Aufgabenstellung mit Lösungsvorschlägen der Kursarbeit

Ma 12E (CON)
4. Kursarbeit
Aufgabe 1
25.04.2016
Name: ____________________________
Eine Firma stellt "günstige" Lichterketten her. Bei der Herstellung der Lämpchen für
die Ketten entstehen erfahrungsgemäß 10% Ausschuss. Die unkontrollierten
Lämpchen werden zu 20iger-Lichterketten zusammengebaut und in Kartons mit
jeweils 50 Lichterketten abgepackt.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Lichterkette
a) genau ein Lämpchen defekt ist.
b) mehr als ein Lämpchen defekt ist.
c) drei oder vier Lämpchen defekt sind.
2. Wie viele defekte Lämpchen erwartet man pro Lichterkette?
Zeichnen Sie ein Histogramm oder Stabdiagramm der Zufallsgröße X: "Anzahl defekter Birnchen bei Lichterkette".
Markieren Sie in ihrem Diagramm das so genannt -Intervall und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses
Intervall.
3. Wie viele defekte Lämpchen kann man in einem Karton erwarten? Wie groß ist die Standardabweichung der
Zufallsgröße Y: "Anzahl defekter Birnchen in einem Karton".
4. Wie müsste sich die Ausschusswahrscheinlichkeit verändern, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95%
in einer 20iger-Lichterkette keines der Lämpchen defekt ist.
Unter den 20 Lämpchen einer Lichterkette befinden sich 2 defekte.
5. Begründen Sie: Es gibt 190 unterschiedliche Arten, wie man die 18 intakten und 2 defekten Birnchen zu einer
Lichterkette zusammenbauen kann.
6. Wie viele Möglichkeiten sind es noch, wenn die beiden defekten Birnchen nicht direkt nebeneinander liegen
sollen?
Auf Grund der Vielzahl der Reklamationen erhält ein Elektrogeschäft eine Nachsendung von 20 Ersatzbirnchen.
Darunter befinden sich allerdings wiederum 5 defekte Birnchen. Vor dem Verkauf testet der Chef die Birnchen auf
Funktionalität.
7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das vierte getestete Birnchen das dritte intakte ist?
Aufgabe 2
Ein Skat-Kartenspiel besteht aus 32 Karten, unterteilt in vier
Farben zu je acht Werten. Die Karten werden gemischt und mit
der Rückseite nach oben gelegt.
1. Nacheinander werden drei Karten zufällig gezogen. Betrachtet
werden die Ereignisse "A" und "B":
A:
„Die drei gezogenen Karten sind von gleicher Farbe.“
B:
„Die drei gezogenen Karten weisen den gleichen Wert
(z.B. drei Könige) auf.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.
(Rechenweg muss nachvollziehbar angegeben sein!!!
Ergebnisse zur Kontrolle: p(A) =
und : p(B) =
)
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4. Kursarbeit
25.04.2016
2. Die in Teilaufgabe 1. beschriebenen Ereignisse A und B bilden die Grundlage für ein Spiel mit folgendem
Auszahlungsplan:



