Summenzeichen - Unterricht Bettina Bieri

Summenzeichen
Gymnasium Immensee
Vertiefungskurs Mathematik
Bettina Bieri
24. Juli 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen: Summenzeichen
1.1 Der Aufbau des Summenzeichens . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die untere und die obere Summationsgrenze sind gleich.
1.2.2 Die obere Summationsgrenze ist kleiner als die untere.
1.2.3 Schreibweise mit Intervallen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Unendliche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rechenregeln für das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Übungsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Weiterführung Summenzeichen
2.1 Indexverschiebung . . . . . . . . . .
2.1.1 Indexverschiebung allgemein .
2.1.2 Regeln zur Indexverschiebung
2.1.3 Aufgaben . . . . . . . . . . .
2.2 Doppelsummen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Matrizen . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Doppelsummen . . . . . . . .
2.2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . .
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3 Vollständige Induktion und spezielle Summen
3.1 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Allgemeines Vorgehen bei vollständiger
Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Spezielle Summen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Übungsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
3
5
5
5
5
5
6
7
7
8
8
8
8
9
10
10
11
12
13
. . . . . . . . 13
. . . . . . . . 14
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18
Kapitel 1
Grundlagen: Summenzeichen
Auch im Grundlagenfach werdet ihr dem Summenzeichen begegnen. Allerdings wird dieses dort nur sehr oberflächlich behandelt, daher werden wir uns
in diesem Kurs etwas detaillierter damit befassen. Im Studium werden lange
Summen nie ausgeschrieben - es wird immer das Summenzeichen verwendet.
Daher ist es wichtig, dass ihr mit dieser Schreibweise gut vertraut werdet.
1.1
Der Aufbau des Summenzeichens
Wenn man lange Summen aufschreiben will, benutzt man das Summenzeichen.
Beispiel
P4
i
1
2
3
4
i=1 (2 − i) = (2 − 1) + (2 − 2) + (2 − 3) + (2 − 4) = 1 + 2 + 5 + 12
Natürlich kann man bei diesem Beispiel die Summe auch ausschreiben. Wenn
wir uns nun aber vorstellen, dass wir alle ungeraden Zahlen bis 99 summieren
möchten, würde dies sehr mühsam. Mit dem Summenzeichen geht auch das
sehr einfach:
P50
i=1
(2i − 1).
Allgemeine Definition
Seien a1 , ..., an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Die Summe der
Zahlen a1 , ..., an wird bezeichnet mit:
Pn
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + ...an .
1
Erklärung
P
Das
ist ein grosser, griechischer Buchstabe und heisst Sigma. Wenn wir
ihn aber wie oben beschrieben verwenden, nennen wir ihn Summenzeichen.
i=1 bedeutet, dass wir beim Summieren mit 1 beginnen. Danach wird das i
bei jedem Summanden um eins erhöht, bis wir bei derjenigen Zahl angelangt
sind, welche oberhalb des Summenzeichens steht. Dort hören wir mit dem
Summieren auf.
Die Summenzeichendarstellung besteht aus folgenden Elementen:
1. Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel: 2i − i)
2. Summationsvariable oder Laufindex mit Werten aus N (im Beispiel: i)
3. Summationsanfang oder untere Summationsgrenze (im Beispiel: i = 1)
4. Summationsende oder obere Summationsgrenze (im Beispiel: 4)
2
1.1.1
Aufgaben
Aufgabe 1
Rechne die folgenden Ausdrücke aus:
P3
i
a)
i=1 4
P6
b)
i=2 i
P500
c)
i=1 2i
P2
d)
i=1 log2 (i)
P7 1
1
e)
i=1 ( i − i+1 )
Pn
f)
i=1 i
Pn
g)
i=0 i
Aufgabe 2
Schreibe die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens:
a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32
b) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21
c) −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8
d) − 21 + 14 − 18 +
1
16
−
1
32
3
4
1.2
Sonderfälle
1.2.1
Die untere und die obere Summationsgrenze sind
gleich.
In diesem Fall besteht die Summe aus nur einer Zahl:
Pj
i=j
ai = aj .
