziel: Ziel:Mengen Mengenganz ganzneuen neuenTyps! Typs! Bestimmen BestimmenSie Siedie diefolgenden folgendenMengen: Mengen: •• Seien und M M22 Seien M M11 und kartesische kartesische Produkt Produkt (a) (a){rot, {rot,blau, blau,gelb} gelb}\\{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, (b) (b){rot, {rot,blau, blau,gelb} gelb}\\{blau, {blau,gelb, gelb,rot}, rot}, zwei zwei Mengen Mengen mit mit M M11,, M M22 ≠≠ {}. {}. Dann Dann ist ist das das die die Menge Menge M M1×M ×M2,, die die aus aus allen allen geordneten geordneten 1 2 Paaren Paaren (m (m11,,m m22)) mit mit m m11∈∈M M11 und und m m22∈∈M M22besteht. besteht. (c) (c)NN\\{grün, {grün,gelb, gelb,lila}, lila}, •• Beispiel: {0,1, 1,2} 2} und und M M22=={a, {a,b}, b},so sogilt gilt Beispiel:Ist Ist M M11=={0, (d) (d){rot, {rot,blau, blau,gelb} gelb}\\N, N, M M11×M ×M22=={(0, {(0,a), a),(0, (0,b), b),(1, (1,a), a),(1, (1,b), b),(2, (2,a), a),(2, (2,b)}. b)}. (e) (e)NN\\Z, Z, •• Achtung: Achtung: Bei Bei den den Paaren Paaren kommt kommt es es auf auf die die Reihenfolge Reihenfolge an! an! Zum Zum Beispiel Beispielist istdas dasPaar Paar (a, (a,0) 0) kein keinElement Elementder derobigen obigenMenge Menge M M1×M ×M2.. (f) (f)ZZ\\N. N. 1 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 25 Kapitel 1: Grundlagen Kapitel 1: Grundlagen Das Dasallgemeine allgemeinekartesische kartesischeProdukt Produkt © Dr. Zschiegner 2008 Seite 26 Das Daskartesische kartesischeProdukt: Produkt: Bemerkungen Bemerkungen •• Seien Seien M M11,,M M22,,..., ...,M Mnn nichtleere nichtleereMengen, Mengen,dann dannist istdas daskartesische kartesische Produkt Produktdieser dieserMengen Mengendefiniert definiertdurch: durch: •• Die DieBezeichnung Bezeichnung“kartesisch” “kartesisch”(früher (früherauch auch„cartesisch“) „cartesisch“)geht gehtauf aufden den Mathematiker Mathematikerund undPhilosophen PhilosophenRené RenéDescartes Descartes(1596 (1596--1650) 1650) M M11×M ×M22××......×M ×Mnn=={(m {(m11,,m m22,,..., ...,m mnn))m m11∈∈M M11,,m m22∈∈M M22,,..., ...,m mnn∈∈M Mnn}} zurück. zurück. In Inder derMathematik Mathematikwird wirdsein seinName Namedamit damitverbunden, verbunden,dass dasser erdie die •• Beispiel: Beispiel:Seien Seien He, He,Ho, Ho,SS die dieMengen Mengender derHemden, Hemden,Hosen Hosenund und Schuhen Schuhenvon vonProfessor ProfessorX. X.Dann Dannbeschreibt beschreibtdie dieMenge Menge He×Ho×S He×Ho×S Punkte Punkteder derEbene Ebenedurch durchPaare Paarevon vonZahlen Zahlendargestellt dargestellthat hat(siehe (siehe Kapitel Kapitel3). 3). die dieMöglichkeiten Möglichkeitenvon vonProfessor ProfessorX, X,sich sichzu zukleiden. kleiden. •• Die DieElemente Elementevon von M M11×M ×M22××......×M ×Mnn tragen tragenvielfältige vielfältigeNamen: Namen: n-Tupel, n-Tupel,Folgen Folgender derLänge Länge n. n. •• Beispiel: Beispiel:Für FürAA=={1, {1,2, 2,3}, 3},BB=={a, {a,b} b}und undCC=={x, {x,y} y}ist ist AA××BB××CC=={(1,a,x), {(1,a,x),(1,a,y), (1,a,y),(1,b,x), (1,b,x),(1,b,y), (1,b,y),(2,a,x), (2,a,x),(2,a,y), (2,a,y),(2,b,x), (2,b,x), Statt Statt2-Tupel 2-Tupelsagt sagtman manPaar, Paar,statt statt3-Tupel 3-Tupelsagt sagtman manTripel. Tripel. (2,b,y), (2,b,y),(3,a,x), (3,a,x),(3,a,y), (3,a,y),(3,b,x), (3,b,x),(3,b,y)} (3,b,y)}.. Kapitel 1: Grundlagen 2 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 27 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 28 Aufgabe Aufgabe 1.1.4 1.1.4Mächtigkeiten Mächtigkeiten •• Sei Sei M M eine eineMenge. Menge. Wir Wirbezeichnen bezeichnenwir wirdie dieAnzahl Anzahlder derElemente Elementevon von M M mit mit M. M.Diese Diese Zahl Zahlheißt heißtMächtigkeit Mächtigkeit(oder (oderKardinalität) Kardinalität)von von M. M. •• Beispiel: Beispiel: {0,1,2,3} {0,1,2,3}==4. 4. Bestimmen BestimmenSie Siedas daskartesische kartesischeProdukt ProduktAAxxBBfür fürdie dieMengen Mengen AA=={Stufenheck, {Stufenheck,Fließheck, Fließheck,Kombi}, Kombi}, •• Eine EineMenge Mengewird wirdendlich endlichgenannt, genannt,wenn wennihre ihreMächtigkeit Mächtigkeiteine eine natürliche natürlicheZahl Zahlist. ist. BB=={Automatik, {Automatik,Handschaltung}. Handschaltung}. •• Sonst Sonstheißt heißtdie dieMenge Mengeunendlich. unendlich.Wenn Wenn M M eine eineunendliche unendlicheMenge Menge ist, ist,so soschreiben schreibenwir wir M M==∞. ∞. •• Beispiel: Beispiel:N N==∞∞ und und Z Z==∞. ∞. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 29 Kapitel 1: Grundlagen Mächtigkeit Mächtigkeitdes des Komplements Komplements Summenformel Summenformel 1.1.1 1.1.1 Satz. Satz. Sei Sei M M11 eine eine endliche endliche Menge, Menge, und und sei sei M M22 eine eine Teilmenge Teilmengevon von M M11..Dann Danngilt: gilt: 1.1.2 1.1.2Satz. Satz.Seien Seien M M11 und und M M22 endliche endlicheMengen. Mengen.Dann Danngilt gilt M M11\M \M22==M M11––M M22. . M M11∪∪M M22==M M11++M M22––M M11∩∩M M22. . Beispiel: Beispiel: Anzahl Anzahl der der männlichen männlichen Einwohner Einwohner der der Bundesrepublik Bundesrepublik == Gesamtbevölkerungszahl Gesamtbevölkerungszahlminus minusAnzahl Anzahlder derFrauen. Frauen. Beispiel: Beispiel:Für Fürdie dieAnzahl Anzahlder derStudierenden, Studierenden,die dieMathematik Mathematikstudieren studieren oder oderSport Sportstudieren, studieren,muss mussman manwissen, wissen,(a) (a)wie wieviele vieleLeute LeuteMatheMathe- Beweis. Beweis.Zu Zuzeigen: zeigen:Auf Aufbeiden beidenSeiten Seitensteht stehtdie diegleiche gleicheZahl! Zahl! Linke \M2.. LinkeSeite: Seite: Anzahl Anzahlder derElement Elementvon von M M1\M 1 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 30 Kapitel 1: Grundlagen matik matikstudieren, studieren,(b) (b)wie wieviele vieleSport Sportstudieren studierenund und(c) (c)wie wieviele viele Mathematik Mathematikund undSport Sportstudieren. studieren. 2 Rechte RechteSeite: Seite:Wir Wirzählen zählenzuerst zuerstdie dieAnzahl Anzahlder derElemente Elementevon von M M11,, dann dannziehen ziehenwir wirdie dieElemente Elementevon von M M2 wieder wiederab. ab.Daher Dahererhalten erhaltenwir wir 2 auch auchauf aufder derrechten rechtenSeite Seitedie dieAnzahl Anzahlder derElemente Elementevon von M M11\M \M22.. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 31 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 32 Summenformel: Summenformel: Der Der Beweis Beweis Aufgabe Aufgabe Beweis Beweis(= (=warum warumist istdas dasso?). so?). Zu Zuzeigen: zeigen:Auf Aufbeiden beidenSeiten Seitensteht stehtdie diegleiche gleicheZahl! Zahl! Linke LinkeSeite: Seite:Jedes JedesElement Elementvon vonM M11∪∪M M22 wird wirdgenau genaueinmal einmalgezählt. gezählt. Rechte RechteSeite: Seite:In In M M11++M M22 wird wirdjedes jedesElement Elementvon von M M11 und und jedes einmalgezählt, gezählt, jedesElement Elementvon von M M2 einmal Bestimmen BestimmenSie SieA A∪∪BB∪∪C Cfür fürjejedrei dreiendliche endliche Mengen Mengen A, A,B, B,C. C. 2 die ∩M22 werden werdenalso alsodoppelt doppeltgezählt. gezählt. dieElemente Elementevon von M M11∩M Dies Dieswird wirddadurch dadurchkorrigiert, korrigiert,dass dass M M11∩∩M M22 wieder wiederabgezogen abgezogen wird. wird. Daher Daherwird wirdauch auchauf aufder derrechten rechtenSeite Seitejedes jedesElement Elementgenau genaueinmal einmal gezählt. gezählt. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 33 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 34 Kapitel 1: Grundlagen Aufgabe Aufgabe Die DieProduktformel Produktformel 1.1.3 1.1.3Satz. Satz.Seien Seien M M11,,M M22 nichtleere nichtleereendliche endlicheMengen. Mengen.Dann Danngilt: gilt: Welche Welcheder derAussagen Aussagensind sindfür fürbeliebige beliebigeMengen Mengen XX und und YY richtig? richtig? M M11×M ×M22==M M11⋅ ⋅M M22. . (a) (a)Wenn Wenn XX\\YY==∅ ∅ ist, ist,dann danngilt gilt XX==Y. Y. (b) (b)XX∩∩YY=={m {m| |m m∈∈XXund undm m∈∈Y}. Y}. (c) (c)|X |X∪∪Y| Y|==|X| |X|++|Y|. |Y|. Beispiel: Beispiel:In Ineinem einemRaum Raumbefinden befindensich sich66Frauen Frauenund und44Männer. Männer. Dann Dannkann kannman mangenau genau 6⋅4 6⋅4 ==24 24 getrennt getrenntgeschlechtliche geschlechtlichePaare Paare (d) (d)Wenn Wenn XX∪∪YY endlich endlichist, ist,dann dannsind sindauch auch XX und und YY endlich. endlich. bilden. bilden. (e) (e)Wenn Wenn XX∩∩YY endlich endlichist, ist,dann dannsind sindauch auch XX und und YY endlich. endlich. Beispiel: Beispiel:Die DieAnzahl Anzahlaller allerPaare Paare (x, (x,y), y), wobei wobei xx aus ausder derMenge Menge {0, {0,1, 1,2, 2,..., ...,9} 9} Begründen BegründenSie SieIhre IhreEntscheidung, Entscheidung,indem indemSie Sieentweder entwederein einArgument Argument für fürdie dieRichtigkeit Richtigkeitder derAussage Aussageoder oderein einGegenbeispiel Gegenbeispielangeben. angeben. Kapitel 1: Grundlagen und und yy aus ausder derMenge Menge {a, {a,b, b,c,c,d, d,..., ...,z} z} stammt, stammt, ist ist 10⋅26 10⋅26 ==260. 260. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 35 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 36 Die DieProduktformel: Produktformel: Der Der Beweis Beweis Allgemeine AllgemeineProduktformel Produktformel Beweis Beweis(= (=warum warumist istdie dieFormel Formelrichtig?). richtig?). Die DieMenge Menge M M1×M ×M2 besteht bestehtaus ausallen allenPaaren Paaren (m (m1,,m m2)) mit mit m m1 ∈∈M M1 1 2 1 2 1 1.1.4 1.1.4Satz. Satz.Seien Seien M M11,,M M22,,..., ...,M Mnn endliche endliche nichtleere nichtleere Mengen. Mengen.Dann Dann ist ist 1 und und m m22∈∈M M22..Wir Wirmüssen müssendie dieAnzahl Anzahldieser dieserPaare Paareberechnen. berechnen. M M11×M ×M22××... ...×M ×Mnn==M M11⋅M ⋅M22⋅ ⋅... ...