3. ¨Ubungswoche

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3. Übungswoche - Lösungen
Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten
[1]
Ω
A∩ B
A
b) i) P (A) = 0.4
iv) P (A \ B) = 0.3
v) P (A ∩ B) = 0.4
B
ii) P (A ∩ B) = 0.1 ⇒ P (A) = 0.1 + 0.2 = 0.3
⇒ P (A) = 0.2 + 0.3 = 0.5
⇒ P (A) = 0.4 + 0.2 = 0.6
iii) P (A) = 0.6
[2]
a) P(dreimal 6) = (1/6)3 ≈ 0.00463
b) P(keinmal 6) = (5/6)3 ≈ 0.57870
c) P(gerade Augenzahlen) = 0.53 = 0.125
d) P(einmal 6) = 3 · 1/6 · (5/6)2 ≈ 0.34722
e) 3 · (1/6)3 ≈ 0.01389
f) Hierfür gibt es nur die Möglichkeiten 1 + 1 + 3 = 5 oder 1 + 2 + 2 = 5 und das jeweils 3 mal,
also gibt es insgesamt 6 mögliche Kombinationen: 6 · (1/6)3 ≈ 0.027778
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[3]
a) P (B|A) = 1/4
b) P (A|B) = 1
[ 4 ] Es handelt sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A(Pfeil landet in der Gewinnzone) unter der Bedingung, dass das
Ereignis B bereits eingetreten ist.
a) Der Anteil der Gewinnzone beträgt unter der Bedingung, dass der Pfeil nicht in der linken
oberen Kreishälfte stehen geblieben ist 30◦ /270◦ , also P (A|B) = 1/9. Genauer nach der Formel:
P (A ∩ B)
P (A|B) =
geht es so: Sei α der Winkel zwischen der positiven y-Achse und dem Pfeil, so
P (B)
◦
ist A = {α ≤ 30 }, während B = {α ≤ 270◦ }. Dann ist A ∩ B = {α ≤ 30◦ , α ≤ 270◦ } = {α ≤ 30◦ }
30/360
P (A ∩ B)
=
= 30/270 = 1/9.
und
P (B)
270/360
b) P (A|B) = 30/180 = 1/6
c) P (A|B) = 30/90 = 1/3
d) P (A|B) = 30/60 = 1/2
e) P (A|B) = 30/45 = 2/3
f) P (A|B) = 1
[ 5 ] Wahrscheinlichkeiten
Es seien A und B Ereignisse, d.h. Teilmengen des Ergebnisraums Ω.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Für jedes Ereignis A gilt P (A ∪ Ā) = P (A) + P (Ā) = P (Ω) = 1.
(×)
b) Die Wahrscheinlichkeit P (A) ist der Grenzwert der relativen Häufigkeiten hn (A) für ( × )
das Eintreten des Ereignisse A in n Versuchen, wenn n → ∞.
c)
Es gilt immer P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
d) P (A ∩ B) ≤ P (A)
(
)
(×)
e)
P (A ∪ B) + P (A ∩ B) = P (A) + P (B)
(×)
f)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) ⇐⇒ P (A ∩ B) = 0
(×)
g)
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
(
h) P (Ω) + P (∅) = 1
)
(×)
i)
P (Ā) = P (Ω) − P (A) = 1 − P (A)
(×)
j)
P (Ā) ≤ P (A)
(
k)
P (A) ≥ 0
(×)
l)
Für A ⊂ B gilt P (A) < P (B).
(
)
(
)
m) P (Ā) < 1
)
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[ 6 ] Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
P (A ∩ B)
P (A)
≤
P (B)
P (B)
b) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
(×)
c) P (A ∩ B) = P (A) · P (B), falls P (A|B) = P (A)
(×)
(×)
a) P (A|B) =
d) P (A|B) + P (Ā|B) =
P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B)
P (B)
=
=1
P (B)
P (B)
e) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (A)
(×)
(
)
f) Obwohl P (A ∩ B) > 0, ist es möglich, dass eine der beiden bedingten Wahrscheinlich- (
keiten P (A|B) oder P (B|A) nicht definiert ist, da P (A) oder P (B) Null sein könnte.
)
g) P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) ≥ P (A ∩ B)
(×)
[ 7 ] Häufigkeiten
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Absolute Häufigkeiten sind stets kleiner als 1.
(
)
b) Die relative Häufigkeit für das sichere Ereignis Ω ist meistens 1.
