Funktionen: Grundbegriffe

Funktionen
Grundbegriffe
Gottfried Wilhelm Leibniz (*1646 in Leipzig, †1716 in Hannover) war ein deutscher Philosoph und
Wissenschaftler, Mathematiker, Diplomat, Physiker, Historiker, Bibliothekar und Doktor des weltlichen
und des Kirchenrechts. Er gilt als der universale Geist seiner Zeit und war einer der bedeutendsten
Philosophen des Barocks. Er prägte den Begriff „Funktion“ und studierte sie im Detail.
1. Darstellungen einer Funktion
Pfeildiagramm
64
2
3
7
0
9
5
49
10
Wertetabelle
Funktionsgraf
Funktionsvorschrift
Beschreibung in Worten
Die Fläche y eines Quadrats ist
die Seitenlänge x hoch zwei.
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 2
www.mathema.ch (November 11)
Aufgabe 1: Was gehört zusammen?
A
B
C
D
E
F
G
H
i)
iii)
v)
vii)
x
–1
0
1
2
3
4
y
0
2
4
6
8
10
x
–1
0
1
2
3
4
y
2
0
–2
–4
–6
–8
x
–2
–1
0
1
2
3
y
5
3
1
–1
–3
–5
x
–1
0
1
2
3
4
y
–2
0
2
4
6
8
a) y = −2x
b) y = −2x + 1
e) y = 2x
f) y = x
Funktionen: Grundbegriffe
1
2
ii)
iv)
vi)
viii)
x
1
2
3
4
5
6
y
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
x
–2
–1
0
1
2
3
y
0
1
2
3
4
5
x
–2
–1
0
1
2
3
y
4
1
0
1
4
9
x
–2
0
2
4
6
8
y
–1
0
1
2
3
4
1
x
c) y = x + 2
d) y =
g) y = 2x + 2
h) y = x 2
Seite 3
www.mathema.ch (November 11)
2. Definition der Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung!
Definition: Eine Funktion f ordnet ……………… Element x einer ………………………………… D
……………… ein Element y einer ………………………………………… W zu.
Merke: Die Elemente der Definitionsmenge heissen ……………………. oder …………………….,
Die Elemente der Wertemenge heissen ……………………………… oder kurz …………… .
Notation: Für die Funktionsvorschrift werden unterschiedliche Notationen verwendet. Sie erinnern
an die verschiedenen Darstellungen:
f ( x ) = x2
f: x 6 x 2
y = x2
Pfeildiagramm
Funktionsgraph
Tabelle
Aufgabe 2: Welche dieser Zuordnungen sind Funktionen?
a)
16
5
8
36
f)
4
16
5
8
18
36
16
10
18
36
10
36
10
4
2
16
5
5
5
15
18
g)
4
15
16
8
36
10
8
4
2
5
5
15
2
5
5
15
8
18
10
2
16
5
5
c)
4
2
15
18
e)
b)
4
2
8
18
5
36
15
10
Aufgabe 3: Sind diese Zuordnungen eindeutig, d.h. wird jedem Argument nur genau ein Wert
zugeordnet?
a) Schülerinnen der Tertia d 6 Geburtsdatum
b) Person 6 Körpergrösse
c) Schweizerin oder Schweizer 6 Passnummer
d) Fahrpreis 6 Fahrstrecke bei der SBB
e) Zahl 6 Quadrat dieser Zahl
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 4
www.mathema.ch (November 11)
Aufgabe 4: Welche dieser Grafen sind Funktionen?
Aufgabe 5: Welche dieser Tabellen stellen Funktionen dar?
x
y
x
y
0
0
0
0
10
100
9
3
2
4
1
–1
–2
4
–9
3
5
25
16
–4
1
1
1
1
0.5
0.25
4
2
0.25
0.0625
100
10
–1
1
49
–7
Findest du eine Funktionsvorschrift?
