Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Das Briefmarkenproblem“
Dieses Problem verhält sich in gewisser Hinsicht komplementär zum Münzproblem. Will
man mit 5-, 10-Cent-Briefmarken einen Brief frankieren und dabei höchstens 3 Marken
verwenden, so kann man jedes Vielfache von 5 Cent zwischen 0 und 30 Cent zusammenstellen, d.h. rechnet man modulo 5, so gilt:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊆ 3 · {5, 10}.
Beim Briefmarkenproblem sind wir nun daran interessiert, bei vorgegebenem A ⊆ N mit
|A| = k und h ∈ N, das größte n = n(h, A) mit
{0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n} ⊆ hA
zu bestimmen.
Das Briefnarkengrcibtern
In gewisserWeise komplementär zum Münzproblem ist das Briefnartt""problem(vgl. etwa [Selrrier1986]).Mochte man mit 10-, 50- und 60-PfennigBriefmarken einen Brief frankieren und dabei höchstens4 Marken verwenden,
so kann man jedesVielfachevon 10 Pf zwischen0 und 240 Pf zusammenstellen.
Rechnet ma,nin Vielfachen von 1.0,so gilt also
{ 0 , 1 ,2 , . . . , 2 4 } g 4 { 0 ,1 , 5 , 6 } .
Beim Briefmarkenproblemgeht es um die Bestimmung der größten Zahl n:, so
daß
{ 0 ,1 ,2 r .. . , n } Q h A
Vll.9 DasMünzproblem
und dasBriefmarkenproblem
441
für ein gegebenesh € IN gilt. Diese Zahl n(h,.A) nennt man die h-Reich,weite
von Ä. Außer (wie stets) 0 g Ä setzen wir nun auch L g A voraus, da andernfalls
n(h, A): 0 wäre. Ist /c die Anzahl der positiven Elemente von Ä, dann gilt
n(h,,A).
(of I
Denn eine Summe
ß1k
D*ro,
mit
4o:0,
ol : 1, ri € INound
d-O
D*t - h
d=O
entsteht als h-Auswahl aus einer (fr + l)-Menge ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, wobei Wiederholungen erlaubt sind, und die Anzahl solcher Auswahlen beträg, f;-), wie man in der Kombinatorik lernt.
Interessant sind &-Mengen .4 mit möglichst großer Reichweite. (Dabei soll
zwar 1, nicht aber 0 als Element von A mitgezählt werden.) Man setzt
n(h,,k),_ n(h,A)
ü1S
und nennt eine Menge Ä mit n(h,A): n(h,ß) eine (h,k)-optimale Menge oder
(h,k)-Eatremalbasis.Trivialerweisegilt n(ä,,1) : h, denn {0,1} ist eine n(h,,L)optimale Menge. Der folgende Satz behandelt den Fall le :2; er geht auf [Stahr
1955] zurück.
Satz 23: Es gilt
h 2 + 6h + 1l
,(h,,D:l
4
Beweis:Es sei Ä: {0,1,a} mit a) t. Dabei können wir o < h+ 2 annehmen,
da and ern f a llsscho n h+ L ( hA g ilt. Is t n € IN und n - 11 -a* c2.1mit
rr,tz € INo und 12 < o (Division mit Rest), dann gilt für jede Darstellung
' 1 m i t a r t U z€ I N o d i e B e z i e h u n g t * y z 2 x r * x z . D i e Z a h I n
n:U|a*Az
besitzt keine Darstellung als Summe von lr Zahlen aus .A, wenn fit* rz > t?+ 1.
Die kleinste solcheZahl ergibt sichmit o2 : a- l und nr: h+L - (" - 1).
Also ist
n(h,A) - (h - a*2).
o * ( o - 1 ) . 1 - L : - a 2 + ( l z+ 3 ) . a - 2 .
Betrachten wir a als reelle Variable, so nimmt dieser Term seinen größten Wert
an der Stelle f; an. Es gilt nämlich
n(h,A) -
h 2+ 6 h + L
-('-ry)'
Vll Elementeder AdditivenZahlentheorie
M2
Man erhäilt
h 2+ 6 h + t
,
falls lr gerade,
r,u,r,:
{
h 2+ 6 h + L
1
-4t
falls lz ungerade.
Insgesamtergibt sich also obige Behauptung. tr
Aus Satz 23 folgt
n(h,r,:(3)'*o101.
B ei spi e l 5: Nach Satz23 g ilt n (3,2):7', und -A : {0,1,3} ist (3,2)-optimal .
Die kleinste Zahl, die man nicht als Summe von drei Summanden aus Ä schreiben kann, ist die Zahl8.
Bei sp i el 6: Es g ilt n(10,2):40 , und Ä:
{0,1,6} ist (10,2)-optimal.Al l e
Zahlen von 1 bis 40 sind also als Summe von 10 Summanden aus A darstellbar;
beispielsweisegilt
3 4: 6 +6 + 6 + 6 + 6+ I + 1 + 1 + 1 + 0 .
Die Zahl 41 kann man nicht so darstellen. Denn dazu benötigt man mindestens sechs Summanden 6 und kommt dann auf L1 Summanden, mit sieben
Summanden 6 erhält man aber schon 42.
