Vorkurs MATH - Mathematik, TU Dortmund

11 Übungen zu ”Beweistechniken”
Aufgabe 1:
Weisen Sie mit einem direkten Beweis nach:
(i) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(ii) Das Qaudrat einer geraden Zahl ist gerade.
(iii) Die Teilbarkeitsregel für 9!
n2 1
= 1/2 über die Definition ohne Verwendung von Grenzwertsätzen!
n!1 2 n 2 + 1
(iv) lim
Aufgabe 2:
Beweisen Sie durch Kontraposition:
(i) Ist n 2 N und n3 gerade, ist auch n gerade.
(ii) Ist n 2 N und n3 + 5 ungerade, dann ist n gerade.
(iii) Ist x 2 R \ {0} und x irrational, dann ist auch 1/x irrational.
Aufgabe 3:
Beweisen Sie durch Erzeugung eines Widerspruchs:
(i) Ist n 2 N und n3 gerade, ist auch n gerade.
(ii) Für x 0 und 2  n 2 N0 gilt: (1 + x)n 1 + n · x. Hinweis: Binomischer Satz.
p
(iii) 3 ist irrational. Hinweis: Folgern Sie aus 3q 2 = p 2 , dass p, q ungerade sein müssen.
(iv) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Hinweis: Nutzen Sie die Voraussetzung der Konvergenz für ein konkretes ✏ aus. ✏ = 12 |a b| ist eine gute Wahl, wenn a 6= b
die beiden (voneinander verschiedenen) Grenzwerte sind.
12 Übungen zu ”Vollständige Induktion”
Aufgabe 1:
Beweisen Sie die arithmetische und die geometrische Summenformel aus Kapitel 2 ”Zahlen”:
i)
n
X
k=
k=0
n
X
n(n + 1)
2
q n+1 1
ii)
q =
für eine reelle Zahl q 6= 1
q 1
k=0
k
Aufgabe 2:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass folgende Gleichungen erfüllt sind. Achten Sie hierbei
auf den korrekten Induktionsanfang.
i)
n
P
k=1
n
Y
iii)
1) = n2 ,
(2k
k=2
k2
k2
1
=
ii)
2n
,
n+1
iv)
n
P
(k · k!) = (n + 1)!
k=1
n
P
k2 =
k=1
1,
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Aufgabe 3:
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen mittels vollständiger Induktion:
i) Es sei x >
1 eine feste reelle Zahl. Dann gilt: Für alle n 2 N0 ist (1 + x)n
ii) Für alle n 2 N
5
1 + nx.
gilt 2n > n2 .
Aufgabe 4:
Benutzen Sie das Prinzip der vollständigen Induktion, um zu zeigen, dass die folgenden Aussagen wahr
sind:
i) 3 teilt 22n+1 + 1 für alle n 2 N0 .
ii) Es ist f (x) =
x
1 x.
Dann ist f (n) (x) =
n!
(1 x)n+1
für alle n 2 N.
Hinweis: a teilt b“ bedeutet, dass ein k 2 Z existiert, so dass b = a · k ist.
”