Lineare Algebra II 7.¨Ubungsblatt

Prof. Dr. Wedhorn
Dr. Blottière
Dr. Schützdeller
Dipl. Math. Sauter
SS 07
Universität Paderborn
Lineare Algebra II
7. Übungsblatt
Abgabe : Am Donnerstag, den 24.05.07 bis 8 Uhr in den Kästen vor D1 320.
Bei jeder Aufgabe kann man 10 Punkte erreichen.
Aufgabe 25 :
Sei K ein Körper, sei n ≥ 1 eine ganze Zahl. Wir betrachten die folgende Aussage.
(An )
(χM = χN und µM = µN ) ⇒ (M und N sind ähnlich) für alle M, N ∈ Mn (K).
1. Zeigen Sie : (An ) gilt für n ≤ 3.
2. Zeigen Sie : (An ) ist falsch für n ≥ 4.
Aufgabe 26 :
Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und sei f : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie :
(f ist unipotent) ⇔ (f ist trigonalisierbar und der einzige Eigenwert von f ist 1).
(f ist nilpotent) ⇔ (f ist trigonalisierbar und der einzige Eigenwert von f ist 0).
Aufgabe 27 :
Sei K ein Körper, sei n ≥ 1 eine ganze Zahl, sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei
f : V → V ein Endomorphismus.
1. Sei λ ∈ K, seien B := (v1 , . . . , vn ) und C := (w1 , . . . , wn ) zwei nummerierte Basen von V
mit
MfB = MfC = Jn (λ).
Zeigen Sie, dass ein a ∈ K × existiert, so dass
B,C
MId
= aIn .
V
2. Sei r ≥ 1 eine ganze Zahl, seien λ1 , . . . , λr paarweise verschiedene Elemente von K, seien
d1 ≥ 1, . . . , dr ≥ 1 ganze Zahlen mit d1 + · · · + dr = n, und seien B := (v1 , . . . , vn ) und
C := (w1 , . . . , wn ) zwei nummerierte Basen von V mit


Jd1 (λ1 )
0


Jd2 (λ2 )


MfB = MfC = 
.
.
.


.
0
Jdr (λr )
Zeigen Sie, dass a1 , . . . , ar ∈ K × existieren, so dass

a1 Id1
0

a2 Id2

B,C
MId
=

...
V

0
ar Idr



.

3. Gilt die Aussage aus Teil 2 auch, wenn λ1 , . . . , λr nicht paarweise verschieden sind ?
Aufgabe 28 :
Sei K ein Körper, und seien n ≥ 1, k ≥ 1 ganze Zahlen.
1. Sei die Charakteristik von K gleich 0, und sei A ∈ Mn (K) unipotent.
Zeigen Sie, dass ein Polynom P ∈ K[X] existiert, so dass P (A)k = A.
Hinweis :
Sie können (17.29) aus der Vorlesung verwenden.
2. Sei A ∈ Mn (K) diagonalisierbar, und seien λ1 , . . . , λr ∈ K die Eigenwerten von A. Wir nehmen an, dass für alle i = 0, . . . , r ein µi ∈ K mit µki = λi existiert.
Zeigen Sie, dass ein Polynom P ∈ K[X] existiert, so dass P (A)k = A.
Hinweis :
Betrachten Sie ein Polynom P ∈ K[X], so dass P (λi ) = µi für i = 0, . . . , r
(Vergleichen Sie mit der Aufgabe 35 des 9. Übungsblattes Lineare Algebra 1).
3. Sei K algebraisch abgeschlossen der Charakteristik 0 (z.B. K = C), und sei A ∈ GLn (K).
Zeigen Sie, dass eine Matrix B ∈ GLn (K) existiert mit B k = A.
4. Gilt die Aussage aus Teil 3 für beliebige A ∈ Mn (C) ?