{v ∈ V | v ∈ Vi ∀i ∈ I} (a, b)

Prof. Dr. Stefan Kebekus
Dr. Andreas Höring
WS 2010/11
Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I
3. Blatt
Abgabetermin: Do, 11.11.2010, 8 Uhr
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen. Falsche Aussagen widerlegt man
am Besten mit einem Gegenbeispiel.
Aufgabe 3-1 (4 Punkte):
a) Bestimmen Sie x, y ∈ F5 so dass folgende Gleichungen gelten:
2̄x + 3̄y = 1̄
4̄x + 2̄y = 1̄.
b) Bestimmen Sie x, y ∈ C so dass folgende Gleichungen gelten:
(1 + i ) x + iy = 1
(2 + i ) x + (1 + 3i )y = 1.
Aufgabe 3-2 (4 Punkte):
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und V1 , V2 seien Untervektorräume von V.
Zeigen Sie:
V1 ∪ V2 ist ein Untervektorraum von V ⇔ V1 ⊂ V2 oder V2 ⊂ V1 .
Aufgabe 3-3 (4 Punkte):
Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Es sei I eine Menge und {Vi }i∈ I eine Menge
von Untervektorräumen von V. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt
\
Vi := {v ∈ V | v ∈ Vi
∀i ∈ I }
i∈ I
wieder ein Untervektorraum von V ist.
Aufgabe 3-4 (4 Punkte):
Es sei N die Menge der natürlichen Zahlen. Wir bezeichnen mit + beziehungsweise ·
die Addition bzw. Multiplikation der natürlichen Zahlen. Ziel dieser Aufgabe ist es mit
Hilfe von Äquivalenzrelationen die aus der Schule bekannten ganzen Zahlen Z sowie
die Multiplikation der ganzen Zahlen formell richtig zu definieren.
Für beliebige ( a, b) und (c, d) in N × N definieren wir folgende Äquivalenzrelation1 auf
der Menge N × N
( a, b) ∼ (c, d)
⇔
a + d = b + c.
Wir bezeichnen mit Z die Menge der Äquivalenzklassen N × N/ ∼.
a) Wir definieren auf Repräsentantenniveau
m : (N × N) × (N × N) → (N × N), ( a, b), (c, d) 7→ ( a · c + b · d, a · d + b · c).
1Sie müssen nicht beweisen, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
1
2
Zeigen Sie dass die entsprechende Abbildung m : Z × Z → Z auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert ist, das heißt für alle ( a, b), ( a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) in N × N so dass
( a, b) ∼ ( a0 , b0 ) und (c, d) ∼ (c0 , d0 ) gilt
( a · c + b · d, a · d + b · c) ∼ ( a0 · c0 + b0 · d0 , a0 · d0 + b0 · c0 ).
b) Zeigen Sie dass (Z, m) ein neutrales Element hat, aber keine Gruppe ist.