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 5
www.mathema.ch (November 11)
Funktionsgleichung, Tabelle und Funktionsgraf
Aufgabe 6: Erstelle für die Funktion f ( x ) = x − 2 eine Wertetabelle und zeichne den
Funktionsgrafen.
x
f(x)
Aufgabe 7: Welche Argumente darfst du bei dieser Funktion f ( x ) = x − 2 für x einsetzen? Du
kannst es aus dem Funktionsgrafen ablesen.
Aufgabe 8: Welche Zahlen kommen bei dieser Funktion f ( x ) = x − 2 als Werte heraus? Auch
dies siehst du im Funktionsgrafen.
Argument und Funktionswert
Aufgabe 9: In der nebenstehenden Figur
ist eine Funktion gezeichnet.
a) Lies den Funktionswert an der
Stelle x = 2 ab. Zeichne in der
Figur ein, wie du diesen
Funktionswert abgelesen hast.
b) An welcher Stelle, d.h. für welche
Argumente, hat die Funktion den
Wert 4. Zeichne auch hier ein,
wie du vorgegangen bist.
Diese Funktion hat die Funktionsgleichung f(x) = (x – 2)2 + 3.
c) Berechne nun den Funktionswert an der Stelle x = 2. Berechne also f(2).
d) Berechne, an welcher Stelle x die Funktion den Wert 4 hat. Löse also die Gleichung
f(x) = 4 nach x auf.
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 6
www.mathema.ch (November 11)
Aufgabe 10: h(z) = z3 – z + 2.
Berechne h(3), h(–1), h(0).
Aufgabe 11: s(t) =
t +2
t −1
Berechne s(0), s(–2), s(1), s(10).
Für welche Argumente t ist der Funktionswert s(t) = 2, –5, 0?
Aufgabe 12: f(x) = 2x – 1.
Berechne f(1), f(3), f(10).
An welcher Stelle wird der Funktionswert 15?
Aufgabe 13: Gegeben ist die Funktion f(x) = 4x – 3.
a) Berechne die zu den Argumenten x = 0, 1, –2 gehörenden Funktionswerte.
b) Berechne die Funktionswerte f(3), f(–4), f(10.5), f(3/5), f(h), f(1 + h).
c) An welcher Stelle, d.h. für welches Argument, ist der Funktionswert 0, 0.5, –2/3, x?
Aufgabe 14: Gegeben ist die Funktion g(x) = x2 – 2x + 3.
a) Berechne g(2), g(3), g(4) – g(–4), g(b), g(a2).
b) An welcher Stelle x ist g(x) = 2, 3 bzw. x2?
Aufgabe 15: Ein Einzeller vermehrt sich alle Stunden durch Zellteilung.
a) Welche Funktion beschreibt diesen Sachverhalt?
b) Wie viele Einzeller hat es nach 15 h?
c) Nach wie vielen Stunden hat es insgesamt 64 Einzeller?
d) Nach welcher Zeit hat es mehr als 1000 Zellen?
Aufgabe 16: Wir betrachten noch einmal die Funktion aus Aufgaben 6.
a) Liegt der Punkt A(6|2) auf dem Funktionsgrafen? Zeichne den Punkt im Diagramm ein und
rechne auch aus, ob der Punkt auf dem Grafen liegt.
b) Liegt der Punkt B(2|0.1) auf dem Funktionsgrafen? Zeichne und rechne auch hier.
c) Der Punkt liegt auf dem Funktionsgrafen. Ergänze die fehlende Koordinate: C(3|y)
d) Auch dieser Punkt liegt auf dem Funktionsgrafen: D(x|1.5) Welcher Wert hat x?
Aufgabe 17: Eine Funktion s sei durch ihre Funktionsgleichung s(t) = 60t + 30 gegeben.
Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion s
liegen: A(1|?), B(–0.5|?), C(0|?), D(?|0), E(?|–20).