⋅M ⋅Mnn. . Für habenwir wirgenau genau M M11 Fürdie dieerste ersteKomponente Komponente(also (alsofür für m m11)) haben Möglichkeiten Möglichkeitenzu zuAuswahl. Auswahl. Beispiel. Beispiel.Wenn Wenn Professor Professor XXgenau genau 88 Hemden, Hemden, 33 Hosen Hosen und und 44 Paar Paar Schuhe Schuhehat, hat,so sokann kanner ersich sichauf auf 8⋅3⋅4 8⋅3⋅4==96 96Weisen Weisenkleiden. kleiden. Für Fürjede jededieser dieserMöglichkeiten Möglichkeitenkönnen könnenwir wirdie diezweite zweiteKomponente Komponente m m2 inin M M2 ohne ohnejede jedeEinschränkung Einschränkungwählen. wählen. 2 Beispiel. Beispiel.Bei BeiGeldausgabeautomaten Geldausgabeautomatenbesteht bestehtdie dieGeheimzahl Geheimzahlaus aus vier vierDezimalstellen. Dezimalstellen.Wie Wieviele vielePINs PINsgibt gibtes, es,bei beidenen denendie dieerste ersteStelle Stelle 2 Dafür Dafürgibt gibtes es M M22 viele vieleMöglichkeiten. Möglichkeiten. nicht nicht 00ist? ist? Antwort: Antwort:9⋅10⋅10⋅10 9⋅10⋅10⋅10==9000. 9000. Um Umein einPaar Paar (m (m11,,m m22)) zu zuwählen wählengibt gibtes esinsgesamt insgesamtalso alsogenau genau M M11⋅ ⋅M M22 Möglichkeiten. Möglichkeiten. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 37 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 38 Kapitel 1: Grundlagen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe In Inmeinem meinemLieblingssteakrestaurant Lieblingssteakrestaurantkann kannman mansich sichseine seineMahlzeit Mahlzeitaus aus folgenden folgendenKomponenten Komponentenselbst selbstzusammenstellen: zusammenstellen: (a) (a)Hüftsteak, Hüftsteak,Rumpsteak, Rumpsteak,Filetsteak, Filetsteak,Rib-Eye Rib-EyeSteak; Steak; (b) (b)Gewicht: Gewicht:180g 180goder oder250g; 250g; (c) (c)Beilagen: Beilagen:Folienkartoffeln, Folienkartoffeln,Pommes PommesFrites, Frites,Kroketten, Kroketten,Bratkartoffeln, Bratkartoffeln, weißer weißerLangkornreis, Langkornreis,Maiskolben, Maiskolben,Knoblauchbrot, Knoblauchbrot,rote roteBohnen, Bohnen, Zwiebelringe, Zwiebelringe,Champignons; Champignons; (d) (d)Saucen: Saucen:Kräuterbutter, Kräuterbutter,Pfefferrahmsauce, Pfefferrahmsauce,Sauce Saucen. n.Art ArtBéarnaise. Béarnaise. Seien Seien M M11 und und M M22 Mengen. Mengen.Wir Wirdefinieren definierendie diesymmetrische symmetrische Differenz und M M2 durch durch Differenzvon von M M1 und 1 (a) (a)Beschreiben BeschreibenSie Siedie diesymmetrische symmetrischeDifferenz DifferenzininWorten. Worten. (b) (b)Machen MachenSie Siesich sichdie diesymmetrische symmetrischeDifferenz Differenzan aneinem einemVennVennDiagramm Diagrammklar. klar. Wenn Wennich ichjeden jedenMonat Monateinmal einmaldort dortesse: esse:Wie Wielange langebrauche braucheich, ich,um um alle alleKombinationen Kombinationendurchzuprobieren? durchzuprobieren?Was Washat hatdas dasGanze Ganzemit mitdem dem kartesischen kartesischenProdukt Produktzu zutun? tun? Kapitel 1: Grundlagen 2 M M11∆∆M M22==(M (M11∪∪M M22))\\(M (M11∩∩M M22).). (c) (c)Wenn Wenn M M11 und und M M22 endliche endlicheMengen Mengensind, sind,können könnenSie Siedann danndie die Mächtigkeit Mächtigkeitvon vonM M1 ∆∆M M2 angeben? angeben? 1 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 39 Kapitel 1: Grundlagen Seite 2 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 40 1.1.5 1.1.5 Relationen Relationen Beispiele Beispielefür fürRelationen Relationen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 41 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 42 Kapitel 1: Grundlagen Aufgaben Aufgaben 1.2 1.2 Abbildungen Abbildungen 1. 1. Sei SeiAA==BB==ZZ(= (=ganze ganzeZahlen). Zahlen).Bestimmen BestimmenSie Siedie dieRelation Relationvon vonAA ininB, B,die diealle allePaare Paare(a, (a,b) b)mit mita² a²++b² b²==25 25enthält. enthält. 2. 2. Sei SeiAA==BB==NN(= (=natürliche natürlicheZahlen). Zahlen).Bestimmen BestimmenSie Siedie dieRelation Relation von vonAAininB, B,die diealle allePaare Paare(a, (a,b) b)mit mita² a²++bb==44enthält. enthält. Welche Welcheder derbeiden beidenobigen obigenRelationen Relationenordnet ordneteiner einerZahl Zahlaaeindeutig eindeutig eine eineZahl Zahlbbzu? zu? Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 43 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 44 Abbildungen Abbildungen==Funktionen Funktionen Beispiele Beispiele von von Abbildungen Abbildungen Seien SeienXXund undYYMengen. Mengen.Eine EineRelation Relationffvon vonXXininYYheißt heißtFunktion Funktion (oder (oderAbbildung) Abbildung)von vonXXininY, Y,wenn wennes esfür fürjedes jedesxx∈∈XXgenau genauein einyy∈∈YY •• Zuordnung Zuordnung Ware Ware→ →Preis Preis ist isteine eineAbbildung. Abbildung. Hier Hierist ist XX die dieMenge Mengeder derWaren Warenund und YY die dieMenge Mengeder derPreise. Preise.Jede Jede gibt, gibt,so sodass dass(x, (x,y) y)∈∈ffist. ist. Ware Warehat hateinen eineneindeutigen eindeutigenPreis; Preis;also alsoist istdie dieZuordnung Zuordnungeine eine Abbildung. Abbildung. Kurz: Kurz:„Funktionen „Funktionensind sindeindeutige eindeutigeRelationen.“ Relationen.“ Beispiel: Beispiel:Die DieRelation Relationf,f,die diedie diePaare Paare(x, (x,y) y)∈∈RR××RRenthält, enthält,für fürdie die yy==2x 2xgilt, gilt,ist isteine eineFunktion. Funktion. •• Zuordnung Zuordnung Person Person→ →Körpergröße Körpergröße ist isteine eineAbbildung. Abbildung. X: X: Menge Mengealler allerPersonen, Personen,Y: Y: Menge Mengeder dernatürlichen natürlichenZahlen. Zahlen. Anders Andersausgedrückt: ausgedrückt:Eine EineFunktion Funktion(oder (oderAbbildung) Abbildung)von von XX nach nach YY ist isteine eineVorschrift, Vorschrift, die diejedem jedemElement Elementvon von XX Die DieKörpergröße Körpergrößeeiner einerPerson Personist isteindeutig. eindeutig. Es Eskann kannsein, sein,dass dassmehrere mehrerePersonen Personendieselbe dieselbeGröße Größehaben; haben;das dasist ist nicht nichtverboten. verboten. genau genauein einElement Elementvon von YY zuordnet. zuordnet. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 45 Kapitel 1: Grundlagen Sprache Sprache der der Abbildungen Abbildungen Mathematische MathematischeBeispiele Beispiele •• Für Füreine eineAbbildung Abbildung ff von von XX nach nach YY schreiben schreibenwir wir f:f:XX→ →Y. Y. •• Sei Sei ff die dieAbbildung Abbildungder derMenge Menge {1,2,3} {1,2,3} ininsich, sich,die diefolgendermaßen folgendermaßen erklärt erklärtist ist •• Jedem JedemElement Element xx∈∈XX wird wirdgenau genauein ein yy∈∈YY zugeordnet. zugeordnet.Dieses Dieses yy bezeichnen bezeichnenwir wirmit mit f(x). f(x). 11→ →1, 1,22→ →3, 3,33→ →2. 2. 2 •• Die DieVorschrift Vorschrift f:f:RR→ →R, R,definiert definiertdurch durch f(x) f(x)==xx2,,ist isteine eineAbbildung. Abbildung. •• Bezeichnung: Bezeichnung: Bemerkung: Bemerkung: Bei Bei Abbildungen Abbildungen von von RR inin sich sich verwendet verwendet man man meist meist den denBegriff BegriffFunktion Funktionstatt stattAbbildung. Abbildung. f:f:XX→ →Y: Y:yy==f(x) f(x) oder oder •• Wir Wirordnen ordnenjeder jedernichtleeren nichtleerenTeilmenge Teilmengevon von NN ihr ihrkleinstes kleinstesElement Element zu. zu. Das Das ergibt ergibteine eine Abbildung; Abbildung; Definitionsbereich: Definitionsbereich: Menge Menge aller aller nichtnicht- f:f:XX→ →Y: Y:xx→ →f(x). f(x). leeren leerenTeilmengen Teilmengenvon von N, N,Bildbereich: Bildbereich: N. N. X: X: Definitionsbereich, Definitionsbereich,Y: Y: Bildbereich. Bildbereich. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 46 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 47 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 48 Darstellungen Darstellungen von von Abbildungen Abbildungen Die DieIdentität Identität •• Wir Wirbetrachten betrachtenAbbildungen Abbildungeneiner einerMenge Menge XX ininsich. sich. •• Identität: Identität:ordnet ordnetjedem jedemElement Element xx aus aus XX wieder wiederdas dasElement Element xx zu. zu. •• Bezeichnung: Bezeichnung: idid oder odergenauer genauer ididXX.. •• Es Esgilt giltalso also = x für alle x ∈ X. ididX(x) X(x) = x für alle x ∈ X. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 49 Kapitel 1: Grundlagen Hintereinanderausführung Hintereinanderausführung von von Abbildungen Abbildungen Beispiele Beispiele Beispiel: Beispiel:Sei Sei XX=={0, {0,1, 1,2}, 2},YY=={a, {a,b, b,c}, c},ZZ=={α, {α,β, β,γ}. γ}.Seien Seien g: g:XX→ →YY und und f:f:YY→ →ZZ die diefolgendermaßen folgendermaßendefinierten definiertenAbbildungen: Abbildungen: •• Definition: Definition:Sei Sei g: g:XX→ →YY eine eineAbbildung Abbildungvon von XX nach nach Y, Y,und undsei sei f:f: YY→ →ZZ eine eineAbbildung Abbildungvon von YY nach nach Z. Z.Dann Dannist ist ff◦◦gg eine eine g(0) g(0)==c,c,g(1) g(1)==a, a,g(2) g(2)==c;c;f(a) f(a)==β, β,f(b) f(b)==γ,γ,f(c) f(c)==α. α. Abbildung Abbildungvon von XX nach nach Z, Z,wenn wennwir wirdefinieren definieren Dann Dannist ist ff◦◦gg wie wiefolgt folgtdefiniert: definiert: ff◦◦g: g:XX→ →Z: Z:xx→ →f(g(x)). f(g(x)). (f(f◦◦g)(0) g)(0)==f(g(0)) f(g(0))==f(c) f(c)==α, α,(f(f° °g)(1) g)(1)==f(g(1)) f(g(1))==f(a) f(a)==β, β, (f(f◦◦g)(2) g)(2)==f(g(2)) f(g(2))==f(c) f(c)==α. α. •• Man Man spricht spricht von von Hintereinanderausführung Hintereinanderausführung von von Abbildungen; Abbildungen; (oder: (oder:Verknüpfung, Verknüpfung,Verkettung, Verkettung,Komposition Kompositionoder oderProdukt). Produkt). Beispiel: Beispiel:Sei Sei gg die dieAbbildung, Abbildung,die dieeinem einemKraftfahrzeug Kraftfahrzeugseinen seinen Hubraum Hubraumund und ff die dieAbbildung, Abbildung,die dieeinem einemHubraum Hubraumdie dieSteuerklasse Steuerklasse •• Achtung Achtung Reihenfolge! Reihenfolge! Für Für ff ◦◦ gg muss muss man man zuerst zuerst gg und und dann dann ff ausführen. ausführen.Man Manliest liest „f„f◦◦g“ g“ als als„f„f nach nach g” g” oder oder„erst „erst g, g,dann dann f”. f”. