Teil II: Übungen

Teil II: Übungen
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Übungen
Übung 1
1. Berechne (((4/3 + 5/2) · 6/5) − 2/5) · 5/2.
2. Berechne (a)
1
(
2
)
(3)
4
, (b)
4
3. Vereinfache: (a) ( xy
+
1
(2)
( 34 )
3
4z
yz )( xy
und (c)
( 12 )
.
( 34 )
− y2 ), (b)
z
x
y−x
2
z
+
x
y
und (c)
x
1
1− 1−x
.
√
rationale Zahl ist, das heisst es gibt keine ganzen Zahlen
4. Beweise, dass 2 keine
√
a und b mit ab = 2. Tipp: Nehme an, dass ab soweit wie möglich gekürzt ist.
Quadriere die Gleichung und folgere, dass a gerade ist. Also lässt sich a wiefolgt
schreiben: a = 2n für irgendeine natürliche Zahl n. Was bedeutet dies für b? Ist
b gerade oder ungerade? Leite einen Widerspruch her.
5. Grösser, kleiner oder gleich? (a)
5
14
und
6
21 ,
(b)
27
5
und
16
3 ,
(c)
3
13
und
21
91 .
6. Leite folgende Gesetze aus den Potenzregeln her:
(a)
√
1
1
a
c
ad + bc
a = a m , (b) a−1 = , (c) + =
a
b
d
bd
m
√
√
7. Wie viele Lösungen hat die Gleichung 2x2 − (2 2 − 1)x − 2 = 0
in (a) Z, (b) Q und in (c) R?
8. Löse folgende quadratische Gleichungen: (a) x2 +x−6 = 0, (b) −2x2 −4x−2 = 0,
34
4
2
2
(c) 13 x2 + 10
3 x + 3 = 0 und (d) x − 13x + 36 = 0. (e) x − 4x − 3 = 0. Versuche
dies zuerst mit Vieta und sonst mit der Lösungsformel.
9. Für welche a hat (x − 1)2 + 1 = ax genau eine Lösung?
10. Für welche Werte von a hat die Gleichung x2 − (|a| − 3)x + 1 = 0 genau zwei
verschiedene Lösungen?
11. Löse die folgenden Gleichungssysteme. Überlege dabei, welches der Verfahren
sich am besten eignet.
(a)
!
12. Berechne
0 = 2y + 4x − 2
y = −4x + 6
"
, (b)
!
y = 2x
y = −4x + 6
#√
√ #√
√
6− 2·
6 + 2.
"
, (c)
!
0 = 2x + 2y − 5
0 = 3x − y + 1
"
13. Vereinfache: (a) (−1 + a)2 − (1 − a)2 , (b) (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2
#
√
n+1
n+7
3
·9bx+1
14. Vereinfache: (a) 3a 3xn·6x
,
(b)
a3 · a8 .
x+1
·2b
·3a
√
15. Beweise, analog zu Aufgabe 4, dass p, mit p prim, keine rationale Zahl ist.
Erinnerung: Eine Zahl p heisst prim wenn sie genau zwei Teiler hat.
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Übungen
Übung 2
1. Finde eine Formel für die Folgen: (a) {5, 8, 11, · · · }, (b) {1, 3, 9, 27, · · · },
(c) {1, 8, 27, 64, · · · }, (d) { 81 , 14 , 38 , 12 , · · · } und (e) {1, − 21 , 13 , − 41 , · · · }.
2. Schreibe die ersten paar Glieder von den folgenden Folgen auf: (a) {1 + 4n}n∈N,
n(n+1)
n
(b) {3 · 2n }n∈N , (c) {n1+(−1) }n∈N und (d) {(−1) 2 }n∈N .
3. Eine arithmetische Folge ist durch a1 = 2 und d = 3 gegeben.
Berechne a5 , a10 , a20 .
4. Eine geometrische Folge ist gegeben durch a1 = 16 und q = − 21 .
Berechne a3 , a5 und a8 .
5. Von einer arithmetischen Folge wissen wir, dass a7 = 13 und a9 = 7.
Bestimme die Vorschrift für diese Folge.
6. Von einer geometrischen Folge wissen wir, dass a4 = 4 und a6 = 36.
Bestimme die Vorschrift für diese Folge.
7. Bestimme den Limes der Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N , sowie den Limes
von an + cn und an · cn für n → ∞.
1
n(n + 1)
(−1)n
bn =
n
4n2 − n
cn =
2n + 8
an =
8. Betrachte die Folge: 1, 2, 4, 7, 11, 16, . . ..
(a) Finde eine rekursive Vorschrift für diese Folge. Das heisst: Drücke an+1 mit
Hilfe von an aus und gebe a1 an.