Aufgabe 18: Eine Funktion f ist durch ihre Funktionsgleichung f(x) =
x −1
x
gegeben. Überprüfe
rechnerisch, ob folgende Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen: A(1|0), B(–0.5|3),
C(–2|1.5), D(1.5|0.5), E(0|0).
Aufgabe 19: Versuche aus der Wertetabelle eine Zuordnungsvorschrift f(x) zu erkennen:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
y
1
2
5
10
17
26
37
50
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 7
www.mathema.ch (November 11)
Definitions- und Wertemenge
Betrachten wir noch einmal die Funktion
f ( x ) = x − 2 aus Aufgabe 6.
Wurzeln können aus negativen Zahlen nicht
gezogen werden. Bei dieser Funktion können
also nicht alle reellen Zahlen eingesetzt werden.
Die Menge aller erlaubten Argumente - die
Definitionsmenge - ist bei der Funktion
f (x) = x − 2
D = …………………………………
Auch kommen nicht alle reellen Zahlen als Werte vor. Das Ergebnis der Wurzel ist nie negativ. Die
Menge aller Funktionswerte - die Wertemenge - ist bei der Funktion f ( x ) = x − 2 also
Wertebereich W
W = …………………………………
Definitionsbereich D
Aufgabe 20: Ermittle die Definitionsmenge D und die Wertemenge W dieser Funktionen. Dazu gibt
es kein einfaches Verfahren. Du musst gut überlegen, welche Werte du einsetzen darfst und
welche als Funktionswerte herauskommen können. Skizziere die Funktionen!
a) f(x) = 2x – 6
b) f(x) = 3x + 1
c) f(x) = x2
d) f(x) =
x
1
x
f) f(x) =
4
x −4
e) f(x) =
2
Aufgabe 21:Ermittle die Definitionsmenge D dieser Funktionen:
a) f(x) = (x – 2)(x + 3)
c) f(x) =
e) f(x) =
1
x−4
x+6
Funktionen: Grundbegriffe
b) f(x) = x2 – 16
d) f(x) =
f) f(x) =
x−2
x +1
x2 + 4
Seite 8
www.mathema.ch (November 11)
3. Nullstellen
Aufgabe 22: In der nebenstehenden Figur
ist eine Funktion gezeichnet.
a) An welchen Stellen schneidet die
Funktion die x-Achse? Zeichne
diese Stellen in der Figur ein.
Diese Funktion hat die Funktionsgleichung f(x) = (x – 3)2 – 4.
b) Berechne nun, an welchen Stellen
die Funktion die x-Achse schneidet.
Definition: Stellen, an denen der
Funktionswert Null ist, heissen
……………………………….. .
Dort gilt f(x) = …… und der Graf schneidet an diesen Stellen die …………………………..
Aufgabe 23: Dies sind noch einmal die Funktionen aus Aufgabe 20. Berechne die Nullstellen.
Zeichne die Nullstellen in den Skizzen ein, die du bei Aufgabe 20 erstellt hast.
a) f(x) = 2x – 6
b) f(x) = 3x + 1
c) f(x) = x2
d) f(x) =
x
1
x
f) f(x) =
4
x −4
e) f(x) =
2
Aufgabe 24: Dies sind die Funktionen aus Aufgabe 21. Berechne nun die Nullstellen.
a) f(x) = (x – 2)(x + 3)
c) f(x) =
e) f(x) =
1
x−4
x+6
b) f(x) = x2 – 16
d) f(x) =
f) f(x) =
x−2
x +1
x2 + 4
Aufgabe 25: Zeichne in diesem Funktionsgrafen alle Nullstellen ein.
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 9
www.mathema.ch (November 11)
4. Umkehrfunktionen
Mit einer Funktion finden wir von einem Element x der Definitionsmenge zu genau einem
Funktionswert y aus der Wertemenge. In manchen Fällen ist es möglich vom Funktionswert y
eindeutig wieder zurück zum ursprünglichen Argument x zu finden.