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 50 Kapitel 1: Grundlagen zuordnet. zuordnet.Dann Dannist ist ff◦◦gg die dieAbbildung, Abbildung,die dieeinem einemKraftfahrzeug Kraftfahrzeug seine seineSteuerklasse Steuerklassezuordnet. zuordnet. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 51 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 52 Beispiel Beispiel Aufgabe Aufgabe 2 Beispiel: Beispiel:Seien Seienffund undggdie dieAbbildungen Abbildungenvon vonRRininsich sichmit mitf(x) f(x)==xx2und und g(x) g(x)==xx++5. 5. Die DieAbbildungen Abbildungen ff und und gg von vonRRininsich sichseien seiendurch durch f(x) f(x)==xx++11 und und g(x) g(x)==2x 2xdefiniert. definiert. Dann Dannsind sindsowohl sowohlff◦◦ggals alsauch auchgg◦◦ffAbbildungen Abbildungenvon vonRRininsich sichmit mit (f(f◦◦g)(x) g)(x)==(x (x++5)², 5)², (a) (a) Bilden BildenSie Siedie dieverkettete verketteteAbbildung Abbildung ffoog. g. (g (g◦◦f)(x) f)(x)==x² x²++5. 5. (b) (b) Bilden BildenSie Siedie dieverkettete verketteteAbbildung Abbildung ggoof.f. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 53 Kapitel 1: Grundlagen Umkehrabbildungen Umkehrabbildungen Beispiel Beispiel •• Beispiel: Beispiel:Wie Wiekönnen könnenwir wirdie dieAbbildung Abbildung ff mit mit f(0) f(0)==b, b,f(1) f(1)==cc und und f(2) f(2)==aa rückgängig rückgängigmachen? machen?––Ganz Ganzeinfach einfachdadurch, dadurch,dass dasswir wir Beispiel: Beispiel:Die DieAbbildung Abbildungffvon vonRRininsich sichmit mit jedem jedemBild Bildsein seinUrbild Urbildzuordnen. zuordnen. Die DieUmkehrabbildung Umkehrabbildung muss muss bb auf auf 0, 0,cc auf auf 11 und und aa auf auf 22 f(x) f(x)==2x+3 2x+3 abbilden. abbilden. ist istumkehrbar, umkehrbar,ihre ihreUmkehrabbildung Umkehrabbildungist ist •• Die DieUmkehrabbildung Umkehrabbildungvon von ff ist isteine eineAbbildung Abbildungvon von YY=={a, {a,b, b,c} c} inin –1 XX=={0, {0,1, 1,2}, 2},die diewir wirmit mit ff–1 bezeichnen. bezeichnen.Sie Sieist istdefiniert definiertdurch durch f–1 f–1(x) (x)==½ ½(x (x––3), 3), denn denn –1 –1 f–1 f–1(a) (a)==2, 2,ff–1(b) (b)==0, 0,ff–1(c) (c)==1. 1. –1 f–1 f–1(f(x)) (f(x))==ff–1(2x+3) (2x+3)==½ ½((2x+3) ((2x+3)––3) 3)==x.x. •• Kurz: Kurz: Wenn Wenn wir wir mit mit ff die die Pfeile Pfeile von von links links nach nach rechts rechts durchlaufen, durchlaufen, –1 so diePfeile Pfeilevon vonrechts rechtsnach nachlinks. links. sodurchlaufen durchlaufenwir wirmit mit ff–1 die Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 54 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 55 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 56 Aufgabe Aufgabe 1.3 1.3 Logik Logik Die DieAbbildungen Abbildungen ff und und gg von vonRRininsich sichseien seiendurch durch f(x) f(x)==3x 3x und und g(x) g(x)==xx−−11definiert. definiert. (a) (a) Bilden BildenSie Siedie dieverkettete verketteteAbbildung Abbildung ffoog. g. (b) (b) Bestimmen BestimmenSie Siedie dieUmkehrabbildungen Umkehrabbildungenvon von f,f,ggund und ffoog. g. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 57 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 58 Kapitel 1: Grundlagen Logik Logik Aussagen Aussagen •• Eine EineAussage Aussageist istein einsprachliches sprachlichesKonstrukt, Konstrukt,das dasprinzipiell prinzipiellfalsch falsch oder oderwahr wahrist. ist. •• Aussagen Aussagen •• Beispiele Beispielefür fürAussagen: Aussagen: Alle AlleStudenten Studentensind sindintelligent. intelligent. •• Zusammengesetzte ZusammengesetzteAussagen Aussagen Es Esgibt gibtunendlich unendlichviele vielePrimzahlen. Primzahlen. 2+2 2+2==5. 5. •• Wahrheitstafeln Wahrheitstafeln •• Allaussagen Allaussagen •• Keine KeineAussagen Aussagensind sindzum zumBeispiel: Beispiel: Guten GutenMorgen! Morgen! •• Existenzaussagen Existenzaussagen 5+3 5+3 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 59 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 60 Zusammengesetzte Zusammengesetzte Aussagen Aussagen Wahrheitstafeln Wahrheitstafeln •• Wir Wirbezeichnen bezeichnenAussagen Aussagenmit mitGroßbuchstaben, Großbuchstaben,wie wieA, A,B, B,C. C. Wie Wiekann kannman maneine einezusammengesetzte zusammengesetzteAussage Aussagebeschreiben? beschreiben? •• Aus Aus einer einer oder oder zwei zwei Aussagen Aussagen AA und und BB kann kann man man eine eine dritte dritte machen. machen.Die Diewichtigsten wichtigsten„zusammengesetzten” „zusammengesetzten”Aussagen Aussagensind: sind: •• Wir Wir müssen müssen für für zusammengesetzte zusammengesetzte Aussagen Aussagen nur nur festlegen, festlegen, wann wann sie siewahr wahrund undwann wannsie siefalsch falschsein seinsollen. sollen. •• ¬A ¬A (nicht (nichtA) A) •• AA∨∨BB (A (A oder oder B) B) •• AA∧∧BB (A (A und und B) B) •• Das Das hängt hängt davon davon ab, ab, ob ob die die Aussagen Aussagen AA und und BB wahr wahr oder oder falsch falsch sind. sind. •• AA⇒ ⇒BB (wenn (wenn A, A,dann dannB) B) •• Dies Dieskönnen könnenwir wirmit mitHilfe Hilfevon vonWahrheitstafeln Wahrheitstafelnausdrücken. ausdrücken. •• AA⇔ ⇔BB (A (A genau genaudann, dann,wenn wenn B) B) © Dr. Zschiegner 2008 Seite 61 Kapitel 1: Grundlagen AA∧∧ BB („A („A und und B“) B“) •• AA BB ww ww ww ff ff ff ww ff © Dr. Zschiegner 2008 Seite 62 Kapitel 1: Grundlagen AA∨∨ BB („A („A oder oder B“) B“) AA∧∧BB ww •• AA BB ww ww ww ff ff ff ff ff ff ww ff AA∨∨BB ww ww ww ff •• Wenn Wenn AA und und BB wahr wahrsind, sind,dann dannist ist AA∧∧BB wahr. wahr. Wenn Wenn AA wahr wahrund und BB falsch falschist, ist,dann dannist ist AA∧∧BB falsch. falsch. •• Wenn Wenn AA und und BB wahr wahrsind, sind,dann dannist ist AA∨∨BB wahr. wahr. Wenn Wenn AA wahr wahrund und BB falsch falschist, ist,dann dannist ist AA∨∨BB wahr. wahr. Wenn Wenn AA falsch falschund und BB wahr wahrist, ist,dann dannist ist AA∧∧BB falsch. falsch. Wenn Wenn AA und und BB falsch falschsind, sind,dann dannist ist AA∧∧BB falsch. falsch. Wenn Wenn AA falsch falschund und BB wahr wahrist, ist,dann dannist ist AA∨∨BB wahr. wahr. Wenn Wenn AA und und BB falsch falschsind, sind,dann dannist ist AA∨∨BB falsch. falsch. •• Beispiel: Beispiel:Die DieAussage Aussage (2+2=5) (2+2=5)∧∧(5 (5 ist isteine einePrimzahl) Primzahl) ist istfalsch. falsch. Kapitel 1: Grundlagen •• Beispiel: Beispiel:Die DieAussage Aussage (2+2=5) (2+2=5)∨∨(5 (5 ist isteine einePrimzahl) Primzahl) ist istwahr. wahr. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 63 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 64 ¬A ¬A („nicht („nicht A“) A“) Aufgaben Aufgaben AA ¬A ¬A ww ff ff ww Bilden BildenSie Siedie dieNegation Negationder derfolgenden folgendenAussagen Aussagenund undentscheiden entscheidenSie, Sie, ob obdie diegegebenen gegebenenAussagen Aussagenoder oderdie diejeweiligen jeweiligenNegationen Negationenwahr wahrsind. sind. (a) (a)Heute Heuteist istMittwoch. Mittwoch. •• Das Das bedeutet: bedeutet: ¬A ¬A ist ist genau genau dann dann eine eine wahre wahre Aussage, Aussage, wenn wenn AA falsch falschist. ist. (b) (b)88··77==55. 55. •• Beispiel: Beispiel:¬(2+2=5) ¬(2+2=5) ist isteine einewahre wahreAussage. Aussage. (d) (d)(2+2=5) (2+2=5)∨∨¬(5 ¬(5 ist isteine einePrimzahl). Primzahl). (c) (c)(3 (3++44==7) 7)∧∧(3 (3··44>>12). 12). © Dr. Zschiegner 2008 Seite 65 Kapitel 1: Grundlagen Kapitel 1: Grundlagen AA⇒ ⇒ BB („wenn („wenn A, A, dann dann B“) B“) AA⇔ ⇔ BB („A („A genau genaudann, dann,wenn wenn B“) B“) AA BB ww ww ww ff ff ww AA⇒ ⇒BB ww ff ww AA BB ww ww ww ff ff ww ff ww ff ff •• Wenn Wenn AA und und BB wahr wahrsind, sind,dann dannist ist AA⇒ ⇒BB eine einewahre wahreAussage. Aussage. Wenn Wenn AA wahr wahrund und BB falsch falschist, ist,dann dannist ist AA⇒ ⇒BB falsch. falsch. ff AA⇔ ⇔BB ww ff ff ww •• AA⇔ ⇔ BB ist istgenau genaudann danneine einewahre wahreAussage, Aussage,wenn wenn AA und und BB beide beide wahr wahroder oderbeide beidefalsch falschsind. sind. Wenn Wenn AA falsch falschund und BB wahr wahrist, ist,dann dannist ist AA⇒ ⇒BB wahr. wahr. Wenn Wenn AA und und BB falsch falschsind, sind,dann dannist ist AA⇒ ⇒BB eine einewahre wahreAussage. Aussage. •• Beispiel: Beispiel:Die DieAussage Aussage (2+2=5) (2+2=5)⇔ ⇔(5 (5 ist isteine einePrimzahl) Primzahl) ist isteine eine falsche falscheAussage, Aussage,aber aberdie dieAussage Aussage (2+2=5) (2+2=5)⇔ ⇔(6 (6 ist isteine einePrimzahl) Primzahl) •• Beispiel: Beispiel:Die DieAussage Aussage (2+2=5) (2+2=5)⇒ ⇒(5 (5 ist isteine einePrimzahl) Primzahl) ist istwahr. wahr. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 66 ist isteine einewahre wahreAussage. Aussage. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 67 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 68 Aussagen: Aussagen: Bemerkungen Bemerkungen Sätze Sätze •• Wahrheitstafeln Wahrheitstafelndienen dienennicht nichtnur nurder derDefinition Definitionvon vonAussagen, Aussagen, sondern sondernkönnen könnenauch auchdazu dazuverwendet verwendetwerden, werden,Sätze Sätzezu zubeweisen. beweisen. •• Wenn Wennzwei zweiAussagen Aussagenden dengleichen gleichenWahrheitswert Wahrheitswerthaben haben(also (alsobeide beide wahr wahr oder oder beide beide falsch falsch sind), sind), so so schreiben schreiben wir wir AA == B. B. (Man (Man könnte könnte •• Was Wasist istein einmathematischer mathematischerSatz? Satz? Ein Einmathematischer mathematischerSatz Satzist isteine einezusammengesetzte zusammengesetzteAussage, Aussage,die die immer immerwahr wahrist. ist. auch auch AA⇔ ⇔BB schreiben.) schreiben.) •• Bemerkung. Bemerkung.Obige ObigeFestlegungen Festlegungenerscheinen erscheinenzum zumTeil Teilwillkürlich. willkürlich. Aber Aberso sosind sinddie dieSymbole Symboleund undder derSprachgebrauch Sprachgebrauchininder der Das Dasheißt, heißt,dass dasssie sieunabhängig unabhängigvon vonder derVerteilung Verteilungder der Wahrheitswerte Wahrheitswerteder derEinzelaussagen Einzelaussagenwahr wahrist. ist. Mathematik Mathematikfestgelegt! festgelegt!Dass Dassdies diesso sosinnvoll sinnvollist, ist,wird wirdsich sichnoch noch herausstellen… herausstellen… •• Ein Einmathematischer mathematischerSatz Satzbesteht bestehtimmer immeraus auseiner einerVoraussetzung Voraussetzung und undeiner einerBehauptung. Behauptung. Das Dasheißt: heißt:Jeder JederSatz Satzist isteine eine„Wenn-dann-Aussage“. „Wenn-dann-Aussage“. