Lineare Algebra (für PhysikerInnen) WS 11/12

KFU Graz
TU Graz
V. Mader, W. Schweiger
D. Berger, A. Glowatschnig
Lineare Algebra (für PhysikerInnen)
WS 11/12
5. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 17.11.2011)
Aufgabe 36: Gegeben seien die beiden Matrizen




1 2 5
79 54 1
Â =  0 0 3  und B̂ =  4 0 0  .
0 1 7
−5 2 0
Berechnen Sie det(ÂB̂) möglichst elegant. Was ist det(B̂ Â)?
Aufgabe 32: Finden Sie zu den Permutationen
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
und π2 =
π1 =
2 5 6 8 1 7 4 3
3 5 7 1 2 8 4 6
Aufgabe 37: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Gaußverfahren:
2x −y +3z =
1
4x −2y −z = −3
2x −y −4z = −4
10x −5y −6z = −10
die inversen Permutationen und verifizieren Sie (π1 ◦ π2 )−1 = π2−1 ◦ π1−1 .
Aufgabe 33: Betrachten Sie die Menge G = {e, a, b} mit einer Verknüpfung ◦,
die jedem geordneten Paar von Elementen aus G wieder ein Element aus G
zuordnet. Zeigen, Sie, dass es nur eine einzige Möglichkeit gibt, eine Verknüpfungstafel aufzustellen, sodass (G, ◦) eine Gruppe darstellt. Ist diese
Gruppe kommutativ?
Hinweis: Sie können dabei e als neutrales Element annehmen (da es in
einer Gruppe ja ein neutrales Element geben muss).
Aufgabe 34: Betrachten Sie die Menge R2 der 2-dimensionalen reellen Vektoren und den Körper der reellen Zahlen R. Die Vektoraddition ⊕ und die
Multiplikation ⊙ eines Vektors ~a ∈ R2 mit einem Skalar α ∈ R seien nun
über
a1 + b1
b1
a1
=
⊕
~a ⊕ ~b =
a2 + b2
b2
a2
und
α ⊙ ~a = α ⊙
a1
a2
=
α 2 a1
α 2 a2
Aufgabe 38: Rechnen Sie nach, dass für die Matrix


2 0 1

3 1 2 ,
Â =
0 1 1
die Relation
f (Â) = Â3 − 4Â2 + 3Â = 1̂
gilt und bestimmen Sie daraus Â−1 .
Hinweis: Benutzen Sie Â3 − 4Â2 + 3Â = (Â2 − 4Â + 31̂)Â zur Berechnung
von Â−1 .
Aufgabe 39: Die Matrixelemente der inversen Matrix Â−1 einer n × n-Matrix
Â, det(Â) 6= 0, sind durch
(Â−1 )ij =
Cji
det(Â)
,
i, j = 1, 2, . . . , n ,
2
erklärt. Stellt (R , ⊕) mit dieser skalaren Multiplikation einen Vektorraum
über R dar?
Aufgabe 35: (R3 , +) sei der übliche Vektorraum der 3-dimensionalen Vektoren
über dem Skalarenkörper R (mit der übliche Multiplikation von Vektoren
mit Skalaren). Welche der Teilmengen
a) {(x, y, z)T ∈ R3 | x + y + z = 0}
b) {(x, y, z)T ∈ R3 | x = y
T
und 2y = z}
3
c) {(x, y, z) ∈ R | xyz = 0}
gegeben, wobei Cji die Kofaktoren von (Â)ji sind. Beachten Sie, dass fuer
(Â−1 )ij der Kofaktor von (Â)ji (d.h. i und j vertauscht) zu nehmen ist!
Berechnen Sie die inverse Matrix Â−1 von


1
2 −4
5 
Â =  −1 −1
2
7 −3
und verifizieren Sie, dass ÂÂ−1 = Â−1 Â = 1̂, wobei 1̂ für die Einheitsmatrix
steht.
stellen Untervektorräume dar? Was ist die geometrische Interpretation?
9
10