Rechengesetze und Rechenvorteile

2 Rechengesetze und Rechenvorteile I
Brigitte und ihre Schwester Karin
kaufen sich Fahrkarten am Automaten.
Beide haben das Geld abgezählt bereit.
Brigitte wirft zuerst ein 2-€-Stück und
dann ein 50-ct-Stück ein. Karin macht es in
umgekehrter Reihenfolge. Vertauscht man in einer Summe die beiden Summanden, erhält man dasselbe Ergebnis.
So ist z. B. 3 + 5 = 8 und 5 + 3 = 8. Man kann dies am Zahlenstrahl veranschaulichen:
Beim Addieren darf man Summanden vertauschen. Dies gilt für alle natürlichen Zahlen. Du kennst diese Regel schon unter dem Namen „Vertauschungsgesetz“.
Wenn man in einer Summe mit drei oder mehr Summanden beliebig Klammern setzt, so
erhält man ebenfalls jeweils dasselbe Ergebnis. Beispielsweise ist (3 + 2) + 4 = 9, ebenso
ist 3 + (2 + 4) = 9. Auch dies kann man am Zahlenstrahl verstehen:
Beim mehrfachen Addieren darf man Klammern beliebig umsetzen oder weglassen. Dies
gilt für alle natürlichen Zahlen. Du kennst diese Regel schon als „Verbindungsgesetz“.
Neue Namen für bekannte Gesetze!
commutare (lat.):
vertauschen
associare (lat.):
verbinden
Kommutativgesetz der Addition:
Beim Addieren darf man die Summanden
vertauschen.
Es gilt z. B.: 3 + 5 = 5 + 3.
Assoziativgesetz der Addition:
Beim mehrfachen Addieren darf man
Klammern beliebig umsetzen oder weglassen.
Es gilt z. B.: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4).
Bei Anwendung der beiden Rechengesetze ergeben sich häufig Rechenvorteile:
Wie man 3 – 5 berechnen kann, lernst du im
Kapitel VI.
82 III Rechnen
Beispiel 1
Beispiel 2
338 + 489 + 162
(48 + 178) + 122
= 338 + 162 + 489
= 48 + (178 + 122)
= 500 + 489 = 989
= 48 + 300 = 348
Achtung: Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz gelten nicht für die Subtraktion:
5 – 3 = 2, aber (8 – 5) – 2 = 1, aber 3 – 5 ergibt keine natürliche Zahl.
8 – (5 – 2) = 5.
Aufgaben
1
Rechne möglichst geschickt.
a) 305 + (95 + 217)
b) 483 + 246 + 117
c) 410 + (1330 + 690) + 1070
d) Erfinde Aufgaben, die sich durch Anwendung der Rechengesetze leichter lösen lassen.
Bei zusammengesetzten
Wörtern gibt es kein
Assoziativgesetz.
2
Schreibe jeweils den beschriebenen Rechenausdruck auf. Berechne dann seinen Wert.
a) Addiere die Summe der Zahlen 456 und 378 zur Zahl 144.
b) Addiere die Summe der Zahlen 188 und 173 zur Summe der Zahlen 212 und 227.
c) Addiere zur Zahl 1340 die Summe der Zahlen 890 und 660.
3
Formuliere zu den folgenden Aufgaben einen Text wie in Aufgabe 2.
a) 245 + (188 + 465) b) (465 + 342) + (168 + 673)
4
a) Wie ändert sich der Wert einer Summe von vier Zahlen, wenn man jeden Summanden um 4 vergrößert?
b) Wie ändert sich der Wert einer Summe von drei Zahlen, wenn man jeden Summanden
um 5 verkleinert?
c) Wie ändert sich der Wert einer Summe von vier Zahlen, wenn man zwei davon um 3
verkleinert und zwei davon um 5 vergrößert?
5
Berechne im Kopf.
a) 998 + 453 + 67 + 547 + 2 + 23
c) 2000 + 364 + 258 – 104 + 1242
b) 487 – 127 + 864 + 540 + 136
d) 4711 + 3599 + 401 + 289 + 3000
6
Bei einem magischen Quadrat ergibt die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und
Diagonalen jeweils dieselbe Zahl. Vervollständige das magische Quadrat in Fig. 1.
96
88
7
Katrin, Susanne und Carla haben 126 – 55 – 25 – 19 berechnet. Katrin hat 77, Susanne
27 und Carla 115 als Ergebnis erhalten. Erkläre, wie sie jeweils gerechnet haben und wer
das richtige Ergebnis erhalten hat.
68
69
91
86
18
66
81
Fig. 1
Bist du sicher?
1
Rechne geschickt.
a) 607 + 399 + 293
b) (38 + 153) + 362
c) (778 + 1020) + (980 + 2222)
2
Berechne im Kopf.
a) 56 + 74 + 185 + 26 + 315 + 94
b) 693 + 13 – 143 + 460 + 27
8
a) Berechne und vergleiche die Ergebnisse:
531 – (248 + 123) und 531 – 248 – 123;
355 – 78 – 169 und 355 – (78 + 169)
b) Rechne zwei selbst gewählte Beispiele, die mit denen aus a) vergleichbar sind.
c) Beschreibe deine Beobachtung in einigen Sätzen als allgemeine Regel.
9
a) Berechne und vergleiche dann geeignete Ergebnisse: 437 – (248 – 123) und 437 – 248 – 123 und 437 + 248 – 123 und 437 – 248 + 123 und 437 + 248 + 123.
b) Rechne zwei selbst gewählte Beispiele, die mit denen aus a) vergleichbar sind.
c) Beschreibe deine Beobachtung in einigen Sätzen als allgemeine Regel.
III Rechnen 83