Der Einsatz beträgt 0,50 €.
Tritt das Ereignis A ein, so erhält der Spieler 5,-€, für das Eintreten von B erhält er 11,-€.
Der Einsatz geht in jedem Fall verloren. Die Zufallsgröße X beschreibe den Gewinn bei diesem Spiel.
a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an und untersuchen Sie, ob ein Spieler bei
diesem Spiel auf lange Sicht Gewinn oder Verlust macht.
b) Ein faires Spiel ist dadurch gekennzeichnet, dass sich auf lange Sicht Gewinn und Verlust ausgleichen. Ermitteln
Sie bei sonst gleichem Auszahlungsplan einen Auszahlungsbetrag für das Eintreten des Ereignisses A, so dass
das Spiel fair ist.
c) Ein Spieler setzt seine Hoffnungen in das Eintreten des Ereignisses B bei der wiederholten Durchführung des
Spiels. Berechnen Sie diejenige Anzahl der Spiele, bei der das Ereignis B mindestens einmal mit mindestens
10%iger Wahrscheinlichkeit eintritt.
X
P(X)
Aufgabe 3
Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg besteht, eine Windkraftanlage zu
errichten. Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem Vorhaben stehen, beschließt
der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden
1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage,
darunter sind allerdings nur 27 Einwohner von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die
Windkraftanlage aus.
1. Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage unter den Befragten von
Niederberg und unter den Befragten von Oberberg.
Aus allen Befragten wird zufällig eine Person ausgewählt.
2. Ermitteln Sie
a) die Wahrscheinlichkeit p1 dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt und sich gegen die
Windkraftanlage aussprach.
b) die Wahrscheinlichkeit p2 dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt, wenn bekannt ist, dass sie
sich gegen die Windkraftanlage aussprach.
3. Begründen Sie, dass kein Ergebnis der Umfrage denkbar ist, bei dem p 1 > p2 ist.
100%
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4. Kursarbeit
25.04.2016
Lösungsvorschläge
Aufgabe 1
Lichterkette besteht aus 20 Lämpchen (n=20), welche mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,1 defekt sind.
 Bernoulli-Kette mit n = 20 und p = 0,1
1. a)
P(X = 1) =
In einer Lichterkette ist genau ein Lämpchen mit etwa 27% defekt.
1. b)
P(X>1) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] = 1 – (0,1216 + 0,2701) = 1 – 39,17%  60,83%
20
NR: P(X=0) = 0,9  0,1216
In einer Lichterkette sind mehr als ein Lämpchen mit etwa 60,83% defekt.
1. c)
P(3  X  4) = P(X=3) + P(X=4)  19,01% + 8,98% = 27,99%
In einer Lichterkette sind drei oder vier Lämpchen mit etwa 28% defekt.
2.
E(X) = n  p = 20  0,1 = 2 (Man erwartet bei sehr vielen Lichterketten im Mittel zwei defekte Lämpchen.)
X
P(X)
0
1
2
3
12,16% 27,02% 28,52% 19,01%
4
5
6
7
8
9
10
…
19
20
8,98%
3,19%
0,89%
0,20%
0,04%
0,01%
0,00%
…
0,00%
0,00%
Tipp: Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: "Anzahl der defekten Lämpchen" mit Hilfe der
Tabellenfunktion des Taschenrechners erstellen lassen und die Ergebnisse zur Beantwortung auch des ersten Aufgabenteils
verwenden.
VAR(X) = n  p  q = 20  0,1  0,9 = 1,8
   1,34 Lämpchen
 - Intervall: [E(X) -  ; E(X) + ] = [ 2 – 1,34 ; 2 + 1,34] = [0,66 ; 3,34] gerundet  [ 1 ; 3 ]
P([ 1 ; 3 ]) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 27,02% + 28,52% + 19,01% = 74,55%
3.
Karton enthält 50 Lichterketten zu 20 Lämpchen, also insgesamt 1000 Lämpchen.
E(X) = 1000  0,1 = 100 Lämpchen
VAR(X) = 1000  0,1  0,9 = 90
  9,49 Lämpchen
4.
p unbekannt. n = 20, P(X=0)  95%

( p("defekt") kleiner als 0,26%)
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Ma 12E (CON)
5.
4. Kursarbeit
Eine Lichterkette besteht aus 20 Birnchen, 2 davon defekt. Die defekten Birnchen können sich an 2 von
insgesamt 20 Plätzen befinden:
6.
25.04.2016
Möglichkeiten.
Nicht direkt nebeneinander:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Von den 190 Möglichkeiten sind die 19 dargestellten Fälle abzuziehen: 171 Möglichkeiten bleiben noch.
7.
5 von 20 Birnchen sind defekt:  p = 0,25 (defekt)
Es werden vier Birnchen überprüft, davon sind eins defekt und drei intakt, insbesondere das Vierte ist intakt:
Drei Möglichkeiten:
(d, i, i, i)
(i, d, i, i)
(i, i, d, i)
(i: intakt, d: defekt)
p = 3  0,25  0,75  31,64%
3
Aufgabe 2
1.
Erklärung z.B. mit Baumdiagramm oder aufschreiben der entsprechenden Rechnungen…
p(A) = p("3 x gleiche Farbe") =
p(B) = p("3 x gleicher Wert") = 8
2. a)
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (Gewinn)
Zur Beachtung: Gewinn = Auszahlungsbetrag - Einsatz
X
-0,50 €
4,50 €
10,50 €
P(X)
Auf lange Sicht macht man durchschnittlich pro Spiel ca. 20 ct Verlust.
2. b)
 a = 9  neuer Gewinn 9,- €  neuer Auszahlungsbetrag: 9,50 €
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2. c)
4. Kursarbeit
pB =
q=
25.04.2016
n unbekannt
Der Spieler muss das Spiel mindestens 17 mal durchführen, damit das Ereignis B mindestens einmal mit
mindestens 10%iger Wahrscheinlichkeit eintrifft.
Aufgabe 3
dafür
"+"
dagegen
"-"
Oberberg
Niederberg
27
1062
231
258
1.
"+"
"-"
Hinweis: Baumdiagramm(e) können auch weiterhelfen!!!
2. a)
Oberberg und dagegen: 231 von 1980: 11,67%
P( O  "-" )
2. b)
Leute dagegen: 891.  231 von 891: 25,9%
P"-" ( O ) = P( O  "-" )
Hinweis: Auch Berechnung mit Formeln der bedingten W. möglich.
p2 =
55%
11,67%
33,33%
45%
13,03%
86,97%
100%
In Oberberg sind 231 von 258 Leuten dagegen: 89,5%
p1 = p(O  "-")
53,64%
1980
In Niederberg sind 660 von 1722 Leuten dagegen: 38,3%
3.
1,36%
dagegen
891
1722
Niederberg
dafür
1089
660
Oberberg

5/5