2.¨Ubungsblatt Analysis I - TU Berlin

SS 2008
Prof. Dr. John M. Sullivan
Kerstin Günther
Technische Universität Berlin
Fakultät II
Institut für Mathematik
2. Übungsblatt Analysis I
Abgabe: 05.05.2008
Übungsaufgaben
1. Zeigen Sie, daß die Addition auf Q wohldefiniert, assoziativ und kommutativ ist.
Bestimmen Sie die Identität sowie das Inverse bezüglich der Addition.
2. Sei (K, +, ·, ≤) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für a, x, y ∈
K.
(i) Es gilt genau eine der folgenden Relationen:
x < y,
x = y,
x > y,
(ii) x < y =⇒ −x > −y,
(iii) a > 0, x < y =⇒ ax < ay,
(iv) |xy| = |x| |y|.
Tutoriumsaufgaben
1. Zeigen Sie, daß die Multiplikation auf Q wohldefiniert ist.
2. Die Menge aller rationalen Zahlen Q ist ein Körper. Zeigen Sie, daß ≤ eine totale
Ordnung auf Q ist.
3. Zeigen Sie, daß die Folge ( n12 )n>0 streng monoton fallend sowie beschränkt ist. Bestimmen Sie den Grenzwert.
4. Zeigen Sie, daß die Folge (−1)n n∈N divergent ist.
Hausaufgaben
2.1 Die Menge aller rationalen Zahlen Q ist ein Körper und ≤ ist eine totale Ordnung
auf Q. Zeigen Sie, daß Q ein angeordneter Körper ist.
(5 Punkte)
2.2 Sei (K, +, ·, ≤) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für a, x, y ∈
K.
(6 Punkte)
(a) x > 0 oder x < 0 =⇒ x2 > 0,
(b) x, y > 0 =⇒ x + y > 0,
(c) x, y < 0 =⇒ x + y < 0,
(d) |x + y| ≤ |x| + |y|.
2.3 Für n ∈ N sei
n−1
.
n+1
Zeigen Sie, daß die Folge (an )n∈N streng monoton wachsend sowie beschränkt ist.
Bestimmen Sie den Grenzwert (Beweis!).
(4 Punkte)
an :=