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 69 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 70 Kapitel 1: Grundlagen Ein Eineinfacher einfacherSatz Satz Die Diede deMorganschen MorganschenGesetze Gesetze Satz. Satz.Für Füralle alleAussagen Aussagen AA und und BB gilt: gilt: 1.3.1 1.3.1Satz Satz(Augustus (Augustusde deMorgan). Morgan).Seien Seien AA und und BB Aussagen. Aussagen.Dann Dann gilt gilt (A (A∧∧B) B)⇒ ⇒A. A. „Gelten” „Gelten”bedeutet, bedeutet,dass dassdie dieGesamtaussage Gesamtaussagestets stetswahr wahrist, ist,unabunabhängig hängigdavon, davon,ob obdie dieAussagen Aussagen AA und und BB wahr wahroder oderfalsch falschsind. sind. (a) (a) ¬(A ¬(A∧∧B) B)==¬A ¬A∨∨¬B ¬B(erstes (erstesde deMorgansches MorganschesGesetz). Gesetz). (b) (b) ¬(A ¬(A∨∨B) B)==¬A ¬A∧∧¬B ¬B(zweites (zweitesde deMorgansches MorganschesGesetz). Gesetz). Beweis. Beweis. AA BB AA∧∧BB (A (A∧∧B) B)⇒ ⇒AA ww ww ww ww ww ff ff ww ff ff ff ff ww ww ff ww Kapitel 1: Grundlagen Beweisidee. Beweisidee.(a) (a)Wir Wirzeigen zeigendiese dieseBehauptung Behauptungdadurch, dadurch,dass dasswir wir zeigen, zeigen,dass dassfür fürjede jedeBelegung Belegungder derWahrheitswerte Wahrheitswertevon von AA und und BB die diebeiden beidenSeiten Seiten ¬(A ¬(A∧∧B) B) und und ¬A ¬A∨∨¬B ¬B stets stetsden dengleichen gleichen Wahrheitswert Wahrheitswerthaben. haben. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 71 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 72 Beweis Beweisdes desersten ersten de de Morganschen MorganschenGesetzes Gesetzes Beweis Beweisdes deszweiten zweitende de Morganschen MorganschenGesetzes Gesetzes Wahrheitstafel Wahrheitstafelfür für ¬(A ¬(A∧∧B) B) und und ¬A ¬A∨∨¬B ¬B AA BB ww ww ww ff ff ww ¬(A ¬(A∧∧B) B) ff ¬A ¬A ff ¬B ¬B ff ¬A ¬A∨∨¬B ¬B ff ww ww ff ww ww ff ww ww ff ww ww ww ww ff Wahrheitstafel Wahrheitstafelfür für ¬(A ¬(A∨∨B) B) und und ¬A ¬A∧∧¬B: ¬B: AA ww ww ff ff Die Diebeiden beidenSeiten Seitenhaben habengenau genauan anden dengleichen gleichenStellen Stellen ww und und ff stehen; stehen;also alsosind sinddie dieAussagen Aussagengleich. gleich. ¬(A ¬(A∨∨B) B) ff ¬A ¬A ff ¬B ¬B ff ¬A ¬A∧∧¬B ¬B ff ff ww ff ff ff ww ff ww ww ww ff ff ff ww ww Die Diebeiden beidenSeiten Seitenhaben habengenau genauan anden dengleichen gleichenStellen Stellen ww und und ff stehen; stehen;also alsosind sinddie dieAussagen Aussagengleich. gleich. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 73 Kapitel 1: Grundlagen BB ww © Dr. Zschiegner 2008 Seite 74 Kapitel 1: Grundlagen Aufgaben Aufgaben Exkurs: Exkurs: Widerspruchsbeweis Widerspruchsbeweis Beim BeimWiderspruchsbeweis Widerspruchsbeweisnimmt nimmt man manzunächst zunächstdas dasGegenteil Gegenteilvon von dem deman, an,was wasman manbeweisen beweisenmöchte. möchte. Durch Durchlogisches logischesSchließen Schließengelangt gelangt Beweisen BeweisenSie Siemit mitHilfe Hilfeeiner einerWahrheitstafel Wahrheitstafeldie dieAussagen Aussagen (a) (a)AA∧∧(A (A∨∨B) B)==A, A, man manzu zueinem einemWiderspruch. Widerspruch. (b) (b)(A (A∨∨B) B)∧∧CC==(A (A∧∧C) C)∨∨(B (B∧∧C), C), Beispiel: Beispiel:Behauptung: Behauptung:Man Man kann kanndas dasSchachbrett, Schachbrett,von vondem dem zwei zweiweiße weißeEckfelder Eckfelderentfernt entfernt sind, sind,nicht nichtmit mitDominosteinen, Dominosteinen, die diezwei zweiSchachfelder Schachfeldergroß großsind, sind, überdecken. überdecken. (c) (c)AA⇒ ⇒BB==(¬A) (¬A)∨∨B, B, (d) (d)AA⇒ ⇒BB==(¬B) (¬B)⇒ ⇒(¬A) (¬A) (Prinzip (Prinzipdes desWiderspruchsbeweises). Widerspruchsbeweises). Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 75 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 76 Allaussagen Allaussagen Allaussagen: Allaussagen:Aussagen Aussagenüber überalle alleElemente Elementeeiner einerMenge. Menge. Beispiel: Beispiel:Alle AllePrimzahlen Primzahlen>>22sind sindungerade. ungerade. In Injedem jedemDreieck Dreieckschneiden schneidensich sichdie dieMittellote Mittelloteinineinem einemPunkt. Punkt. Formal Formalschreiben schreibenwir wirdafür dafür Für Füralle alle xx gilt gilt... ... ∀∀xx... ... Beispiele: Beispiele: Für Füralle alleDreiecke Dreieckegilt: gilt:Die DieWinkelsumme Winkelsummeist ist180° 180° Sei Sei M M=={1, {1,3, 3,5, 5,7}. 7}.Dann Danngilt: gilt: Für Füralle alle m m∈∈M M ist ist m m eine eineungerade ungerade Zahl. Zahl. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 77 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 78 Kapitel 1: Grundlagen Allaussagen: Allaussagen: Bemerkungen Bemerkungen Existenzaussagen Existenzaussagen Existenzaussage: Existenzaussage:Es Esgibt gibtmindestens mindestensein einElement Elementder derbetreffenden betreffenden Menge, Menge,das daseine einegewisse gewisseEigenschaft Eigenschafthat. hat. 1. 1.Es Esgibt gibtkeinen keinenlogischen logischenUnterschied Unterschiedzwischen zwischen„Für „Füralle alleElemente Elemente gilt gilt...“ ...“und und„für „fürjedes jedesElement Elementgilt gilt...“. ...“. Sprachlich Sprachlichist istmanchmal manchmaldas daseine, eine,manchmal manchmaldas dasandere anderebesser. besser. 2. 2.Eine EineAllaussage Allaussageist isteine einelange langeund-Aussage. und-Aussage. Beispiele: Beispiele:(a) (a)Es Esgibt gibteine einegerade geradePrimzahl. Primzahl. (b) (b)Sei Sei M M=={1, {1,4, 4,9, 9,16}. 16}.Dann Danngilt gilt Beispiel: Beispiel:Sei Sei M M=={1, {1,3, 3,5, 5,7}. 7}.Dann Danngilt: gilt: Für Füralle alle m m∈∈M M ist ist m m eine eine ungerade ungeradeZahl. Zahl. Jede JedeExistenzaussage Existenzaussageist isteine einesehr sehrlange langeoder-Aussage. oder-Aussage.Statt Statt ∃∃ m m∈∈M: M:m m ist istgerade. gerade. ∃∃ m m∈∈M, M,das dasgerade geradeist ist Stattdessen Stattdessenkann kannman manauch auchsagen sagenund undschreiben: schreiben: kann kannman manauch auchsagen: sagen: (1 (1 ist istungerade) ungerade)∧∧(3 (3 ist istungerade) ungerade)∧∧(5 (5 ist istungerade) ungerade) ∧∧(7 (7 ist istungerade). ungerade). Kapitel 1: Grundlagen (1 (1 ist istgerade) gerade)∨∨(4 (4 ist istgerade) gerade)∨∨(9 (9 ist istgerade) gerade)∨∨(16 (16 ist istgerade). gerade). © Dr. Zschiegner 2008 Seite 79 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 80 Verneinung Verneinungvon von AllAll-und undExistenzaussagen Existenzaussagen Aufgaben Aufgaben 1.3.2 1.3.2Satz. Satz.(a) (a)Die DieNegation Negationeiner einerAllaussage Allaussageist isteine eine Existenzaussage. Existenzaussage.Genauer Genauergilt: gilt: Bilden BildenSie Siedie dieNegation Negationder derfolgenden folgendenAllAll-bzw. bzw.Existenzaussagen Existenzaussagenund und entscheiden entscheidenSie, Sie,ob obdie diegegebenen gegebenenAussagen Aussagenoder oderdie diejeweiligen jeweiligen Negationen Negationenwahr wahrsind. sind. ¬(∀ ¬(∀xx gilt gilt...) ...)==∃∃x,x,für fürdas dasnicht nichtgilt gilt... ... (b) (b)Die DieNegation Negationeiner einerExistenzaussage Existenzaussageist isteine eineAllaussage. Allaussage. Genauer Genauergilt: gilt: (a) (a)Jede JedePrimzahl Primzahlist istungerade. ungerade. (b) (b)Für Füralle allenn∈∈NNgilt: gilt:2n 2n++11ist istungerade. ungerade. ¬(∃ ¬(∃x,x,für fürdas dasgilt gilt))==∀∀xx gilt giltnicht nicht... ... (c) (c)Es Esgibt gibteine einenatürliche natürlicheZahl, Zahl,deren derenQuadrat Quadratgleich gleich169 169ist. ist. Beispiele: Beispiele:(a) (a)Alle AlleSchwäne Schwänesind sindweiß weiß Negation: Negation:Es Esgibt gibteinen einennichtweißen nichtweißenSchwan. Schwan. (d) (d)Jede JedeGerade Geradetrifft trifftden denEinheitskreis Einheitskreisininmindestens mindestenseinem einemPunkt. Punkt. (b) (b)Es Esgibt gibteinen einendummen dummenStudenten Studenten Negation: Negation:Alle AlleStudenten Studentensind sindintelligent. intelligent. (e) (e)Keine KeineGerade Geradetrifft trifftden denEinheitskreis Einheitskreisininmehr mehrals alszwei zweiPunkten. Punkten. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 81 Kapitel 1: Grundlagen Kapitel 1: Grundlagen Aufgabe Aufgabe © Dr. Zschiegner 2008 Seite 82 1.4 1.4Beweisen Beweisenmit mitvollständiger vollständigerInduktion Induktion Frau FrauMüller Müllerkündigt kündigtan: an:„Für „Fürheute heuteAbend Abendhabe habeich ichFamilie FamilieMeier Meierzu zu uns unseingeladen.“ eingeladen.“Herr HerrMüller Müllerfragt fragtbestürzt: bestürzt:„Kommt „Kommtetwa etwadie dieganze ganze Familie, Familie,also alsoHerr Herrund undFrau FrauMeier Meiermit mitihren ihrenSöhnen SöhnenAndreas, Andreas,Bernd Bernd und undChristian?“ Christian?“Frau FrauMüller Müllermöchte möchteihren ihrenMann Mannzum zumlogischen logischenDenken Denken anreizen anreizenund undantwortet: antwortet:„Wenn „WennHerr HerrMeier Meierkommt, kommt,dann dannbringt bringter erauch auch seine seineFrau Fraumit. mit.Es Eskommt kommtmindestens mindestenseiner einerder derSöhne SöhneBernd Berndund und Christian. Christian.Entweder Entwederkommt kommtFrau FrauMeier Meieroder oderAndreas. Andreas.Andreas Andreasund und Christian Christiankommen kommenentweder entwederbeide beideoder oderaber aberbeide beidenicht. nicht.Und Undwenn wenn Bernd Berndkommt, kommt,dann dannkommen kommenauch auchChristian Christianund undHerr HerrMeier. Meier.−−Alles Alles klar?“ klar?“Wer Werkommt kommtabends abendszu zuBesuch? Besuch? Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 83 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 84 Inhalt Inhalt 1.4.1 1.4.1Das DasPrinzip Prinzip •• Ziel: Ziel:In Inder derMathematik Mathematikmacht machtman manin inder derRegel RegelAussagen Aussagenüber über unendlich unendlichviele vieleObjekte Objekte(alle (alleZahlen, Zahlen,alle alle Dreiecke Dreieckeusw.) usw.) 1.4.1 1.4.1Das DasPrinzip Prinzip A(n) A(n)⇒ ⇒A(n+1) A(n+1) •• Solche SolcheAussagen Aussagenkann kannman manprinzipiell prinzipiellnicht nichtdadurch dadurchklären klären („beweisen“), („beweisen“),dass dassman manalle alleFälle Fälleeinzeln einzelnausprobiert. ausprobiert.Man Manmuß muß 1.4.2 1.4.2Anwendungen Anwendungen 11++22++33++... ...++nn==?? die dieAussage Aussagesozusagen sozusagen„auf „aufeinen einenSchlag“ Schlag“erledigen. erledigen.Dazu Dazu dient dientdie die(vollständige, (vollständige,mathematische) mathematische)Induktion. Induktion. 1.4.3 1.4.3Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen 1, 1,1, 1,2, 2,3, 3,5, 5,8,13, 8,13,21, 21,... ... •• Bemerkung: Bemerkung:Unter Unter„Induktion“ „Induktion“versteht verstehtman man(im (imGegensatz Gegensatzzur zur „Deduktion“ „Deduktion“eigentlich eigentlichdas das––logisch logischunzulässige unzulässige––Schließen Schließenvon von Einzelfällen Einzelfällenauf aufalle alleFälle. Fälle.Die Diemathematische mathematischeInduktion Induktionist istein ein Werkzeug, Werkzeug,mit mitdem demman mandas dassauber saubermachen machenkann. kann. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 85 Kapitel 1: Grundlagen Zum ZumPrinzip Prinzipder dervollständigen vollständigenInduktion Induktion © Dr. Zschiegner 2008 Seite 86 Das DasPrinzip Prinzip der der vollständigen vollständigenInduktion Induktion Prinzip Prinzip der der vollständigen vollständigen Induktion. Induktion. Sei Sei AA eine eine Aussage Aussage oder oder eine eineEigenschaft, Eigenschaft,die dievon voneiner einernatürlichen natürlichenZahl Zahl nn abhängt. abhängt.Wir Wir schreiben schreibenauch auch A(n). A(n). Wenn Wennwir wirwissen, wissen,dass dassfolgendes folgendesgilt: gilt: (1) (1) Induktionsbasis Induktionsbasis (Induktionsverankerung): (Induktionsverankerung): Die Die Aussage Aussage AA gilt giltim imFall Fall nn==11 (das (dasheißt, heißt,es esgilt gilt A(1)), A(1)), (2) (2) Induktionsschritt: Induktionsschritt: Für Für jede jede natürliche natürliche Zahl Zahl nn ≥≥ 11 folgt folgt aus aus A(n) A(n) die dieAussage Aussage A(n+1), A(n+1), dann danngilt giltdie dieAussage Aussage AA für füralle allenatürlichen natürlichenZahlen Zahlen ≥≥1. 1. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 87 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 88 Erläuterung Erläuterung Aussagen Aussagen Bedeutung Bedeutungder dervollständigen vollständigenInduktion: Induktion:Um Umeine eineAussage Aussageüber über unendlich unendlichviele vieleObjekte Objektenachzuweisen, nachzuweisen,muss mussman mannur nurzwei zwei A(n): A(n):4n 4n ist isteine einegerade geradeZahl Zahl Aussagen Aussagenbeweisen: beweisen: Induktionsbasis: Induktionsbasis:A(1) A(1) 2 A(n): isteine einegerade geradeZahl Zahl A(n):nn2 ist A(n): A(n):nn ist isteine einePrimzahl Primzahl Induktionsschritt: Induktionsschritt:A(n) A(n)⇒ ⇒A(n+1) A(n+1) Man Mannennt nennt A(n) A(n) auch auchdie dieInduktionsvoraussetzung. Induktionsvoraussetzung. A(n): A(n):Die DieAnzahl Anzahlder derSitzordnungen Sitzordnungenvon von nn Studierenden Studierendenauf auf nn Stühlen Stühlenist ist n! n!(= (=n⋅(n–1)⋅...⋅2⋅1, n⋅(n–1)⋅...⋅2⋅1,sprich sprich „n „n Fakultät”) Fakultät”) Die Diehinter hinterdiesem diesemPrinzip Prinzipstehende stehende“Philosophie” “Philosophie”ist istdie, die,dass dassman maninin objektiv objektivkontrollierbarer kontrollierbarerWeise Weiseüber übereine eineUnendlichkeit Unendlichkeit(“alle” (“alle” A(n): A(n):nn geradlinige geradlinigeStraßen Straßenhaben habenhöchstens höchstens nn Kreuzungen Kreuzungen natürlichen natürlichenZahlen) Zahlen)sprechen sprechenkann. kann.Die DieBedeutung Bedeutungdieses diesesPrinzips, Prinzips, wurde wurdezwischen zwischen1860 1860und und1920 1920u.a. u.a.von vonMoritz MoritzPasch Pasch(Professor (Professorinin A(n): A(n):Wenn Wenn nn Computer Computerzu zujejezweien zweiendurch durcheine eineLeitung Leitungverbunden verbunden werden, werden,so sobraucht brauchtman mangenau genau n(n–1)/2 n(n–1)/2 Leitungen Leitungen Gießen) Gießen)und undGiuseppe GiuseppePeano Peano(Professor (ProfessorininTurin) Turin)entdeckt. entdeckt. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 89 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 90 Kapitel 1: Grundlagen 1.4.2 1.4.2 Anwendungen Anwendungen Dreieckszahlen Dreieckszahlen Problem Problem(C.F. (C.F.Gauß): Gauß):1+2+3 1+2+3+...+ +...+100 100==??? ??? Definition. Definition. Die Die Zahlen Zahlen der der Form Form (n+1)n/2, (n+1)n/2, also also die die Zahlen Zahlen 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, 10,15, 15,... ...heißen heißenDreieckszahlen. Dreieckszahlen. 1.4.2.1 1.4.2.1Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt: gilt: 1+2+... + n = 1+2+... + n =n(n+1)/2. n(n+1)/2. In InWorten: Worten:Die DieSumme Summeder derersten ersten nn positiven positivenganzen ganzenZahlen Zahlenist ist gleich gleich (n+1)n/2. (n+1)n/2. Man Man kann kann Satz Satz 1.4.2.1 1.4.2.1 also also auch auch so so ausdrücken: ausdrücken: Die Die Summe Summe der der ersten ersten nn positiven positivenganzen ganzenZahlen Zahlenist istgleich gleichder der n-ten n-tenDreieckszahl. Dreieckszahl. Konsequenz: Konsequenz:Man Mankann kanndie dieSumme Summe1+2+3+...+n 1+2+3+...+n ganz ganzeinfach einfach ausrechnen, ausrechnen,und undes espassieren passierenkaum kaumRechenfehler. Rechenfehler. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 91 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 92 Beweis Beweis(durch (durchInduktion) Induktion) Induktionsschritt Induktionsschritt Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahl ≥≥1, 1,und undsei seidie die Aussage Aussagerichtig richtigfür für n. n.Wir Wirmüssen müssen A(n+1) A(n+1) beweisen, beweisen,das dasheißt, heißt,die die Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Die DieAussage Aussage A(n) A(n) sei seidie dieAussage Aussagedes desSatzes, Satzes,also: also: Summe Summe 1+2+3+... 1+2+3+...+(n–1) +(n–1)++nn++(n+1) (n+1) berechnen. berechnen. A(n): A(n):1+2+3 1+2+3+...+ +...+nn==n(n+1)/2. n(n+1)/2. Wir Wirspalten spaltenwir wirdiese dieseSumme Summeauf: auf: 1+2+3+... 1+2+3+...+(n–1) +(n–1)++nn++(n+1) (n+1) Sowohl Sowohl bei bei der der Induktionsbasis Induktionsbasis als als auch auch beim beim Induktionsschritt Induktionsschritt zeigen zeigen wir, wir, dass dass inin der der entsprechenden entsprechenden Gleichung Gleichung links links und und rechts rechts ==[1+2+3+... [1+2+3+...+(n–1) +(n–1)++n] n]++(n+1) (n+1) == n(n+1)/2 (nach n(n+1)/2++(n+1) (n+1) (nachInduktion) Induktion) ==[n(n+1) [n(n+1)++2(n+1)]/2 2(n+1)]/2==(n+2)(n+1)/2. (n+2)(n+1)/2. das dasGleiche Gleichesteht. steht. Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Dann Dannsteht stehtauf aufder derlinken linkenSeite Seitenur nurder der Summand Summand 1, 1, und und auf auf der der rechten rechten Seite Seite steht steht 2⋅1/2, 2⋅1/2, also also ebenfalls ebenfalls Insgesamt Insgesamthaben habenwir wirdie dieAussage Aussage A(n+1) A(n+1) bewiesen. bewiesen. Somit Somitgilt giltder derSatz. Satz. 1. 1.Also Alsogilt giltA(1) A(1) © Dr. Zschiegner 2008 Seite 93 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 94 Kapitel 1: Grundlagen Der Der Trick Trickvon von Gauß Gauß Summe Summe der derungeraden ungeradenZahlen Zahlen Gauß Gaußhat hatdie dieSumme Summe1+2+3+...+100 1+2+3+...+100nicht nichtso sobestimmt, bestimmt,sondern sondernmit mit folgendem folgendemgenialen genialenTrick: Trick: 1.4.2.2 1.4.2.2Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt: gilt: 2 1+3+5 1+3+5++... ...++(2n–1) (2n–1)==nn2.. 11 ++ 22 ++ 33 ++ ... ... ++n–2 n–2 ++n–1 n–1++ nn ++ nn ++ n–1 n–1++ n–2 n–2++ ... ... ++ 33 ++ 22 ++ 11 In InWorten: Worten:Die DieSumme Summeder derersten ersten nn ungeraden ungeradenZahlen Zahlenist istgleich gleichder der n-ten n-tenQuadratzahl. Quadratzahl. ==n+1 n+1++ n+1 n+1++ n+1 n+1++ ... ... ++n+1 n+1 ++n+1 n+1++ n+1 n+1 Beispiele: Beispiele:(a) (a)11++33++55==99 (b) (b)11++33++55++... ...++1999 1999==1.000.000 1.000.000 ==n(n+1). n(n+1). Also Alsogilt gilt 1+2+3+...+n 1+2+3+...+n==n(n+1)/2. n(n+1)/2. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 95 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 96 „Beweis“ „Beweis“ ohne ohneWorte Worte Beweis Beweis Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Dann Dann steht stehtauf aufder derlinken linkenSeite Seitenur nurder der 2 Summand Summand 1, 1,und undauf aufder derrechten rechtenSeite Seitesteht steht 112==1. 1.Somit Somitgilt gilt A(1). A(1). Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥1, 1,und undes esgelte gelte A(n). A(n).Wir Wirmüssen müssen A(n+1) A(n+1) nachweisen. nachweisen. Wir Wirbeginnen beginnenmit mitder derlinken linkenSeite Seitevon von A(n+1) A(n+1) und undformen formendiese dieseso so lange langeum, um,bis biswir wirdie dierechte rechteSeite Seitevon von A(n+1) A(n+1) erhalten: erhalten: 1+3+5+ 1+3+5+... ...++(2n–1) (2n–1)++(2n+1) (2n+1)==[1+3+5+ [1+3+5+... ...++(2n–1)] (2n–1)]++(2n+1) (2n+1) ==nn22++(2n+1) (nach (2n+1) (nachInduktion) Induktion) ==nn2++2n 2n++11==(n+1) (n+1)2.. Somit Somitgilt gilt A(n+1), A(n+1),und unddamit damitist istdie dieAussage Aussagebewiesen. bewiesen. 