5. Pr¨asenz¨ubung zur Linearen Algebra 2

Julia Sauter
SS 09
5. Präsenzübung zur Linearen Algebra 2
Es bezeichne immer: n, m ≥ 1 ganze Zahlen, K einen Körper, R einen Ring, V einen n-dimensionalen
K-Vektorraum.
Aufgabe 1:
Zeigen Sie, dass die folgenden Matrizen A trigonalisierbar sind. Finden Sie eine invertierbare Matrix
P , so dass P −1 AP obere Dreiecksmatrix ist.
a) A = 0 ∈ M (n; K)
Ç
å
0 1
b) A =
−1 2
Ö
c) A =
è
2 −1 0
−1 2 1
0 −1 2
Aufgabe 2:
Es sei A ∈ M (n; K) nilpotent. Beweisen Sie, dass A ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix mit
Nullen auf der Diagonalen ist.
Aufgabe 3:
Es sei A ∈ M (n; K) mit A2 = 2A − En . Beweisen Sie, dass A trigonalisierbar ist. Geben Sie ein
Beispiel für so ein A an, das nicht diagonalisierbar ist.
Wiederholung aus der VL: Moduln
Wir wiederholen kurz die neue Terminologie: Ein Modul ist einfach ein Endomorphismus, wobei man
den unterliegenden Vektoraum mit dazuschreibt. Untermoduln (von (V, f )) entsprechen f -invarianten
Untervektorräumen. Kurz:
(V, f ) Modul :⇔
(U, f |U ) ⊂ (V, f ) Untermodul :⇔
f ∈ End(V )
U ⊂ V Untervektorraum mit f (U ) ⊂ U
Direkte Summe von Endomorphismen: Es sei V ein K-Vektorraum mit zwei Untervektorräumen U, W ,
so dass V = U ⊕W (das heißt V = U +W und U ∩W = {0}, jedes v ∈ U ⊕W läßt sich eindeutig in
der Form u + w mit u ∈ U, w ∈ W schreiben). Es seien g ∈ End(U ), h ∈ End(W ). Wir definieren
die direkte Summe f := g ⊕ h ∈ End(V ) via
f = g ⊕ h : V = U ⊕ W → U ⊕ W = V,
u + w 7→ g(u) + h(w).
Es gilt U, W sind f -invariante Unterräume, f |U = g, f |W = h.
Andersherum ist f ∈ End(V ) und V = U ⊕ W eine direkte Summenzerlegung in f -invariante
Unterräume, so ist f = f |U ⊕ f |W .
Die Modulnotation für diese Situation ist (V, f ) = (U, f |U ) ⊕ (W, f |W ).
Aufgabe 4:
Es sei V ein K-Vektorraum mit Basis b1 , b2 , b3 , f ∈ End(V ) festgelegt durch
f (b1 ) = b1 + 5b2 − b3 , f (b2 ) = b1 + 2b2 + b3 , f (b3 ) = 2b3 .
Es seien U := span(b1 + b3 , b2 ), W = span(b3 ). Zeigen Sie, dass U, W f -invariante Untervektorräume sind und V = U ⊕ W gilt. Es sei B = {b1 + b3 , b2 } die Basis von U , B‘ = {b3 } die Basis
von W . Berechnen Sie
MB (f |U ), MB‘ (f |W ), MB∪B‘ (f ).
Aufgabe 5:
Es sei f ∈ EndK (V ). Zeigen Sie :
Jeder Untervektorraum von V ist f -invariant ⇔ es gibt ein λ ∈ K mit f = λidV .
Insbesondere: Für jeden Untervektorraum U ⊂ V gibt es ein id-invariantes Komplement W , das heißt
(V, idV ) = (U, idU ) ⊕ (W, idW ).
Aufgabe 6:
Ç
å
1 1
Wir betrachten den Modul (K , A =
). Es sei U = E(A, 1) = span(e1 ).
0 1
2
a) Zeigen Sie, dass U ein A-invarianter Untervektorraum ist.
b) Zeigen Sie, dass es keinen A-invarianten Untervektorraum W von K 2 gibt, so dass K 2 =
L
U W gilt.
Aufgabe 7:
Es sei f ∈ EndK (V ) mit 0 < dim V < ∞. Zeigen Sie:
χf ∈ K[T ] irreduzibel ⇒
(V, f ) unzerlegbar.