Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff 2.1. Rechtecksummen und bestimmtes Integral (Aufgaben) 1. Gegeben ist die Funktion f mit dem unten dargestellten Graphen. 4 a) Illustriere in der Zeichnung die Zahl ∫ f (x ) dx . −2 b) Zeichne a und b so ein, dass b b ∫ f (x ) dx > 0 b1) b2) a ∫ f (x ) dx < 0 b b3) a 2. Gegeben ist die Funktion f ( x ) = − ∫ f (x ) dx = 0 ist. a 1 5 x+ . 2 4 a) Berechne mit Hilfe der Flächenformel für Dreiecke und Trapeze die Zahlen 1.5 I1 = ∫ f (x) dx 7 und I2 = −1 ∫ f (x ) dx . −1 b b) Berechne b, so dass ∫ f (x) dx = 0 ist. −1 b c) Stelle eine Formel auf für ∫ f (x ) dx , wobei b ≥ -1 sein soll. −1 x2 schliesst mit der x-Achse ein Flächenstück A ein. 2 Bestimme mit dem Taschenrechner als Näherung für den Inhalt von A die Rechtecksumme R(10), R(50) und R(100). Wähle dabei für xi einmal die linke Grenze des Teilintervalls und einmal für xi die Mitte des Teilintervalls. 3. Der Graph der Funktion f ( x ) = 2x − Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff Lösungen 1. a) b1) b2) b3) 2. a) Mit der Trapezformel: I1 = (1.5 − (−1)) ⋅ f (−1) + f (1.5) = 2.81 2 Mit der Dreiecksformel (Nullstelle von f ist 2.5, der 2. Summand ist negativ): 1 1 I2 = ⋅ (2.5 − (−1)) ⋅ f (−1) + ⋅ (7 − 2.5) ⋅ f (7) = -2 2 2 b) b = 6 (Symmetrie bzgl. Nullstelle) b c) Für b ≤ 2.5: ∫ f (x) dx = (b − (−1)) ⋅ −1 b f (−1) + f (b) b 2 5b 3 = − + + 2 4 4 2 1 1 b 2 5b 3 ⋅ (2.5 − (−1)) ⋅ f (−1) − ⋅ (b − 2.5) ⋅ f (b) = − + + 4 4 2 2 2 −1 Die Formel gilt also für beliebige b ≥ -1 . Für b > 2.5: ∫ f (x) dx = Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff 3. Lösung mit dem CAS-System des Taschenrechners. 2⋅x - Eingabe der Funktion: Nullstellen = Intervallgrenzen: 1 2 ⋅x → f ⎛⎝ x ⎞⎠ 2 solve⎛⎝ f ⎛⎝ x⎞⎠ = 0, x⎞⎠ "Done" x = 4 or x = 0 Gesucht ist also eine Näherung für das bestimmte Integral von f in den Grenzen 0 und 4. Die Teilintervallbreite für n beträgt 4/n. n Rechtecksumme: ⎛ f ⎛ x ⎛ i, n⎞ ⎞ ⋅4 ⎞ ∑ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ → r⎛⎝ n⎞⎠ n i = 1⎜ ⎝ ⎠ xi = linke Grenze: ⎛ i - 1⎞⎠ ⋅4 0+ ⎝ → x⎛⎝ i, n⎞⎠ n approx⎛⎝ ⎧⎨⎩ r⎛⎝ 10⎞⎠ , r⎛⎝ 50⎞⎠ , r⎛⎝ 100⎞⎠ ⎫⎬⎭ ⎞⎠ xi = Mitte: "Done" ⎧⎨⎩ 5.28, 5.3312, 5.3328⎫⎬⎭ 4 ⎛ i - 1⎞⎠ ⋅4 + ⎝ → x ⎛⎝ i, n⎞⎠ n 2⋅n approx⎛⎝ ⎧⎨⎩ r⎛⎝ 10⎞⎠ , r⎛⎝ 50⎞⎠ , r⎛⎝ 100⎞⎠ ⎫⎬⎭ ⎞⎠ "Done" "Done" ⎧⎨⎩ 5.36, 5.3344, 5.3336⎫⎬⎭ Kontrolle mit dem Integral-Befehl des Taschenrechners: ⌠4 ⎮ ⎛⎝ f ⎛⎝ x⎞⎠ ⎞⎠ x ⎮ ⌡0 ⎮ 16 3