Fär den Fall t :3
hat Gpnt HopuntsTnR folgendes Resultat erzielt: Ist
++1*' undt: t'/1*,
l+r,
": L:fj.J
lrl
sowle
a:2s-t+1
dann ist für h > 22 die MengeA:
und b:ta-s,
{1, a, ä} (ä'3)-optimal,und es gilt
n(h,3)- (h + 4 - s- t) . b+ (t -2)'o * (s - 2)' L
Daraus folgt
n(h,B):ä (3)'+o(h)
[Hofmeister1968,L983].
Eine Tabellefür n(h,k) und zugehörigeoptimale Mengenmit
(I?-1xh'z-9)<1e0
Vlf.9 DasMünzproblem
und dasBriefmarkenproblem
443
findet man in [Hofmeister1985].Vgl. hierzu auch [Selmer1986].
Satz 2a ([Rohrbach1939],[Stöhr 1955])Es gilt
-)
*-,((f)-, (f)') =n(h,k)(o;
Beweis: Die Abschätzung nach oben ergibt sich aus
-)
n(h,A) . (h I
\nl
für lÄl : * (s.o.). E. sind zwei verschiedeneAbschätzungennach unten zu
beweisen,wobei die eine für h < Icund die anderefür fr < h trivial ist. Zunächst
zeigenwir für k < h
n(h,k), (*)_
Dazu setzenwir
r:
| il
+ t'
[;J
Wegen k < h ist 9 ) 2. Für die Menge
Ä:
{0, l, g, gz, ..., gk-t}
gilt dann
n@, A) 7 gr ,
denn in der g-adischen Zifferndarstellung einer Zahl zwischen 1 und ge - 1 ist
die Quersumme < k(g - 1) : ttf] S h, und gk ist die Summe von 9 (S h)
Summanden g&-r. Es folgt
n(h,k)
A)>(t*] * ') = (f)2 n(h,
Nun beweisen wir für h < k die Abschätzung
n(h,k)=
(f)'
Wir betrachten dazu die ä * 1 Zahlen
d4:1
d,2 _
d's :
d4 _
iln+r:
(u*1)d1
udr*(u+l)d2
uü*udz*(u*1)d3
udr* udz*... + udn-t* (u *L)dn
Vll Elementeder AdditivenZ ahlentheori e
444
m i t u €I N und bilden damit die Menge Bn mit 0 e Bn und den positiven
Elementen
2dr,
dt,
udr * 2d,2,
ud,t * d,z,
udr * ud,2l d,s, u d t * u d z * 2 d , s ,
udr,
ud1 { ud,2,
udr*ud,2{ud.3,
:
d';* dn, tl;i d';| 2d'1'',
"
" Dl;i
uDl=' dt'
Die Anzahl der positiven Elemente in Bn ist k : uh. Für die ä-Reichweitevon
.B1 gilt
n(h, 81) 2 dn+r - t.
Dies kann man induktiv beweisen:Für h: L ist 81 : {0, \,2,.. .,u} und daher
w egendt : !
n(L,81):u:dz-t'
Ist schon
"(h-l,Br,-r)>do*f
Bnq e Bn nur noch zeigen, daß die Zahlen von
wegen
ma^i1
bewiesen, so muß
dr, bis"dn+r- l als Summe von lr Zahlen aus .86 darzustellen sind. Jede dieser
Zah\en ist nun von der Form
s : u d t * u d z + . . . * u d n - t * q d n* r
mit 0 S q <u und 0 ( r 1 dn-1. Es gilt
h-r
" fi = 1
d , ; * q d n€ B n ,
-L Summanden aus
und r ist nach Induktionsvoraussetzung eine Summe von h
Bn-r und damit auch aus 81,. Also ist s eine Summe von h Summanden aus 81.
Es folgt
n(h, B)
) d,pr1- I
:
Setzenwir nun u - lil, dann besitzt ^B1wegen nIIl S k höchstensk positive
Elemente.Es ist also
n(h,k) 2 n(h,nn)>-
([f]*') - (f)' n
Vll.10 Aufgaben
(
Die Abschätzungenin Satz 24 sind symmetrischbezüglich ä und k, denn
: (*it). Es gilt allerdings nfcät n(h,ß) = n(k,i); beispielsweise
ist
(tfl
-:
n(3, 4) 26 (optimale Menge {0, 1,4, ,7 ,8} ) und n(4, 3) 26 (optimäle Menge
{ 0 , 1 , 5 ,, g } ) .
Fär ß S ä ergibt sich aus Satz 24 die grobereAbschätzung
n(h,,k)sg
rJ
f+)H
\fr/
Diese kann man für festes k und lr + m verbessern zu
(fr- 1)i;'. r
n(h,k)
fl) *, oror-,,,
=
t._ rl, \e/
[Rridseth1990].
Aus Safz Zifolgt, daß positive Konstanten cp und Cr existieren,mit welchen
/1,\t
/"*
3 n(h'k)s cr (;J * og'r-r)
(.;J * o1t'*-1
"
gilt, Dabei ist c3 ) L nach Satz 24. Es gilt
ct:Ct-L,
C2-_Q2-!,
cs:Qs-!.
Fernerweiß manr duß ca ) 2,008 [Mossige1.987]und Ct S 2,43 [Kirfel 1989].