Blatt 1 - Universität Tübingen

Prof. Stefan Teufel, Wolfgang Gaim
Mathematisches Institut, Universität Tübingen
Wintersemester 2016/2017
18.10.2016
Analysis 1
Übungsblatt 1
Aufgabe 1: Aufwärmübungen
a) Bestimmen Sie einen Bruch
q
p
mit q, p ∈ N, p < 11.000 und
q 2
− 3 < 10−8 .
p
q √ Folgern Sie, dass dann auch p − 3 < 10−8 gilt.
b) Es seien f (x) := cos x + i sin x und g(x) := eix . Zeigen Sie die Eulersche Formel
f (x) = g(x)
indem Sie die Funktion h(x) :=
f (x)
g(x)
mittels der Quotientenregel ableiten.
Sie dürfen verwenden, dass (eix )0 = ieix und eix 6= 0 gilt. Außerdem wissen Sie aus der Schule,
dass sin(x)0 = cos(x) und cos(x)0 = − sin(x) ist.
Aufgabe 2: Die AGM-Ungleichung
Seien a und b positive reelle Zahlen, also a, b > 0.
a) Zeigen Sie, dass das geometrische Mittel durch das arithmetische Mittel beschränkt wird,
also
√
a+b
ab ≤
.
(AGM-Ungleichung)
2
Tipp: Binomische Formeln.
b) Zeigen Sie unter Verwendung von a), dass das harmonische Mittel durch das geometrische
Mittel beschränkt wird, also
√
2
≤ ab.
1/a + 1/b
c) Berechnen Sie das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel der Zahlen
1 und 2.
Aufgabe 3: Zahlenkörper ?
Entscheiden Sie mit Begründung, ob die folgenden Mengen Körper sind, und wenn ja, ob sie
angeordnet sind.
a) N mit der üblichen Addition und Multiplikation,
b) Z mit der üblichen Addition und Multiplikation,
c) F2 := {0, 1} mit den Verknüpfungen + und · gegeben durch die Verknüpfungstabellen
+ 0
0 0
1 1
1
1
0
und
· 0
0 0
1 0
1
0 .
1
Aufgabe 4: Konsequenzen der Körperaxiome (BScM)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen ausgehend von den Körperaxiomen und ihren in der Vorlesung
bereits bewiesenen Konsequenzen.
a) Die Gleichung a + x = b wird duch x = b − a gelöst und diese Lösung ist eindeutig.
b) Das neutrale Element der Multiplikation ist eindeutig bestimmt.
c) Hat ein Körper mindestens zwei Elemente (was bei uns Teil der Definition eines Körpers
ist), so gilt 1 6= 0.
d) In einem angeordneten Körper folgt aus a 6= 0, dass a2 > 0. Folgern Sie daraus 1 > 0.
Hinweis: Die mit (BScM) gekennzeichnete Aufgabe kann und soll von allen bearbeitet werden,
zählt jedoch nur für die Studierenden des Fachs Bachelor of Science Mathematik zum Gesamtaufgabenpool, aus dem 50% der Aufgaben für die Klausurzulassung erfolgreich bearbeitet werden
müssen.
Abgabe: Am Montag den 25.10.2016 zwischen 9.15 Uhr und 12.15 Uhr gegenüber von Büro A17
im Gebäude C, Ebene 6. Dort liegen Mappen mit den Namen der Tutoren bereit. Bitte legen Sie
Ihre schriftliche Ausarbeitung in die Mappe Ihres Tutors.