(
)
c) Für die relative Häufigkeit von zwei disjunkten Mengen A und B
hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B).
gilt immer: ( × )
d) Relative Häufigkeiten pendeln sich mit wachsendem Stichprobenumfang auf einen fe- ( × )
sten endgültigen Wert ein.
e) Beim Wurf einer fairen Münze ist der in d) genannte endgültige Wert für das Eintreten (
von Zahl meistens kleiner als 0.5.
)
f) Absolute Häufigkeiten erfüllen die Axiome einer Wahrscheinlichkeit.
(
)
g) 0 ≤ hn (A) < 1.
(
)
[ 8 ] Punkte: 4 WS08K1
Von zwei unabhängigen Ereignissen sind die folgenden Ergebnisse bekannt:
P (A ∩ B) = 2/5
und
P (B \ A) = 1/5
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten und geben Sie dabei vollständig gekürzte
Brüche an.
Hinweis: Aus den gegebenen Informationen lässt sich zunächst P (B) berechnen!
P (A) =
2/3
P (A ∪ B) =
13/15
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[ 9] (SS09K1) Die folgenden Aussagen befassen sich mit dem Thema Unabhängigkeit und
bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Es seien A und B zwei Ereignisse, d.h. Teilmengen des Ergebnisraumes Ω mit P (A ∩ B) > 0.
a) Obwohl P (A∩B) > 0, ist es möglich, dass eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten
P (A|B)oder P (B|A) nicht definiert ist, da P (A) oder P (B) Null sein könnte.
b) Im Fall der Unabhängigkeit ist P (A) = P (A|B) = P (B|A) = P (B).
c) P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) ≥ P (A ∩ B)
d) Falls A und B unabhängig sind und wenn ferner P (B) = 1 ist, gilt: P (A) = P (A ∩ B).
e) Unter den gleichen Vorausetzungen wie in d) gilt auch: P (A) = P (A ∩ B) = P (B).
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,c
(
b,c
)
(
b,d
)
(
c,d
)
(
d,e
)
(
)
Wahr sind: c,d
Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzeichen
[ 1 ] a) Der Schwerpunkt der Dichtefunktion liegt ungefähr bei 7.
b) i) P (X > 7) = 0.43 ii) P (X < 7) = 0.57
c) i) P (X ≤ a) = 0.11; 0.34; 0.75; 0.81; 0.96
ii) P (X ≥ b) = 0.96; 0.78; 0.33; 0.19; 0.10
iii) P (X ∈ (a, b]) = 0.47; 0.62; 0.31
d) k1 = 2.2; 2.8; 3.4; 3.8
e) k2 = 14.1; 12.0; 10.7; 9.8
f) α = 0.05 : k1 = 1.7; k2 = 16.0.
α = 0.10 : k1 = 2.2; k2 = 14.1.
α = 0.20 : k1 = 2.8; k2 = 12.0.
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[ 2 ] Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsex- (
periments die Wahrscheinlichkeit zuweist.
)
b) Die Fläche unterhalb der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen kann nicht (
größer sein als 1.
)
c)
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen wird durch ihre Dichtefunktion oder ihre ( × )
Verteilungsfunktion beschrieben.
d) Die Funktionswerte f (x) bzw. F (t) der Dichte- bzw. Verteilungsfunktion einer stetigen (
Zufallsvariablen müssen immer im Intervall [0, 1] liegen.
)
e)
Die Verteilungsfunktion an der Stelle t kann als Fläche unterhalb der Dichtefunktion ( × )
von −∞ bis t interpretiert werden.
f)
Für stetige Zufallsvariablen erhält man Wahrscheinlichkeiten, indem man Flächen un- (
terhalb der Verteilungsfunktion berechnet.
g)
Die Gesamtfläche unterhalb einer Dichtefunktion ist immer 1.
)
(×)
h) Bezeichnet X eine stetige Zufallsvariable, so wird das Verhalten von X durch eine (
Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben.
)
i)
Die Dichtefunktion f (x) einer stetigen Zufallsvariablen, gibt für jeden Wert x die Wahr- (
scheinlichkeit an, mit der dieser Wert angenommen wird.
)
j)
Für eine stetige Zufallsvariable X gilt P ({X = x}) = 0 für alle x.
k)
Die Definition der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist für stetige und diskrete ( × )
Zufallsvariablen identisch, nämlich F (t) = P ({X ≤ t}).
l)
Der R-Befehl für die in R implementierten Verteilungsfunktionen beginnt mit dem ( × )
Buchstaben p.
(×)
m) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable Werte in einem Intervall I annimmt, ( × )
wird durch die Fläche unterhalb der Dichtefunktion über dem Intervall I berechnet.
n) Was die Summenkurve für das Histogramm ist, ist die Verteilungsfunktion für die ( × )
Dichtefunktion.