2 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 97 2 © Dr. Zschiegner 2008 Seite 98 Kapitel 1: Grundlagen Die Die Bernoullische BernoullischeUngleichung Ungleichung Aufgaben Aufgaben 1.4.2.3 1.4.2.3Satz. Satz.Für Fürjede jedenat. nat.Zahl Zahl nn und undjede jedereelle reelleZahl Zahl xx≥≥-1 -1gilt gilt n (1+x) nx. (1+x)n≥≥11++nx. Beweisen BeweisenSie Siedurch durchInduktion Induktionnach nach n: n: Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Dann Dannist istlinke linkeSeite Seite==1+x 1+x==rechte rechteSeite; Seite; (a)3 (a)3++77++11 11++......++(4n (4n––1) 1)==nn(2n (2n++1). 1). insbesondere insbesondereist ist linke linkeSeite Seite≥≥rechte rechteSeite. Seite. Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥1, 1,und undsei seidie die (b)2 (b)2++44++66++......++2n 2n==nn(n+1). (n+1). n n+1 (c) (c) 11++22++44++... ...++22n==22n+1––1. 1. Behauptung Behauptungrichtig richtigfür für n. n.Damit Damitfolgt folgt n+1 n (1+x) (1+x)n+1==(1+x) (1+x)n⋅(1+x) ⋅(1+x) 2 2 2 2 (d) (d) 112++222++332++... ...++nn2== ≥≥(1 (1++nx) nx)⋅(1+x) ⋅(1+x) (nach (nachInduktion) Induktion) 2 ==11++nx nx++xx++nx nx2≥≥11++nx nx++xx==11++(n+1)x. (n+1)x. n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2 n + 1) 6 .. 3 3 3 2 (e) (e) 113++223++......++nn3==(1 (1++22++33++......++n) n)2.. Damit Damitist istder derInduktionsschritt Induktionsschrittbewiesen, bewiesen,und unddamit damitgilt giltder derSatz. Satz. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 99 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 100 Aufgabe Aufgabe Der Der Turm Turm von von Hanoi Hanoi Ein Einbekanntes bekanntesmathematisches mathematischesSpiel Spielist istder der„Turm „Turmvon vonHanoi“. Hanoi“. Auf Aufeinem einemvon vondrei dreiStäben Stäbensitzen sitzen nn Scheiben, Scheiben,die diekleinste kleinsteoben, oben,die die größte größteunten. unten.Die DieAufgabe Aufgabebesteht bestehtdarin, darin,diese dieseScheiben Scheibenauf aufeinen einender der anderen anderenStäbe Stäbezu zubringen, bringen,wobei wobeifolgende folgendeRegeln Regelnzu zubeachten beachtensind: sind: 1. 1.In Injedem jedemSchritt Schrittdarf darfnur nureine eineScheibe Scheibebewegt bewegtwerden. werden. 2. 2.Nie Niedarf darfeine einegrößere größereScheibe Scheibeauf aufeiner einerkleineren kleinerenliegen. liegen. Zeigen ZeigenSie Siemit mitvollständiger vollständigerInduktion, Induktion,dass dassman mandiese dieseAufgabe Aufgabemit mit 22nn––11 Schritten Schrittenlösen lösenkann. kann. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 101 Kapitel 1: Grundlagen Lösungsbeispiel Lösungsbeispiel für für 44 Scheiben Scheiben Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 102 Der Der Turm Turm von von Ionah Ionahim im Mathematikum Mathematikum © Dr. Zschiegner 2008 Seite 103 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 104 1.4.3 1.4.3Die Die Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen Fibonacci Fibonacci(= (=Leonardo Leonardovon vonPisa) Pisa)stellte stellteum um1200 1200die dieAufgabe: Aufgabe: Wenn Wenn fnfn die dieAnzahl Anzahlder derKaninchen Kaninchenzu zuBeginn Beginndes desn-ten n-tenMonats Monats bezeichnet. genaudie dieFibonacci-Zahlen: Fibonacci-Zahlen: bezeichnet.Dann Dannsind sinddie die fnf genau •• Kaninchen Kaninchen(jedenfalls (jedenfallsmathematische) mathematische)vermehren vermehrensich sichnach nach folgenden folgendenRegeln: Regeln: –– Jedes JedesKaninchenpaar Kaninchenpaarbraucht brauchtnach nachseiner seinerGeburt Geburtzwei zweiMonate, Monate, bis bises esgeschlechtsreif geschlechtsreifist. ist. –– Von Vonda daan angebiert gebiertes esininjedem jedemMonat Monatein einneues neuesPaar Paar n 1, 1,1, 1,2, 2,3, 3,5, 5,8, 8,13, 13,21, 21,34, 34,55, 55,89, 89,... ... Definition Definitionder derFibonacci-Zahlen: Fibonacci-Zahlen: –– Alle AlleKaninchen Kaninchenleben lebenewig. ewig. ffn ==ffn–1++ffn–2 n n–1 n–2 und und ff1 ==1, 1, ff22==1. 1. 1 Kurz: Kurz:Jedes JedesFolgenglied Folgengliedist istdie dieSumme Summeseiner seinerbeiden beidenVorgänger. Vorgänger. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 105 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 106 Kapitel 1: Grundlagen Kaninchenvermehrung Kaninchenvermehrung Beispiele Beispieleaus ausder derBiologie Biologie •• Bei BeiPflanzen Pflanzenkommen kommen Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlenhäufig häufigvor. vor. •• Bei BeiSonnenblumen Sonnenblumensind sinddie dieKerne Kerne ininSpiralen Spiralenangeordnet, angeordnet,die dienach nach links linksund undnach nachrechts rechtsdrehen. drehen.Die Die Anzahlen Anzahlender derlinksdrehenden linksdrehendenund und der derrechtsdrehenden rechtsdrehendenSpiralen Spiralen sind sindaufeinanderfolgende aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Fibonacci-Zahlen. Ähnlich Ähnlichbei beiTannenzapfen, Tannenzapfen, Gänseblümchen, Gänseblümchen,Ananas, Ananas,… … Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 107 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 108 Wie Wie kann kannman manFibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlenausrechnen? ausrechnen? Beweis Beweis (Induktionsbasis) (Induktionsbasis) Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n.Die DieAussage Aussage A(n) A(n) ist ist 1. 1.Durch DurchAnwenden Anwendender derrekursiven rekursivenDefinition. Definition. A(n): A(n): 2. 2.Durch DurchAnwenden Anwendender derfolgenden folgendenexpliziten explizitenFormel: Formel: Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Wir Wirmüssen müssendie dieAussage AussageA(1) A(1)beweisen. beweisen. Dazu Dazu rechnen rechnen wir wir einfach einfach die die Formel Formel (also (also die die rechte rechte Seite) Seite) für für den den 1.4.3.1 1.4.3.1Satz Satz(Binet-Formel). (Binet-Formel).Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt gilt n n fnf ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5. √5. n Fall Fall nn==11 aus: aus: n n fnf ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5. √5. n 1 1 [((1+√5)/2) [((1+√5)/2)1––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)1]]//√5 √5==[(1+√5)/2 [(1+√5)/2––(1–√5)/2] (1–√5)/2]//√5 √5== [2√5)/2] [2√5)/2]//√5 √5==11 Bemerkung. Bemerkung.Das DasErstaunliche Erstaunlichean andieser dieserFormel Formelist, ist,dass dasssich sichfür für jedes jedes nn die dieWurzelterme Wurzeltermeso soweg wegheben, heben,dass dassnur nureine einenatürliche natürliche Damit Damitgilt gilt A(1). A(1). Zahl, stehenbleibt. Zahl,nämlich nämlich fnfn stehenbleibt. Beweisen BeweisenSie SieA(2): A(2):Übungsaufgabe. Übungsaufgabe. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 109 Kapitel 1: Grundlagen Beweis Beweis (Induktionsschritt) (Induktionsschritt) Beweis Beweis(das (das Wunder) Wunder) Wir Wirkönnen könnendie diekleinen kleineneckigen eckigenKlammern Klammerngünstig günstigumformen: umformen: Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥2, 2,und undes es mögen mögendie dieAussagen Aussagen A(n) A(n) und und A(n–1) A(n–1) gelten. gelten. Wir Wirmüssen müssenzeigen, zeigen,dass dassdann dannauch auch A(n+1) A(n+1) gilt. gilt.Dazu Dazuverwenden verwenden 2 2 [(1+√5)/2 [(1+√5)/2++1] 1]==[(1+√5)/2] [(1+√5)/2]2==[(1–√5)/2 [(1–√5)/2++1] 1]==[(1–√5)/2] [(1–√5)/2]2.. Man Mansieht siehtbeide beideFormeln Formelnsofort sofortein, ein,wenn wennman mandie diejeweiligen jeweiligenrechten rechten Seiten Seitenausrechnet. ausrechnet. wir wirdie dieRekursionsformel Rekursionsformel fn+1 fn+1==fnfn++fn–1 fn–1,,und undwenden wendensowohl sowohlauf auf fnfn also alsoauch auchauf auf fn–1 f die dieInduktionsvoraussetzung Induktionsvoraussetzungan: an: n–1 Nun Nunkann kannuns unsaber abernichts nichtsmehr mehrhindern, hindern,weiterzurechnen: weiterzurechnen: fn+1 f ==fnf ++fn–1 f == n+1 n n–1 n–1 2 n–1 2 ... ...==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1[(1+√5)/2] [(1+√5)/2]2––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1[(1–√5)/2] [(1–√5)/2]2]]//√5 √5 n+1 n+1 ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n+1––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n+1]]//√5. √5. n n n–1 n–1 [((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5 √5++[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1]]//√5 √5 n–1 n–1 ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1[(1+ [(1+√5)/2 √5)/2++1] 1]––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1[(1– [(1–√5)/2 √5)/2++1]] 1]]//√5 √5... ... ... ...und unddamit damitist istdie dieAussage Aussage A(n+1) A(n+1) bewiesen. bewiesen. Wie Wiekann kannman mandiese diesemonströse monströseFormel Formelauflösen auflösen??? ??? Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 110 Kapitel 1: Grundlagen Nach Nachdem demPrinzip Prinzipder dervollständigen vollständigenInduktion Induktiongilt giltalso alsodie dieAussage. Aussage. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 111 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 112 Simpson-Identität Simpson-Identität Beweis Beweis (Induktionsschritt) (Induktionsschritt) Induktionsschritt. Induktionsschritt.Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahl ≥≥2, 2,und undes esgelte geltedie die Aussage Aussage A(n). A(n).Wir Wirmüssen müssen A(n+1) A(n+1) zeigen. zeigen.Auch Auchdazu dazurechnen rechnenwir wir 1.4.3.2 1.4.3.2Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥22 gilt gilt n 2 fn+1 f ⋅f⋅fn–1 ––fnf 2==(–1) (–1)n.. n+1 n–1 n einfach einfachdie dieentsprechende entsprechendelinke linkeSeite Seiteaus: aus: und ff 22 unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, In InWorten: Worten:fn+1 fn+1⋅f⋅fn–1 n–1 und n n unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, mal malum um–1. –1. 2 2 fn+2 f ⋅f⋅fn ––fn+1 f 2==(f(fn+1 ++fnf ))⋅f⋅fn ––fn+1 f 2 n+2 n Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. n+1 n ==fn+1 – (–1)nn fn+1⋅(f ⋅(fnn--fn+1 fn+1))++fn+1 fn+1⋅f⋅fn–1 n–1 – (–1) Die DieAussage Aussage A(n) A(n) sei seidie dieAussage Aussagedes desSatzes. Satzes. n n+1 (nach (nachInduktion) Induktion) n+1 ==fn+1 fn+1⋅(f ⋅(fnn--fn+1 fn+1++fn-fn- 1)1)++(–1) (–1)n+1 Induktionsbasis. Induktionsbasis.Sei Sei nn==2. 