¨Ubungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 3

Übungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 3
Prof. Dr. G. Böckle
Dr. A. Maurischat
Sommersemester 2011,
Abgabe: Di 3.5.2011, 9.00 Uhr
9. Aufgabe: (5 Punkte) Es seien V = V3 (R)
mit dem Standardskalarprodukt h, i und
3versehen
U ⊆ V der Untervektorraum, der von v1 := 4 aufgespannt wird.
0
(a) Berechnen Sie eine Basis von U ⊥ .
(b) Bestimmen Sie Orthonormalbasen (b1 ) von U und (b2 , b3 ) von U ⊥ .
(c) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : V → V, v 7→ hv, b1 i · b1 linear ist.
B
E
(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen MatB (f ) und MatE (f ), wobei B := (b1 , b2 , b3 ) ist
und E = (e1 , e2 , e3 ) die Standardbasis ist, und verifizieren Sie f ◦ f = f .
(e) Zeigen Sie, dass f die orthogonale Projektion auf den Unterraum U ist.
10. Aufgabe: (3 Punkte) Es sei (V, h, i) ein endlichdimensionaler Hilbertraum und f ∈ End(V )
ein normaler Endomorphismus. Zeigen Sie:
(a) Für alle v ∈ V gilt: kf (v)k = kf ad (v)k.
(b) Ker(f ad ) = Ker(f ).
(c) Für alle λ ∈ C ist f − λidV ein normaler Endomorphismus.
11. Aufgabe: (2 Punkte) Es sei (V, h, i) ein unitärer Vektorraum mit einer Orthonormalbasis
B = (b1 , . . . , bn ). Des weiteren seien f ∈ End(V ) ein Endomorphismus auf V und A = (aij ) :=
B
MatB (f ) die Darstellungsmatrix von f bzgl. B.
(a) Zeigen Sie, dass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} die Gleichung aij = hf (bj ), bi i gilt.
(b) Folgern Sie direkt aus Teil (a) und der Charakterisierung von f ad durch hf ad (v), wi =
B
hv, f (w)i für alle v, w ∈ V , dass MatB (f ad ) = A∗ gilt. (Insbesondere soll nicht das Resultat
aus der Vorlesung verwendet werden.)
12. Aufgabe: (3 Punkte)
Es seien V, W, X endlich-dimensionale Euklidsche Vektorräume, f : W → X, g : V → W und
h : V → V lineare Abbildungen und fC bzw. gC bzw. hC die komplexifizierten Abbildungen.
Zeigen Sie:
(a) Es gilt (f ◦ g)C = fC ◦ gC .
(b) Ist h eine normale Abbildung, so ist hC auch eine normale Abbildung.
(c) Ist h orthogonal, so ist hC unitär.
Vorschläge zur Gruppenarbeit
(Diese Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern werden teilweise in den Übungsgruppen bearbeitet.)
7. Vorschlag: Wir betrachten den Vektorraum Vn (C) mit dem Standardskalarprodukt h, i, d.h.
hv, wi = v t w für alle v, w ∈ Vn (C). Wie in der Linearen Algebra 1 identifizieren wird den
Dualraum (Vn (C))∗ mit dem Zeilenvektorraum Zn (C), in dem wir einen Zeilenvektor z mit der
Abbildung v 7→ z · v identifizieren.
(a) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass die anitlineare Abbildung α : Vn (C) → (Vn (C))∗ =
Zn (C) (wie in der Vorlesung definiert, vgl. auch Aufgabe 5) gegeben ist durch α(w) = wt ,
d.h. die Linearform α(w) ist genau die Abbildung v 7→ wt · v.
(b) Es sei f : Vn (C) → Vn (C), v 7→ Av für eine Matrix A ∈ Matn×n (C). Sei g die lineare
Abbildung Vn (C) → Vn (C), v 7→ A∗ v. Rechnen Sie nach, dass g die zu f adjungierte
Abbildung ist, indem Sie die Gleichung hg(v), wi = hv, f (w)i für alle v, w ∈ V verifizieren.
Bemerkung: Für den Standard-Hilbertraum Vn (C) ist die Abbildung α also sehr einfach direkt
anzugeben und alle abstrakten Beweise reduzieren sich auf Matrizenmultiplikationen.
8. Vorschlag: Jede der folgenden vier 3 × 3-Matrizen definiert durch v 7→ Av einen Endomorphismus auf (Vn (C), h, i) (h, i ist wieder das Standardskalarprodukt). Untersuchen Sie, welche
dieser Endomorphismen normal, welche selbstadjungiert und welche unitär sind:








1
2i −1
0 0 1
1 i −1
1 2 0
−2 1 0  ,  −i 0 1  , 0 1 0 , 1 + i 0
2 .
1
−i 2
1 0 0
−1 1 2
0 0 −1
9. Vorschlag: Es sei (V, h, i) ein endlichdimensionaler Hilbertraum und f ∈ End(V ). Zeigen
Sie, dass die folgenden Eigenschaften für f äquivalent sind:
(i) f ist orthogonal bzw. unitär.
(ii) f ◦ f ad = f ad ◦ f = idV .
(iii) f ∈ Aut(V ) und f −1 = f ad .
Hinweis: Verwenden Sie entweder die Eigenschaften für adjungierte Abbildungen aus der Vorlesung oder Darstellungsmatrizen bzgl. einer Orthonormalbasis.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 2 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la2-2011