1.2.2
Die obere Summationsgrenze ist kleiner als die
untere.
In diesem Fall ist das Ergebnis der Summe 0:
Für n < j gilt:
1.2.3
Pn
i=j
ai = 0.
Schreibweise mit Intervallen
Sei i ∈ I, I eine Teilmenge der ganzen Zahlen und ai , i ∈ I reelle Zahlen,
dann ist
P
i∈I
die Summe aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist.
Beispiel
Sei I = {1, 2, 3, 4}. Dann gilt:
P
i∈I
ai =
1.2.4
P4
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 .
Unendliche Summen
Eine Summe muss nicht immer eine obere Grenze haben. Es gilt:
P
i∈N
ai =
P∞
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + ....
5
1.2.5
Aufgaben
Berechne die folgenden Summen:
P0
a)
i=0 2
P9
1
b)
i=10 i2 −14i+8
P
c)
i∈I i, I = {2, 5, 10, 20}
P
1
d)
i∈I i2 , I = {k|k = 2n, n ∈ N, n < 4}
6
1.3
Rechenregeln für das Summenzeichen
Seien a1 , ..., an , b1 , ..., bn , c, d reelle Zahlen und n eine natürliche Zahl. Für
das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln:
1. P
Assoziativität
Pk der Addition:
Pn
n
i=1 ai =
i=1 ai +
i=k+1 ai mit k ∈ {1, ..., n}
2. P
Distributivität: P
n
n
i=1 (c · ai ) = c · (
i=1 ai )
3. P
Kommutativität P
der Addition:
Pn
n
n
i=1 (ai + bi ) =
i=1 ai +
i=1 bi
4. P
Kombination aus Kommutativität
undP
Distributivität:
Pn
n
n
i=1 (c · ai + d · bi ) = c ·
i=1 ai + d ·
i=1 bi
Es handelt sich dabei nicht um etwas Neues, sondern um die bereits bekannten Regeln, welche für die Addition mit wenigen Summanden bestens
bekannt sind.
1.4
Übungsmaterial
Falls ihr noch mehr üben möchtet, findet ihr Material auf verschiedenen Internetseiten. Zwei Beispiele gebe ich hier an.
Ein Übungsblatt mit Lösungen gibt es unter:
https : //home.zhaw.ch/ maz/Auf gaben/F olgenR eihen/Summenzeichen.pdf
(Sinnvoll für euch sind die Aufgaben bis und mit Aufgabe 4.)
Online-Aufgaben gibt es unter:
http : //vilespc01.wiwi.uni − oldenburg.de/navtest/viles1
(Deskriptive Statistik, Einführung und Grundlagen, Rechnen mit dem Summenzeichen)
7
Kapitel 2
Weiterführung Summenzeichen
2.1
Indexverschiebung
Gelegentlich ist es nützlich, die Summationsgrenzen zu verschieben. Wie dies
funktioniert ist an folgendem Beispiel gut ersichtlich:
P2
i=1
ai = a1 + a2 = a3−2 + a4−2 =
2.1.1
Pn
i=1
P4
i=3
ai−2 .
Indexverschiebung allgemein
ai =
Pn−1
i=0
ai+1 =
Pn+1
i=2
ai−1 = ...
oder noch allgemeiner: Für jede natürliche Zahl k gilt:
Pn
i=1
ai =
2.1.2
Pn−k
i=1−k
ai+k =
P1+k
i=1+k
ai−k
Regeln zur Indexverschiebung
Bei einer Indexverschiebung sind folgende Regeln zu beachten:
1. Die obere und die untere Summationsgrenze werden um den selben
Wert erniedrigt bzw. erhöht.
2. Der Summationsindex i wird in der Summation bei jedem Auftreten
durch i + k bzw. i − k ersetzt. Dabei ist insbesondere auf Minuszeichen
vor dem Index i zu achten (1 − i wird zu 1 − (i + k) = 1 − i − k bzw.
zu 1 − (i − k) = 1 − i + k).
