Höhere Mathematik 1 Präsenzübungen

M. Boßle, P. Engel
B. Krinn, Dr. I. Rybak
1. Gruppenübung zur Vorlesung
Höhere Mathematik 1
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. A.-M. Sändig
Wintersemester 2009/10
Präsenzübungen
Aufgabe P 1. Elementares Rechnen
Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
(a) x1 = 2097, 8 : 17
1 15
(b) x2 = · 5
6 2
√
(c) x3 = 482 + 142
10
(d) x4 =
7
Aufgabe P 2. Vollständige Induktion
Beweisen Sie folgenden Summenformeln mit Hilfe der vollständigen Induktion:
(a)
n
X
n
1
=
k (k + 1)
n+1
k=1
n
X
n2 (n + 1)2
(b)
k =
4
k=1
3
Aufgabe P 3. Summen
Welche der folgenden Ausdrücke sind gleich?
(a)
n
X
n+4
X
(b)
a2k−7
a2k+1
k=0
(c)
k=4
2n+1
X
k=1
(e)
2n
X
l=0
ak −
(−1)l
n
X
a2k
k=1
2 +l
2n+1
X
a2n−(l−1)
ak
+
(−1)k+1
2
2
k=1
(d)
2n+1
X
l=1
π
1 − (−1)l
sin
+ 2lπ al
2
2
Aufgabe P 4.
Drei Logiker sitzen auf Stühlen hintereinander. Der hinterste sieht die beiden vorderen, der
mittlere sieht nur den vordersten, der vorderste sieht niemanden. Alle drei wissen, dass sie
jeweils einen Hut aus der Garderobe eines Theaters aufgesetzt bekommen haben, und sie
wissen, dass diese Garderobe fünf Hüte zur Verfügung hat: zwei rote und drei schwarze. Nun
wird der hinterste Logiker gefragt, ob er seine Hutfarbe kenne. Er sagt “Nein”. Dann wird
der mittlere das gleiche gefragt. Auch er sagt “Nein”. Schließlich wird der vorderste gefragt.
Was antwortet er?
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0910/
1. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1.
Beweisen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:
n
P
(a) Für jede natürliche Zahl n ist
2k + 1 eine Quadratzahl.
k=0
Hinweis: Finden Sie zunächst durch Einsetzen einiger Zahlen für n eine Formel der
n
P
Form
2k + 1 =? und beweisen Sie dann diese.
k=0
(b) Für jede natürliche Zahl m gilt
m
P
qk =
k=0
1 − q m+1
für jede Zahl q ∈ R r {1}
1−q
Aufgabe H 2. Zweimal Induktion
Sei M (d, k) die Menge der k -Tupel mit maximaler Komponentensumme d gegeben durch
k
(
)
X
M (d, k) = (d1 , . . . , dk ) ∈ Nk0 dl ≦ d .
l=1
Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente von M (d, k) – geschrieben als |M (d, k)| – be
rechnet werden kann durch
d+k
|M (d, k)| =
.
d
Machen Sie dazu die folgenden Hilfsüberlegungen:
(a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion über m die Hilfsformel
m X
n+j
n+m+1
=
.
n
n+1
j=0
d+1
.
(b) Zeigen Sie, dass gilt: |M (d, 1)| =
d
d
X
(c) Zeigen Sie, dass gilt: |M (d, k + 1)| =
|M (d − l, k)|.
l=0
(d) Zeigen Sie die gewünschte Aussage, durch eine Induktion über k und benutzen Sie
dabei (a), (b) und (c).
Aufgabe H 3.
(a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen
M1 : = (x, y) ∈ R2 |x| + |y| = 1 ,
M2 : = (x, y) ∈ R2 |x| + |y| < 1 .
(b) Skizzieren Sie nun die Mengen
M3 : = (x, y) ∈ R2 (x − 2)2 + (y − 1)2 ≦ 1 ∨ (x − 2)2 + (y + 1)2 ≦ 1 ,
M4 : = (x, y) ∈ R2 |y| > 1 .
und die Schnittmenge von M3 und M4 .
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