Aufgabe 26: Hier sind einige Pfeildiagramme von Funktionen abgebildet. Bei welchen dieser
Funktionen kannst du vom Funktionswert y eindeutig wieder zurück zum Argument x finden?
a)
b)
4
3
4
36
10
4
36
3
15
1
c)
36
3
1
10
1
Aufgabe 27: Wie muss das Pfeildiagramm einer Funktion aussehen, damit man vom Funktionswert
wieder zurück zum ursprünglichen Argument findet?
Aufgabe 28: Ist es möglich bei diesen Zuordnungen vom Wert eindeutig wieder zurück zum
Ursprung zu gelangen?
a) Schülerinnen der Tertia d 6 Geburtsdatum
b) Person 6 Körpergrösse
c) Schweizerin oder Schweizer 6 Passnummer
d) Fahrpreis 6 Fahrstrecke bei der SBB
e) Zahl 6 Quadrat dieser Zahl
Aufgabe 29: Ist es bei diesen Funktionsgrafen möglich vom y-Wert eindeutig wieder zurück zum
x-Wert zu finden?
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 30: Wie muss ein Funktionsgraf aussehen, damit es möglich ist vom Funktionswert y
wieder zurück zur Stelle x zu finden?
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 10
www.mathema.ch (November 11)
Satz: Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert ….……………………… auftritt.
Wir nennen eine solche Funktion f ……………………………… oder …………………… .
Zu einer Funktion f existiert also eine …………………………… f–1, falls die Zuordnung vom
Funktionswert y zurück zum Argument x ………………………… ist – sie also eineindeutig ist.
1
Gegeben
ist
eine
Funktion
f:
y
=
+4
Beispiel: …………………………………………………………………………………………………
x−2
−1
Gesucht wird die Umkehrfunktion f : ???
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Merke: Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f–1(x) zu finden, löst man die Funktionsgleichung f(x) nach x auf.
Aufgabe 31: Bestimme die Umkehrfunktion dieser Funktionen.
a) y = 5x − 20
4
9
b) y = x +
1
3
c) y =
1
x+5
Aufgabe 32: Wir betrachten die Funktion f: y = x2.
a) Hat diese Funktion eine Umkehrfunktion? Falls ja, gib ihre Funktionsgleichung an?
b) Hat diese Funktion eine Umkehrfunktion, wenn wir als Argumente nur positive Zahlen
zulassen, wenn wir also den Definitionsbereich auf die positiven Zahlen einschränken?
Falls ja, gib ihre Funktionsgleichung an?
c) Skizziere die Funktion und ihre Umkehrfunktion.
Merke: Hat eine Funktion keine Umkehrfunktion, so kann durch Einschränkung des
Definitionsbereichs von Funktion und Umkehrfunktion erreicht werden, dass wenigstens
eine Umkehrfunktion zu der eingeschränkten Funktion existiert.
Aufgabe 33: Schränke die Funktion f: y = ( x − 2) so ein, dass eine Umkehrfunktion existiert. Gib
2
die Funktionsgleichung dieser Umkehrfunktion an.
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 11
www.mathema.ch (November 11)
Aufgabe 34: Schau dir noch einmal gut die Skizze der Funktion und der Umkehrfunktion in
Aufgabe 32 an. Gibt es einen geometrischen Zusammenhang zwischen diesen beiden
Funktionsgrafen?
Merke: Der Graf der Umkehrfunktion f–1 entsteht aus dem Grafen der Funktion f, indem der
Funktionsgraf ..............................................................................................................
...................................................................................................................................
Aufgabe 35: Skizziere die Umkehrfunktion dieser Funktionen.
Aufgabe 36: Gib mindestens zwei Funktionen an, für die f(x) = f–1(x) gilt.
Funktionen: Grundbegriffe
Seite 12
www.mathema.ch (November 11)