8
2.1.3
Aufgaben
Berechne die folgenden Summen möglichst einfach mithilfe einer Indexverschiebung:
P4
a)
i=1 (i − 1)
P10
P8
b)
i=3 (2i − 3) − 2
i=1 i − 8
Pn
c)
i=1 (ai − ai−1 )
(Diese Art von Summen werden als Teleskopsummen bezeichnet.)
9
2.2
Doppelsummen
In der Praxis kommt es oft vor, dass man zwei Summenzeichen hintereinander
hat. Wir sprechen dann von Doppelsummen. Um Doppelsummen machen zu
können, brauchen wir doppelindizierte Zahlen. Es handelt sich dabei um
Zahlen, welche in einer sogenannten Matrix angeordnet sind.
2.2.1
Matrizen
Matrizen sind rechteckige Gebilde, in denen Zahlen angeordnet sind.
Definition: Matrix
Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen aik in m Zeilen und n Spalten
wird (m × n)−Matrix (Mehrzahl Matrizen) genannt. Man schreibt:


a11 a12 · · · · · · a1n
 a21 a22 · · · · · · a2n 
 .
..
.. 
...


.
. .
A =  ..
 .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
am1 am2 · · · · · · amn
Die Zahlen aik heissen Komponenten von A. Das Element aik bezeichnet
das Element in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von A. Oft wird dieses
Element auch mit (A)ik bezeichnet.
Beispiel


1 5 2
Sei die Matrix A =  −1 0 1  gegeben. Dann gilt:
3 2 4
a11 = 1, a12 = 5, a13 = 2, a21 = −1, a22 = 0, usw.
10
2.2.2
Doppelsummen
Wenn wir nun alle Zahlen der oberen Matrix summieren wollen, brauchen
wir eine Doppelsumme:
P3
i=1
P3
j=1
aij =
P3
i=1
(ai1 + ai2 + ai3 )
= (a11 + a12 + a13 ) + (a21 + a22 + a23 ) + (a31 + a32 + a33 )
= (1 + 5 + 2) + (−1 + 0 + 1) + (3 + 2 + 4) = 17
Rechenregeln für Doppelsummen
Auch bei Doppelsummen gilt die Kommutativität:
Seien n, m natürliche Zahlen und aij für i, j ∈ N, i ≤ n, j ≤ m reelle Zahlen,
dann gilt für die Doppelsumme:
Pm Pn
i=1
j=1
aij =
Pn
j=1
Pm
i=1
aij .
Es spielt also keine Rolle, ob die Zahlen aij zunächst zeilenweise summiert
werden und dann die Summe über die Zeilensummen gebildet wird, ober ob
zunächst spaltenweise summiert wird und dann die Summe über die Spaltensummen gebildet wird.
11
2.2.3
Aufgaben
Berechne die folgenden Doppelsummen:
P1 P3
a)
i=0
j=2 aij
b)
P2
P5
(2ij)
c)
P2
P3
(2j · i)
i=1
i=0
j=1
j=2
12
Kapitel 3
Vollständige Induktion und
spezielle Summen
Einige spezielle Summen lassen sich durch einfachere Formeln ersetzen. Da
in der Mathematik nichts verwendet werden sollte, das man nicht bewiesen
hat, werden wir hier zuerst eine wichtige Beweistechnik kennenlernen, sodass
wir danach die Formeln, welche zu den speziellen Summen gehören, auch
beweisen können.
3.1
Beweise
Es gibt vier wichtige Beweistechniken.
1. Beweis durch Beispiel
Diese Art von Beweisen ist sehr einfach, klappt nur bei ganz bestimmten Aussagen. Z.B.: Aussage: Es gibt Zahlen, die nicht durch zwei teilbar sind. Beweis: 3 ist eine Zahl und nicht durch zwei teilbar.
2. Direkter Beweis
Beim direkten Beweis wird von bereits bekannten Dingen aus schrittweise auf die Aussage geschlossen.
3. Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Aussage an und
beweist, dass dieses nicht sein kann.
4. Vollständige Induktion
Diese Beweistechnik werden wir im Folgenden kennenlernen.
