Klausur

Grundlagen der Mathematik
Wintersemester 16/17
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Klausur
1. Februar 2017
1. (10 Punkte) Geben Sie für die Formel 6. (6 Punkte) Zeigen Sie mittels vollständiF = (A ↔ B) ∧ C die Wahrheitstabelle an ger Induktion für n ≥ 0,
und die konjunktive Normalform. Minimieren
n n2 n3
Sie die konjunktive Normalform.
+
+
ist eine natürliche Zahl.
6
2
3
2. (5 Punkte) Zeigen Sie für Mengen A, B
über der Grundmenge M mit den Rechenre- 7. (13 Punkte) Die Fibonacci-Zahlen Fn
geln für Mengen:
sind definiert durch F0 = 0, F1 = 1
(A ∩ B)
4 (A
∪ B) = M
und Fn+1 = Fn + Fn−1 . Zeigen Sie durch
vollständige Induktion für n ≥ 0,
a) 1 +
3. (6 Punkte) Für a ∈ N definieren wir eine Relation Ra über den reellen Zahlen: für
x, y ∈ R gilt
xRa y, falls xa − y a = ax − ay.
n
P
Fk = Fn+2
k=0
b) Fn+2 ≥
8 n
5
8. (10 Punkte) Betrachten Sie folgendes
Programm S auf Eingabe n ≥ 1.
Zeigen Sie, dass Ra eine Äquivalenzrelation
auf R ist, für jedes a ∈ N.
S(n)
4. (6 Punkte) Gegeben ist der Graph G. Ge- 1
ben Sie G2 und G3 an. Ist G2 bzw. G3 planar? 2
3
1
2
3
4
6
5
4
5. (7 Punkte) Gegeben ist der Graph G:
s←0
for k ← 1 to n do
s ← s + k · k!
return s
a) Zeigen Sie folgende Invariante für S(n)
in Zeile 2:
s = k! − 1
b) Welche Werte haben die Variablen k
und s in Abhängigkeit von n wenn Zeile 4 erreicht wird?
2
5
7
4
1
6
3
9. (8 Punkte) Wieviele 5-elementige Teilmengen von {0, . . . , 9} gibt es? Wieviele davon enthalten
a) Ist G ein Baum oder ein Wald?
a) 0?
c) entweder 0 oder 1?
b) Ist G bipartit?
b) 0 und 1?
d) 0 oder 1?
c) Welche chromatische Zahl hat G?
d) Zeigen Sie, dass G nicht planar ist.
10. (4 Punkte) Geben Sie den Koeffizienten
von x4 in (x2 − 1)5 + (x + 2)6 an.