12.¨Ubungsblatt Lineare Algebra II

Fachbereich Mathematik
Martin Otto
Achim Blumensath
Laurenţiu Leuştean
Markus-Ludwig Wermer
Sommersemester 2009
12. Übungsblatt Lineare Algebra II
(E12.1) [Zum Aufwärmen: Erhaltung von Bilinearformen]
Sei σ eine symmetrische Bilinearform auf Rn , die bzgl. der Standardbasis durch die Matrix
A ∈ R(n,n) repräsentiert wird. Die Funktion Q : Rn → R mit Q(x) = σ(x, x) ist die mit σ
assozierte quadratische Form.
Wir sagen, daß ein Endomorphismus ϕ von Rn die Bilinearform σ erhält, wenn gilt
σ(ϕ(x), ϕ(y)) = σ(x, y) für alle x, y ∈ Rn . Genauso sagen wir, daß ϕ die mit σ assozierte
quadratische Form Q erhält, wenn gilt Q(ϕ(x)) = Q(x) für alle x ∈ Rn .
Zeigen Sie, daß für einen bzgl. der Standardbasis durch die Matrix C repräsentierten
Endomorphismus ϕ folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) ϕ erhält Q;
(ii) ϕ erhält σ ;
(iii) C t AC = A.
(E12.2) [Positive Definitheit]
Sei A ∈ R(n,n) symmetrisch. Wir bezeichnen mit Br die Kugel von Radius r in Rn .
(i) Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) A ist positiv definit.
(b) Es gibt ein R > 0 mit { x ∈ Rn : xt Ax 6 1 } ⊆ BR .
(ii) Zeigen Sie, daß es zu jedem Skalarprodukt σ auf Rn Zahlen 0 < r < R gibt mit
Br ⊆ { x ∈ Rn : σ(x, x) ≤ 1 } ⊆ BR . Hieraus folgt, daß alle Skalarprodukte auf Rn
kommensurable Metriken und somit dieselbe Topologie induzieren.
(E12.3) [Polynome von linearen Abbildungen]
Sei V ein unitärer Vektorraum, ϕ, ψ : V → V ein Endomorphismus von V und p, q ∈ C[X]
Polynome. Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr? Finden Sie entweder einen
Beweis oder ein Gegenbeispiel.
(i) Gilt ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ so auch p(ϕ) ◦ q(ψ) = q(ψ) ◦ p(ϕ).
(ii) Jeder ϕ-invariante Unterraum U von V ist auch p(ϕ)-invariant.
(iii) Ist ϕ invertierbar, so auch p(ϕ).
(iv) Ist ϕ diagonalisierbar, so auch p(ϕ).
(v) Ist ϕ unitär, so auch p(ϕ).
(vi) Ist ϕ selbst-adjungiert, so auch p(ϕ).
(E12.4) [Jordan-Normalform und reelle Matrizen]
Sei A ∈ R(n,n) mit geradem n = 2m. Angenommen, das charakteristische Polynom von
A ist von der Form pA = pm
0 für ein irreduzibles Polynom p0 ∈ R[X] vom Grad 2 (z. B.
2
p0 = X + 1). In C[X], zerfällt p0 in Linearfaktoren (λ − X)(λ − X) mit λ ∈ C \ R.
(i) Zeigen Sie, daß für einen verallgemeinerten Eigenvektor v der Höhe k zum Eigenwert λ der Vektor v ein verallgemeinerter Eigenvektor der Höhe k zum Eigenwert
λ, für den gilt [[v]] ∩ [[v]] = 0. (Hinweis. Benutzen Sie Lemma 1.5.6.)
(ii) Zeigen Sie, daß A ähnlich zu einer reellen Matrix K ∈ R(n,n) ist, welche aus den
folgenden drei Arten von (2×2)-Blöcken
ist: 0 ∈ R(2,2) , E2 ∈ R(2,2)
zusammengesetzt
a −b
und einer Matrix der Form A0 =
∈ R(2,2) mit b 6= 0, wobei A0 nur
b
a
entlang der Diagonalen vorkommt, En und 0 direkt über der Diagonalen stehen
können und 0 überall sonst steht (eine Block-Jordan-Normalform“).
”
Hinweis. Bringen Sie A in Jordan-Normalform über C bzgl. einer Basis aus komplex
konjugierten Vektor-Paaren; kombinieren Sie dann diese Paare um eine reelle Basis
zu finden.
(iii) Finden Sie Beispiele für Matrizen Ak ∈ R(6,6) mit charakteristischem Polynom (X 2 +
1)3 und Minimalpolynom qAk = (X 2 + 1)k für k = 1, 2, 3.