13
3.2
Vollständige Induktion
Diese Beweistechnik wird immer dann angewendet, wenn man etwas für alle
natürlichen Zahlen beweisen will.
3.2.1
Allgemeines Vorgehen bei vollständiger
Induktion
Nennen wir die für eine natürliche Zahl n gemachte Aussage An . Falls es
gelingt zu zeigen, dass A1 wahr ist und dass für alle natürlichen Zahlen n die
Richtigkeit An+1 aus der angenommenen Richtigkeit von An gefolgert werden
kann, dann ist der folgende Satz bewiesen: An ist wahr für alle natürlichen
Zahlen n.
3.2.2
Beispiel
Behauptung
Für alle natürlichen Zahlen n gilt die folgende Formel:
Pn
i=1
i=
n(n+1)
.
2
Solche Summen heissen arithmetische Summen.
Beweis
n=1
P1
i=1
i=1=
1(1+1)
2
√
ny n+1
Wir können nun annehmen, dass die Behauptung für n gilt. Unter dieser Voraussetzung müssen wir nun beweisen, dass die Behauptung auch für n=n+1
richtig ist.
Es ist also noch zu zeigen:
Pn+1
i=1
i=
(n+1)((n+1)+1)
.
2
14
Dazu gehen wir folgendermassen vor:
Pn+1
i=1
=
i=
Pn
n2 +n+2n+2
2
i=1
=
i+(n+1) =
n2 +3n+2
2
=
n(n+1)
+(n+1)
2
(n+1)(n+2)
2
=
=
n(n+1)
+ 2(n+1)
2
2
=
n(n+1)+2(n+1)
2
(n+1)((n+1)+1)
2
(Das zweite Gleichheitszeichen ist korrekt, da wir ja annehmen dürfen, dass
die Behauptung für n gilt.)
3.3
Spezielle Summen
Im folgenden Unterkapitel werden Formeln für bestimmte Summen angegeben. Diese sollen auch gleich direkt oder mithilfe von vollständiger Induktion
bewiesen werden.
3.3.1
Aufgaben
Beweise folgende Formeln direkt oder mit vollständiger Induktion:
a) P
Sei c ∈ R. Dann gilt ∀n ∈ N:
n
i=1 c = n · c.
b) Sei
Pn c ∈ R. Dann gilt ∀n, j ∈ N:
i=j c = (n − j + 1) · c.
c) Es gilt ∀n ∈ N:
Pn 2 n(n+1)(2n+1)
.
i=1 i =
6
d) P
Sei c ∈ R. Dann gilt ∀n ∈ N:
n
1−cn+1
i
i=0 c = 1−c .
(Solche Summen heissen geometrische Summen. Diese beweisen wir
nicht mit vollständiger Induktion, sondern direkt P
mit einem Trick. Wir
beginnen damit, dass wir uns die Summe (1 − c) ni=0 ci anschauen.)
e) P
Es gilt ∀n ∈ N:
n
1
3
2
k=1 k = ( 2 n(n + 1))
f) Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n − 1 ist gleich dem
Quadrat von n ∀n ∈ N. Sei also n ∈ N. Dann gilt:
P
n
2
i=1 (2n − 1) = n
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3.4
Übungsmaterial
Falls ihr noch mehr üben möchtet, findet ihr Material auf verschiedenen Internetseiten. Drei Beispiele gebe ich hier an.
Erklärungen der Theorie mit Beispielen findet ihr unter:
http : //delphi.zsg − rottenburg.de/vollstind.html
und unter:
http : //www.mathematik.de/ger/f ragenantworten/erstehilf e/induktion
/induktion.html.
Viele Aufgaben mit Lösungen findet ihr unter:
http : //www.emath.de/Ref erate/induktion − auf gaben − loesungen.pdf
(Speziell die Aufgaben aus B entsprechen unserem Thema. Allenfalls kann
es aber interessant sein, die Vollständige Induktion auch an Aufgaben anzuschauen, die nichts mit Summen zu tun haben.)
Literaturverzeichnis
E. Cramer, J. Nes̆lehová, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgard, 1990
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