2.Wir Wirmüssen müssendie dieAussage Aussage A(2) A(2) zeigen. zeigen. Dazu Dazurechnen rechnenwir wireinfach einfachdie dielinke linkeSeite Seiteaus: aus: n+1 n+1 ==fn+1 fn+1⋅0 ⋅0++(–1) (–1)n+1== (–1) (–1)n+1.. 2 2 2 L.S. L.S.==f3f3⋅f⋅f11––f2f22==2⋅1 2⋅1––112==11==(–1) (–1)2==R.S. R.S. Somit Somitgilt giltdie dieAussage Aussage A(n+1). A(n+1). © Dr. Zschiegner 2008 Seite 113 Kapitel 1: Grundlagen n+1 2 ==fn+1 fn+1⋅(f ⋅(fnn--fn+1 fn+1))++fnfn2 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 114 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 116 Aufgaben Aufgaben Zeigen ZeigenSie Siedurch durchInduktion Induktionnach nach n, n,dass dassfür fürdie dieFibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen fnfn folgendes folgendesgilt: gilt: (a) (a)11++f2f2++f4f4++f6f6++... ...++f2n f2n==f2n+1 f2n+1.. (b) (b)fn+2 fn+2==fnfn++fn–1 fn–1++......++f1f1++1. 1. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 115 Seite 1.5 1.5Kombinatorik Kombinatorik Potenzmenge Potenzmenge Zur ZurErinnerung: Erinnerung:Eine EineMenge Menge M' M' ist isteine eineTeilmenge Teilmengeeiner einerMenge MengeM, M, falls fallsjedes jedesElement Elementvon von M' M' auch auchein einElement Elementvon von M M ist. ist.Wir Wir schreiben: schreiben: M' M'⊆⊆M. M. •• Binomialzahlen Binomialzahlen „Triviale“ „Triviale“Teilmengen: Teilmengen:Jede JedeMenge Mengehat hatsich sichselbst selbstund unddie dieleere leereMenge Menge {{}}(auch (auch ∅), ∅),die diekein keinElement Elemententhält, enthält,als alsTeilmenge. Teilmenge. •• Permutationen Permutationen Die DieMenge Mengealler allerTeilmengen Teilmengenvon von M M heißt heißtPotenzmenge PotenzmengeP(M) P(M)von vonM. M. Beispiel: Beispiel: Alle AlleTeilmengen Teilmengenvon von M M=={a, {a,b, b,c} c} sind sind {{},},{a}, {a},{b}, {b},{c}, {c},{a, {a,b}, b},{a, {a,c}, c},{b, {b,c}, c},{a, {a,b, b,c}. c}. n 1.5.1 1.5.1Satz. Satz.Jede Jeden-elementige n-elementigeMenge MengeM Mhat hatgenau genau 22n Teilmengen. Teilmengen. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 117 Kapitel 1: Grundlagen Beweis Beweis Binomialzahlen Binomialzahlen Definition. Teilmengen Definition.Die DieAnzahl Anzahlder derk-elementigen k-elementigen Teilmengeneiner einernnn elementigen elementigenMenge Mengewird wirdmit mit k bezeichnet bezeichnet(„n („nüber überk“); k“);diese dieseZahlen Zahlen heißen heißenBinomialzahlen. Binomialzahlen. Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Induktionsbasis: Induktionsbasis:Für Fürnn==11(n (n==2, 2,nn==3) 3)ist istdie dieBehauptung Behauptungrichtig. richtig. Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Seinn>>1, 1,und undsei seidie dieBehauptung Behauptungrichtig richtigfür für n–1. n–1. Sei Sei M M eine einen-elementige n-elementigeMenge, Menge,und undsei sei m m ein einbeliebiges beliebigesElement Element aus aus M. M.Es Esgibt gibtzwei zweiSorten Sortenvon vonTeilmengen Teilmengenvon vonM: M:Solche, Solche,die die m m enthalten, enthalten,und undsolche, solche,die die m m nicht nichtenthalten. enthalten. Beispiele Beispiele n (jedeMenge Mengehat hatgenau genaueine eine0-elem. 0-elem.Teilmenge, Teilmenge,nämlich nämlich {}) {}) 0 ==11(jede n = 1 (jede n-elementige Menge hat nur eine n-elementige Teil = 1 (jede n-elementige Menge hat nur eine n-elementige Teil n menge, nämlich sich selbst) menge, nämlich sich selbst) n ==nn(die (dieTeilmeng. Teilmeng.der derMächtigkeit Mächtigkeit11sind sindgenau genaudie diennElemente) Elemente) 1 4 ==66(die 4-elementige Menge {a, b, c, d} hat sechs (die 4-elementige Menge {a, b, c, d} hat sechs2-elementige 2-elementige 2 Teilmengen: Teilmengen:{a, {a,b}, b},{a, {a,c}, c},{a, {a,d}, d},{b, {b,c}, c},{b, {b,d}, d},{c, {c,d}) d}) Die DieTeilmengen Teilmengenvon von M, M,die die m m nicht nichtenthalten, enthalten,sind sindgenau genaudie dieTeilTeiln–1 mengen viele. mengenvon vonM\{m}; M\{m};davon davongibt gibtes esnach nachInduktion Induktiongenau genau 22n–1 viele. Für Fürjede jedeTeilmenge Teilmenge M‘, M‘,die die m m enthält, enthält,ist ist M‘\{m} M‘\{m} eine eineTeilmenge Teilmenge n–1 von Stück. vonM\{m} M\{m} und undumgekehrt. umgekehrt.Also Alsogibt gibtes esauch auchhiervon hiervon 22n–1 Stück. n–1 n–1 n–1 n Insgesamt 2·2n–1==22nTeilmengen Teilmengenvon von M. M. Insgesamtgibt gibtes esalso also 22n–1++22n–1==2·2 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 118 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 119 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 120 Rekursionsformel Rekursionsformelfür für Binomialzahlen Binomialzahlen Beweis Beweisder der Rekursionsformel Rekursionsformel Sei Sei M Meine eineMenge Mengemit mit nn Elementen. Elementen.Sei Seim mein einElement Elementvon vonM. M. Wir Wirteilen teilendie diek-elementigen k-elementigenTeilmengen Teilmengenvon von M M ininzwei zweiKlassen Klassenein: ein: 1. 1.Klasse: Klasse:die, die,die diem mnicht nichtenthalten. enthalten.Jede Jededieser dieserTeilmengen Teilmengenist isteine einekkelementige der elementigeTeilmenge Teilmenge der(n–1)-elementigen (n–1)-elementigenMenge Menge M M\\{m}. {m}.Also Alsogibt gibt n − 1 es esdavon davongenau genau k Stück. Stück. 2. 2.Klasse: Klasse:die diek-elementige k-elementigeTeilmengen, Teilmengen,die diem menthalten. enthalten.Sei Sei M’ M’ eine eine Teil-menge Teil-mengeaus ausdieser dieserKlasse. Klasse.Wir Wirentfernen entfernen m m aus aus M’ M’ und undaus aus M. M. Dann Dannist ist M’ M’\\{m} {m} eine eine(k–1)-elem. (k–1)-elem.Teilmenge Teilmengeder der(n–1)-elem. (n–1)-elem.Menge Menge M\{m}. Umgekehrt kann man jede (k–1)-elem. Teilmenge von M \ {m} M\{m}. Umgekehrt kann man jede (k–1)-elem. Teilmenge von M \ {m} durch durchHinzufügen Hinzufügenvon von m m zu zueiner einerTeilmenge Teilmengeder derKlasse Klasse22ergänzen. ergänzen. n − 1 Somit Somitist istdie dieAnzahl Anzahlder derTeilmengen Teilmengenininder derKlasse Klasse22gleich gleich k − 1 .. Durch DurchAddition Additionder derbeiden beidenAnzahlen Anzahlenergibt ergibtsich sichdie dieFormel. Formel. Wie Wiekann kannman mandie dieBinomialzahlen Binomialzahlenausrechnen? ausrechnen?1. 1.Methode: Methode: 1.5.2 1.5.2Rekursionsformel Rekursionsformelfür fürBinomialzahlen. Binomialzahlen.Seien Seien kk und und nn natürliche natürlicheZahlen Zahlenmit mit 11≤≤kk≤≤n. n.Dann Danngilt gilt n n − 1 n − 1 = + . k k k − 1 Beispiel: Beispiel: 6 5 5 4 4 5 = + = + + =6 + 4 + 5=15. 2 2 1 2 1 1 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 121 Explizite ExpliziteFormel Formel für für Binomialzahlen Binomialzahlen Beweis Beweisder derexpliziten expliziten Formel Formel Zweite ZweiteBerechnungsmethode Berechnungsmethodefür fürBinomialzahlen: Binomialzahlen: Der DerBeweis Beweiserfolgt erfolgtdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n.Wir Wirmachen machenuns unshier hierden den Schritt Schrittvon von 55 auf auf 66 klar. klar.Wir Wirsetzen setzenalso alsovoraus, voraus,dass dassdie dieFormel Formel schon schonfür für nn==55 richtig richtigist. ist.Dann Dannschließen schließenwir wirwie wiefolgt folgtweiter weiter 1.5.3 1.5.3Explizite ExpliziteFormel Formelfür fürdie dieBinomialzahlen. Binomialzahlen.Seien Seien kk und und nn natürliche natürlicheZahlen Zahlenmit mit 00≤≤kk≤≤n. n.Dann Danngilt gilt 6 5 5 5! 5! = = + + k k k − 1 k! (5 − k )! (k − 1)!⋅(5 − k + 1)! n n! n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) = = . k! k k!⋅(n − k )! = n! n!(„n („nFakultät”) Fakultät”)ist istdefiniert definiertals als n! n!==nn⋅ ⋅(n (n––1) 1)⋅ ⋅(n (n––2) 2)⋅ ⋅... ...⋅ ⋅22⋅ ⋅1. 1. Beispiel: Beispiel: 5! 5!==55⋅ ⋅44⋅ ⋅33⋅ ⋅22⋅ ⋅11==120. 120. n n(n − 1) Beispiel zur Beispiel zurexpliziten explizitenFormel: Formel: 2 = 2 . Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 122 Kapitel 1: Grundlagen 5! 1 1 5! (5 − k + 1) + k ( + )= ⋅ (k − 1)!⋅(5 − k )! k 5 − k + 1 (k − 1)!⋅(5 − k )! k(5 − k + 1) = © Dr. Zschiegner 2008 Seite 123 6 ⋅ 5! 6! = . k ⋅ (k − 1)!⋅( 6 − k ) ⋅ (5 − k )! k!⋅( 6 − k )! Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 124 Möglichkeiten Möglichkeitenbeim beim Lotto Lotto Aufgaben Aufgaben Beispiel. Beispiel.Beim BeimLotto Lotto“6 “6aus aus49” 49”werden werdensechs sechsder derZahlen Zahlen1, 1,2, 2,..., ...,49 49 gezogen, gezogen,wobei wobeies esauf aufdie dieReihenfolge Reihenfolgenicht nichtankommt. ankommt. In Inunserer unsererSprache Spracheheißt heißtdas: das:Es Eswird wirdeine eine6-elementige 6-elementigeTeilmenge Teilmenge 42 47 1. 1.Berechnen BerechnenSie Sie 11 und und 40 .. 2. 2.Auf Aufeiner einerParty Partysind sind 10 10 Gäste. Gäste.Zu ZuBeginn Beginnstößt stößtjeder jedermit mitjedem jedem anderen anderenGast Gastgenau genaueinmal einmalan. an. der derMenge Menge {1, {1,2, 2,..., ...,49} 49} gezogen. gezogen. 49 Dafür Dafürgibt gibtes esnach nachDefinition Definitiongenau genau 6 Möglichkeiten. Möglichkeiten. (a) (a)Wie Wieoft oftklingen klingenzwei zweiGläser Gläserzusammen? zusammen? 49 49! 49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44 6 = 6!⋅(43)!= 6! (b) (b) Auf Aufeiner eineranderen anderenParty Partystößt stößtebenfalls ebenfallsjeder jedermit mitjedem jedemanderen anderen an. an.Man Manhört hört55 55 mal malGläser Gläserklingen. klingen.Wie Wieviele vieleTeilnehmer Teilnehmerwaren warenda? da? ==13.983.816. 