Lineare Algebra und analytische Geometrie I für die Fachrichtung

Institut für Algebra und Geometrie
PD Dr. Gabriele Link
Diego De Filippi
Lineare Algebra und analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Wintersemester 2011/12
Übungsblatt 9
12.12.2011
Aufgabe 1
Es sei
V = R5 .
Darin seien die Untervektorräume

    
1
0
1
 0  −2 2
     
    
U1 = 
 1  ,  0  , 1 ,
−2  0  2
0
−2
2
(a) Berechnen Sie eine Basis von
U2 folgendermaÿen gegeben:
     
0
1
1





1
2
h     0 
i
 , 1 ,  1  .
1
U2 = 
     
1 2 −1
0
1
0
U1
und
U1 ∩ U2 .
(b) Bestimmen Sie eine Basis von
U1 + U2
und einen Untervektorraum
W
von
V
mit
U1 + U2 = (U1 ∩ U2 ) ⊕ W.
Aufgabe 2
(Z/3Z)3
(a) Geben Sie alle eindimensionalen Untervektorräume von
(b) Es sei
p
an.
eine Primzahl. Wieviele eindimensionale Untervektorräume enthält
(Z/pZ)n ?
Aufgabe 3
Eine Matrix
A ∈ Cn×n
Eine Matrix heiÿt
heiÿt
symmetrisch,
schiefsymmetrisch
oder
wenn
A = A>
alternierend,
gilt.
wenn
A = −A>
gilt.
Zeigen Sie:
(a) Die Menge Symn (C) der symmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von Cn×n .
(b) Die Menge
Altn (C)
der schiefsymmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von
Cn×n .
(c) Für
A ∈ Cn×n
ist
A + A>
symmetrisch.
(d) Für
A ∈ Cn×n
ist
A − A>
schiefsymmetrisch.
(e) Jede Matrix
A∈
Cn×n lässt sich in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen
Teil zerlegen, d.h.
A = As + Aa
mit
As ∈ Symn (C)
und
Aa ∈ Altn (C).
(f) Es gilt
Cn×n = Symn (C) ⊕ Altn (C).
Frage:
Gelten diese Aussagen auch, wenn man
C
durch einen beliebigen Körper ersetzt?
-Bitte wenden-
Abgabe der Lösungen bis zum Montag, den 19.12.2011 um 12.00 Uhr in den entsprechenden
ihres Tutoriums bei den Seminarräumen Z1 und Z2 im Zähringerhaus, Gebäude Nr. 01.85
mathematischen Bibliothek). Bitte
gelben Briefkasten
(Eingang neben der
und vermerken
. Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet.
Die Übungsblätter nden Sie unter http://www.math.kit.edu/iag2/edu/la1inf2011w/de.
heften Sie ihre Abgabe ordentlich zusammen
ihren Namen und ihre Matrikelnummer
Sie ihr Tutorium,