(b) Finde eine explizite Vorschrift für diese Folge. Das heisst: Drücke an mit
Hilfe von n aus. Die Vorschrift hat die Form an = a · n2 + b · n + c.
(Diese Aufgabe wird fortgesetzt.)
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Übungen
Übung 3
1. Finde eine explizite Vorschrift für eine allgemeine arithmetische Folge. Das heisst:
Für a1 und d sind keine konkreten Zahlen vorgegeben, sondern sie sind sogenannte Parameter.
2. Finde eine explizite Vorschrift für eine allgemeine geometrische Folge mit a1 und
q.
3. (Fortsetzung der letzten Aufgabe des zweiten Übungsblattes)
(c) Beweise die zuvor gefundene Formel mit vollständiger Induktion.
4. Zeige die folgenden zwei Formeln mit vollständiger Induktion.
(a)
n
$
k=1
n
$
k=
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1
%n
5. Finde eine Formel für k=1 (2k − 1) und beweise sie. Tipp: Rechne die ersten
paar Glieder der Summenfolge aus.
(b)
k2 =
6. Versuche die oben gefundene Formel geometrisch zu veranschaulichen, indem du
ein Quadrat mit Seitenlänge n geschickt unterteilst.
7. Im Skript ist eine Formel für die n-te Partialsumme einer arithmetischen Folge
gegeben. Beweise diese Formel.
8. Im Skript ist ebenfalls eine Formel für die n-te Partialsumme einer geometrischen
Folge gegeben. Beweise auch diese Formel.
9. Nehme an, dass |q| < 1 und dass an eine geometrische Folge ist. Beweise damit
die folgende Formel:
∞
$
a1
an =
.
1
−q
n=1
Was passiert, falls |q| ≥ 1 ist?
%
1
10. Überlege dir, was mit ∞
n=1 n geschieht.
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Übungen
Übung 4
1. Skizziere die Graphen der folgenden linearen Funktionen:
(a) f (x) = x, (b) f (x) = 2x + 1, (c) f (x) = −x + 1.
2. Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen in dasselbe Koordinatensystem:
√
(a) f (x) = x, (b) f (x) = x2 , (c) f (x) = x3 , (d) f (x) = 1/x und (e) f (x) = x.
(Lasse die x-Achse von −5 bis 5 und die y-Achse von −3 bis 3 gehen.)
3. Skizziere die folgenden Geraden in dasselbe Koordinatensystem:
(a) y = 2x + 1, (b) y = 3, (c) 2x + y = 1.
4. Skizziere die Gerade x = 1. Ist diese Gerade Graph einer linearen Funktion
f (x) = mx + q?
5. Errate eine Nullstelle und berechne dann die anderen! (a) x &→ x3 + 4x2 + x − 6,
(b) x &→ − 43 x3 + x2 + 2, (c) t &→ t3 − t2 + 0.16t und (d) z &→ z 4 − 2z 2 + 1.
6. Überlege wieviele reelle Nullstellen ein Polynom vom Grad m höchstens hat?
Und wieviele mindestens, falls m gerade bzw. ungerade ist?
7. Es sei f (x) = x2 + x − 2.
(a) Skizziere den Graphen der Funktion.
(b) Skizziere den Graphen von f (x + 2). Wie sieht f (x + a) aus? Überlege dir
dies und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ
sein kann.
(c) Skizziere den Graphen von f (x) + 2. Wie sieht f (x) + a aus? Überlege dir
dies und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ
sein kann.
(d) Skizziere den Graphen von 2 · f (x). Wie sieht a · f (x) aus? Überlege dir dies
und beschreibe es mit einigen Worten. Beachte, dass a auch negativ sein
kann.
8. Konstruiere ein Polynom ersten Grades, dessen Graph durch die Punkte P1 =
(x1 , y1 ) = (2, 3) und P2 = (x2 , y2 ) = (5, −3) geht. Wieviele solche Polynome gibt
es?
9. Konstruiere ein Polynom zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte P1 =
(x1 , y1 ) = (2, 3) und P2 = (x2 , y2 ) = (5, −3) geht. Wieviele solche Polynome gibt
es? Was passiert, wenn der Graph auch noch durch P3 = (x3 , y3 ) = (7, 3) gehen
soll?
√
10. Konstruiere ein Polynom
√ mit
√ ganzzahligen Koeffizienten, das 2+1 als Nullstelle
hat. Das gleiche mit 2 + 3.
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