bio 4 - Mathematisches Institut

Aufgaben zur Vorlesung über Mathematik
für Biolog(inn)en
Dr. Bernd Beyerstedt und Dr. Jörg Jahnel
Blatt 4
Wintersemester 2000/2001
1. Eine lineare Funktion.
Temperaturen werden in den USA üblicherweise in Fahrenheit F und in Europa in Grad Celsius C◦
gemessen. Ergeben sich für einunddieselbe Temperatur Meßwerte von x F und y C◦ , so kann man
gemäß der Beziehung
y = αx+β
umrechnen, wobei α und β Konstanten sind. Für x = 122 wird y = 50 und für x = −13 wird y = −25
gemessen.
Ermittle α und β, das heißt bestimme ein Verfahren, Fahrenheit in Grad Celsius umzurechnen.
2. Der Graph einer Funktion.
In einer biochemischen Reaktion, die durch ein Enzym gesteuert wird, steht die Umwandlungsgeschwindigkeit y mit der Konzentration x des Substrats näherungsweise in dem Zusammenhang
y=
ax
,
b+x
wobei a und b positive Konstanten sind. Diese Gleichung wird nach Leonor Michaelis (1875-1940)
und Maud Leonora Menten (1879-1960) als Michaelis-Menten-Gleichung bezeichnet.
Skizziere den Graphen der Michaelis-Menten-Funktion y = y(x) für a = 1 und b = 1.
3. Umkehrfunktion.
Bestimme die Umkehrfunktion der Michaelis-Menten-Funktion
f (x) =
ax
,
b+x
wobei a, b ∈ R feste, positive Konstanten seien. Skizziere den Graphen der Umkehrfunktion für
a = 1 und b = 1. Wie entsteht dieser aus dem Graphen der Michaelis-Menten-Funktion?
4. Noch eine lineare Funktion.
Bei den Männchen der Schlange Lampropeltis polyzona ist die Gesamtlänge l eine Funktion der
Schwanzlänge s von der Form l = as + b.
Ermittle a und b, das heißt bestimme die Gleichung der Funktion l = l(s), aus folgenden Meßdaten:
s[mm] 60 140
l[mm] 455 1050
Die Angaben wurden übrigens von Simpson, Ray und Lewontin (1960) übernommen.
5. Eine quadratische Funktion und ihr Graph.
Der Druck p des gesättigten Wasserdampfes, gemessen in Pascal, hängt von der Temperatur T ,
gemessen in Grad Celsius, in der Weise
p(T ) = aT 2 + bT + 610
ab, wobei a und b Konstanten sind.
a) Bestimme a und b aus den folgenden Meßwerten:
T [ ◦ C] 10
20
.
p[Pascal] 1220 2330
b) Zeichne den Graphen der Funktion p = p(T ).
6. Nochmals die Umkehrfunktion.
Bestimme die Umkehrfunktion der Funktion f mit
f (x) = x3 .
Skizziere den Graphen der Umkehrfunktion. Wie entsteht dieser aus dem Graphen der Funktion f ?
7. Einige Aufgaben zum Selbsttest (ohne Wertung)
a) Es sei W = α · eβ·s . Berechne s.
b) Berechne log10 10000.
c) Berechne log3 27.
√
d) Vereinfache log10 3 a.
e) Vereinfache log7 ((AB)1/2 ).
Abgabetermin für die Aufgaben 4 bis 6:
Dienstag, 14. November 2000, vor der Vorlesung im Mathematischen Institut