13.983.816. (c) (c)Bei Beieiner einerdritten drittenParty Partybehauptet behauptetjemand, jemand,dass dasses esgenau genau 50 50 mal mal geklungen geklungenhat. hat.Was Wassagen sagenSie Siedazu? dazu? Die DieWahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitfür für66Richtige Richtigeist istalso also1/13.983.816 1/13.983.816== 0,000000071… 0,000000071… © Dr. Zschiegner 2008 Seite 125 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 126 Kapitel 1: Grundlagen Aufgaben Aufgaben Aufgabe Aufgabe Machen MachenSie Siesich sichklar, klar,wie wieman manmit mitHilfe Hilfedes desPascalschen PascalschenDreiecks Dreiecksdie die Binomialzahlen Binomialzahlenbestimmen bestimmenkann. kann.Welche WelcheFormel Formelsteckt stecktdahinter? dahinter? Was Wasergibt ergibtsich sichfür fürdie dieZeilensummen Zeilensummenim imPascalschen PascalschenDreieck Dreieck––und und warum? warum? 1. 1.Auf Aufden denüblichen üblichenDominosteinen Dominosteinensind sinddie diesieben siebenZahlen Zahlen 0, 0,1,..., 1,...,66 aufgemalt. aufgemalt.Dabei Dabeikommen kommenalle allemöglichen möglichenKombinationen Kombinationenaus auszwei zwei Zahlen Zahlenvor. vor.Aus Auswie wievielen vielenDominosteinen Dominosteinenbesteht bestehtein einvollständiges vollständiges Spiel? Spiel? 2. 2.Schlüssel Schlüsselwerden werdengemacht, gemacht,indem indemman manSchlitze Schlitzeverschiedener verschiedenerTiefe Tiefe ininden denBart Barteinfräst. einfräst.Angenommen, Angenommen,es esgibt gibt88verschiedene verschiedeneTiefen. Tiefen.Wie Wie viel vielSchlitze Schlitzemuss mussman manvorsehen, vorsehen,um um11Million Millionverschiedener verschiedenerSchlüssel Schlüssel machen machenzu zukönnen? können? n n 3. Zeigen 3. ZeigenSie Sie k = n − k ,,indem indemSie Siemit mitTeilmengen Teilmengeneiner einerMenge Menge argumentieren. argumentieren. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 127 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 128 Binomischer BinomischerLehrsatz Lehrsatz Beweis Beweisdes des Binomialsatzes Binomialsatzes 2 2 2 Erinnerung: Erinnerung:(a (a±±b) b)2==aa2±±2ab 2ab+b +b2(1./2. (1./2.binomische binomischeFormel). Formel). Beweis. Beweis.Wir Wirstellen stellenuns unsvor, vor,wie wieman mandie dielinke linkeSeite Seiteausrechnet: ausrechnet: Man Manmüsste müsste nn mal maldie dieTerme Terme x+y x+y miteinander miteinandermultiplizieren. multiplizieren. 1.5.4 1.5.4Binomialsatz. Binomialsatz.Seien Seien xx und und yy Unbestimmte Unbestimmteüber überR. R.Dann Danngilt gilt für fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn die diefolgende folgendeGleichung: Gleichung: n n–2 2 n 2 n–2 n n n–1 n–1 n (x+y) (x+y)n==xxn++nx nxn–1yy++ 2 xxn–2yy2++... ...++ 2 xx2yyn–2++nxy nxyn–1++yyn.. Wenn Wennman mandies diesausmultiplizieren ausmultiplizierenwürde, würde, würde würdeman manaus aus kk dieser dieserTerme Terme xx und undaus ausden denandern andern n–k n–k die dieVariable Variable yy auswählen. auswählen. k n–k Also Alsoerhält erhältman manAusdrücke Ausdrückeder derForm Form xxkyyn–k.. 3 Zum ZumBeispiel Beispielgilt gilt (Ping (Ping++Pong) Pong)3 3 2 2 3 ==Ping Ping3++3Ping 3Ping2Pong Pong++3PingPong 3PingPong2++Pong Pong3.. k n–k Die erhält. DieFrage Frageist, ist,wie wieoft oftman mandabei dabeiden denSummand Summand xxkyyn–k erhält. Um Umdiesen diesenTerm Termzu zuerhalten, erhalten,muss mussman man xx genau genau kk mal malunter unter nn 3 3 Beispiele. (30++1) 1)3 Beispiele.31 313==(30 33+ 3⋅3022⋅1 + 3⋅30⋅122 + 133= 27.000 + 2.700 + 90 + 1 = 29.791. ==30 30 + 3⋅30 ⋅1 + 3⋅30⋅1 + 1 = 27.000 + 2.700 + 90 + 1 = 29.791. Möglichkeiten Möglichkeitenauswählen. auswählen. n k n–k Daher Dahererhält erhältman manden denSummand Summand xxkyyn–k genau genau k mal. mal. 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (s–3t) (s–3t)5==ss5--5s 5s4(3t) (3t)++10s 10s3(3t) (3t)2--10s 10s2(3t) (3t)3++5s(3t) 5s(3t)4--(3t) (3t)5==... ... Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 129 Kapitel 1: Grundlagen Anwendungen Anwendungendes des Binomialsatzes Binomialsatzes Gerade Gerade und undungerade ungerade Teilmengen Teilmengen 1.5.6 1.5.6Satz. Satz.Anzahl Anzahlder dergeraden geradenTeilmengen Teilmengen==Anzahl Anzahlder derungeraden ungeraden Teilmengen. Teilmengen. Man Mankann kannden denBinomialsatz Binomialsatzauch auchfür fürfeste festeWerte Wertevon von xx und und yy spezialisieren spezialisierenund und nn allgemein allgemeinlassen. lassen.Man Manerhält erhälteine eineAussage Aussage über überBinomialzahlen, Binomialzahlen,die dieman mandann danninineine eineAussage Aussageüber über Teilmengen Teilmengenübersetzen übersetzenkann. kann.Zwei ZweiBeispiele. Beispiele. Beweis. Beweis.Wir Wirsetzen setzenxx==1, 1,yy==–1 –1und underhalten erhalten n n n n n n n 0 –– 1 ++ 2 –– 3 ++ 4 –/+ –/+... ...==(1 (1––1) 1)n==00n==0. 0. 1.5.5 1.5.5Anzahl Anzahlaller allerTeilmengen. Teilmengen.Wir Wirsetzen setzen xx==yy==1. 1.Wir Wirerhalten: erhalten: n n n n n nn= 2nn. ++ ++ ++... + + = (1+1) ... + n −1 + n = (1+1) = 2 . 2 0 1 Dies Diessagt, sagt,dass dassdie dieAnzahl Anzahlaller allerTeilmengen Teilmengeneiner einern-elementigen n-elementigen Menge Menge(das (dasheißt heißtdie dieAnzahl Anzahlder der0-elementigen 0-elementigenTeilmengen Teilmengenplus plusdie die n Anzahl Anzahlder der1-elementigen 1-elementigenTeilmengen Teilmengenplus plus...) ...)gleich gleich 22n ist. ist. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 130 M.a.W.: M.a.W.:Die Diealternierende alternierendeSumme Summeder derBinomialzahlen Binomialzahlenist istNull. Null. Wir Wirinterpretieren interpretierendies diesauf auffolgende folgendeWeise: Weise:Die DieAnzahl Anzahlder der Teilmengen Teilmengenmit mitgerader geraderMächtigkeit Mächtigkeitist istgleich gleichder derAnzahl Anzahlder der Teilmengen Teilmengenungerader ungeraderMächtigkeit. Mächtigkeit. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 131 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 132 Aufgabe Aufgabe Permutationen Permutationen Definition. Definition.Eine EinePermutation Permutationeiner einerendlichen endlichenMenge Menge M M ist isteine eine bijektive bijektiveAbbildung Abbildungder derMenge Menge M M ininsich. sich.D.h.: D.h.:Jedem JedemElement Elementaus aus M M wird wirdein einElement Elementvon von M M so sozugeordnet, zugeordnet,dass dasskeine keinezwei zwei Elemente Elementedas dasgleiche gleicheBild Bildhaben. haben. 4 1. 1.Multiplizieren MultiplizierenSie Sie(a (a++b) b)4mit mitHilfe Hilfedes desPascalschen PascalschenDreiecks Dreiecksaus. aus. 3 2. 2.Berechnen BerechnenSie Sie41 413.. Beispiel: Beispiel:Die DieAbbildung Abbildung ππ definiert definiertdurch durch π(1) π(1)==2, 2,π(2) π(2)==4, 4,π(3) π(3)== 3, 3,π(4) π(4)==5, 5,π(5) π(5)==11 ist isteine einePermutation Permutationder derMenge Menge {1, {1,2, 2,3, 3,4, 4,5}. 5}. © Dr. Zschiegner 2008 Seite 133 Kapitel 1: Grundlagen Anzahl Anzahl der derPermutationen Permutationen Beweis Beweis Für Fürdas dasBild Bilddes desersten erstenElements Elements 11 gibt gibtes es nn Möglichkeiten. Möglichkeiten. 1.5.8 1.5.8 Satz. Satz. Die Die Anzahl Anzahl der der Permutationen Permutationen einer einer n-elementigen n-elementigen Menge Mengeist ist n! n! Für Fürdas dasBild Bildvon von 2: 2: n–1 n–1 Möglichkeiten, Möglichkeiten,nämlich nämlichalle alleaußer außerdem dem Bild Bild π(1) π(1) des desersten erstenElements. Elements. Beispiel: Beispiel:Um Um100 100Menschen Menschenauf auf100 100Stühle Stühlezu zusetzen, setzen, 158 gibt Möglichkeiten. gibtes esgenau genau 100! 100!≈≈10 10158 Möglichkeiten. Für Fürdas dasBild Bildvon von 3: 3: n–2 n–2 Möglichkeiten Möglichkeiten(alle (alleaußer außer π(1) π(1) und und π(2)). π(2)). Usw. Usw. Beweis. Beweis.Wir Wirüberlegen überlegenuns unssystematisch, systematisch,wie wieviele vieleMöglichkeiten Möglichkeitenes es für füreine einePermutation Permutation ππ einer einern-elementigen n-elementigenMenge Menge M M gibt. gibt. Bild Bildvon von n–1: n–1: 22 Möglichkeiten, Möglichkeiten,da dabereits bereits n–2 n–2 Elemente Elementevergeben vergeben sind sind(die (dieBilder Bildervon von 1, 1,2, 2,..., ...,n–2). n–2). Ohne OhneEinschränkung Einschränkungkönnen könnenwir wir M M=={1, {1,2, 2,3, 3,..., ...,n} n} wählen. wählen. Wir Wirüberlegen überlegenuns unsder derReihe Reihenach, nach,wie wieviele vieleMöglichkeiten Möglichkeitenes esfür fürdie die Das DasBild Bilddes desletzten letztenElements Elementsist istvollständig vollständigdeterminiert. determiniert. Also Alsogibt gibtes esinsgesamt insgesamtgenau genau n⋅(n–1) n⋅(n–1)(n–2) (n–2)... ...2⋅1 2⋅1==n! n! MöglichMöglichkeiten keitenfür fürdie dieAuswahl Auswahleiner einerbeliebigen beliebigenPermutation Permutation ππ von von M. M. Bilder Bilderder derElemente Elemente 1, 1,2, 2,3, 3,..., ...,nn gibt. gibt. Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 134 Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 135 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 136 Aufgaben Aufgaben 1. 1.Wie Wieviele vieleMöglichkeiten Möglichkeitengibt gibtes, es,acht achtTürme Türmeso soauf aufeinem einem Schachbrett Schachbrettaufzustellen, aufzustellen,dass dasskeine keinezwei zweisich sichgegenseitig gegenseitigbedrohen? bedrohen? 2. 2.Wie Wieviele viele5-stellige 5-stelligePostleitzahlen Postleitzahlengibt gibtes? es? 3. 3.Ist Istes esbesser, besser,zwei zwei3-stellige 3-stelligeZahlenschlösser Zahlenschlösseroder oderein ein6-stelliges 6-stelligeszu zu benutzen? benutzen? 4. 4.Ein EinKollege Kollegeerzählt erzähltmir: mir:„Ich „Ichhabe habeeine einegute gutePIN: PIN:lauter lauterverschiedene verschiedene Ziffern!“ Ziffern!“Wie Wieviele vieleMöglichkeiten Möglichkeitenfür fürPINs PINsaus ausverschiedenen verschiedenenZiffern Ziffern gibt gibtes? es?Wie Wieviel vielhat hatmir mirmein meinKollege Kollegealso alsovon vonseiner seinerPIN PINverraten? verraten? Kapitel 1: Grundlagen © Dr. Zschiegner 2008 Seite 137 Kapitel 1: Grundlagen Seite © Dr. Zschiegner 2008 Seite 138
