Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 5 (WS 2010/2011)
Abgabetermin: Donnerstag, 18. November
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1
Erinnerung an die Vorlesung:
Satz. Es seien V , W K-Vektorräume, es sei v1 , . . . , vn eine Basis von V und
es seien w1 , . . . , wn ∈ W beliebige Vektoren. Dann gibt es genau eine K-lineare
Abbildung
f: V →W
mit
f (vi ) = wi
(i = 1, . . . , n)
Aufgabe 1.
(a) Es sei K = C. Welche der folgenden Abbildungen fi : C2 → C2 sind
C-linear?
f1 x, y = (y, x̄)
f2 x, y = (x − y, x + 4y)
f3 x, y = (x − y, x − 1)
(b) Es sei K = C oder K = F2 . Welche der folgenden Abbildungen gi : K →
K sind K-linear?
g1 (x) = 8x
g2 (x) = x + 8
g3 (x) = x + 1
g4 (x) = x2
g5 (x) = x2 + x
(c) Man finde 5 linear abhängige Vektoren im K 4 so daß je vier von ihnen
linear unabhängig sind.
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Aufgabe 2. Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Man zeige:
(a) Ist v ∈ V , v 6= 0, so gibt es einen Untervektorraum U der Dimension n − 1
mit
U + Kv = V
(b) Der Durchschnitt aller Untervektorräume von V der Dimension n − 1 ist
der Nullraum.
Aufgabe 3. Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n.
(a) Man zeige, daß V und K n isomorphe K-Vektorräume sind.
Hinweis. “Isomorphie” hat die übliche Bedeutung: Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn es zueinander inverse K-lineare Bijektionen zwischen
ihnen gibt.
(b) Es seien v1 , . . . , vk ∈ V linear unabhängig. Man zeige, daß man die Folge
v1 , . . . , vk zu einer Basis von V ergänzen kann.
(c) Es sei U ⊂ V ein Untervektorraum der Dimension k. Man zeige, daß es
einen Isomorphismus (=K-lineare Bijektion)
f : V → Kn
gibt mit
f (U) = K k × {0}n−k
Aufgabe 4. Es sei V ein K-Vektorraum und
f: V →V
eine K-lineare Abbildung. Wir schreiben
fi = f ◦ · · · ◦ f : V → V
| {z }
i-mal
für die i-fache Iteration von f .
Es sei n ≥ 1 und v ∈ V mit f n (v) 6= 0 und f n+1 (v) = 0. Man zeige, daß die
Vektoren
v, f (v), f 2(v), . . . , f n (v)
linear unabhänging sind.