BINOMISCHER LEHRSATZ Satz Seien x, y reelle Zahlen und n eine

BINOMISCHER LEHRSATZ
K. KOBAYASHI
CHICHIBU OBERSCHULE
Satz
Seien x, y reelle Zahlen und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
n " #
!
n n−k k
n
(x + y) =
x y .
k
k=0
Beweis
Druch vollständige Induktion nach n.
Induktions-Anfang n = 0.
Da nach Definition a0 = 1 für jede reelle Zahl a (leeres Produkt), ist (x+y)0 = 1
und
0 " #
!
0
k=0
k
x
" #
0 0 0
y =
x y = 1.
0
n−k k
Induktions-Schritt n → n + 1.
Für den ersten Summanden der rechten Seite erhält man unter Benutzung der
Indukiton-Voraussetzung
n
(x + y) x =
n " #
!
n
k=0
k
x
n+1−k k
y =
$
n
n+1
n+1 " #
!
n
k=0
%
k
xn+1−k y k · · · (1).
Dabei haben wir verwendet, dass
= 0. Für die Umformung des zweiten
Summanden verwenden wir die offensichtliche Regel
n
!
ak+1 =
k=0
n+1
!
ak
k=1
über die Indexverschiebung bei Summen.
#
n " #
n+1 "
!
n n−k k+1 !
n
n
(x + y) y =
x y
=
xn+1−k y k .
k
k
−
1
k=0
k=1
$ n % n+1 0
Addiert man den Summanden −1 x y = 0, erhält man
#
n+1 "
!
n
(x + y) y =
xn+1−k y k .
k
−
1
k=0
n
Insgesamt ergibt sich, wenn man noch
$n%
k
1
+
$
n
k−1
%
=
$n+1%
k
· · · (2) benutzt,
n+1
(x + y)
=
n+1 " #
!
n
k=0
=
k
x
#
n+1 "
!
n+1
k=0
k
#
n+1 "
!
n
y +
xn+1−k y k
k
−
1
k=0
n+1−k k
xn+1−k y k ,
w. z. b. w.
Bemerkung (1)
" #
" #
" #
n " #
!
n n+1−k k
n n+1 0
n n 1
n 1 n
x
y =
x y +
x y + ··· +
xy
k
0
1
n
k=0
" #
" #
" #
"
#
n+1 " #
!
n n+1−k k
n n+1 0
n n 1
n 1 n
n
x
y =
x y +
x y + ··· +
xy +
x0 y n+1
k
0
1
n
n
+
1
k=0
"
#
n " #
n+1 " #
!
n
n n+1−k k ! n n+1−k k
x
y
Aus
= 0 folgt
x
y =
n+1
k
k
k=0
k=0
Bemerkung (2)
" # "
#
n
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) n(n − 1) · · · (n − k + 2)
+
=
+
k
k−1
k!
(k − 1) !
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − k) ! n(n − 1) · · · (n − k + 2)(n − k + 1) !
=
+
k !(n − k) !
(k − 1) ! (n − k + 1)!
n ! (n − k + 1)
kn !
=
+
k ! (n − k + 1) ! k ! (n − k + 1) !
(n + 1)n !
=
k ! (n − k + 1) !
(n + 1) !
=
k ! (n + 1 − k) !
"
#
n+1
=
k
2