¨Ubungsblatt 3

Numerische Mathematik
WS 2010/11
Prof. Dr. P.E. Kloeden
Dr. J. Rieger
Übungsblatt 3
Aufgabe 3.1
Abgabe bis Montag, 15.11., 10:00 Uhr
(Interpolationspolynome)
a) Geben Sie das Interpolationspolynom P ∈ P2 zu den Daten
1
1
( π, sin( π)),
4
4
1
1
( π, sin( π)),
2
2
3
3
( π, sin( π))
4
4
an und bestimmen Sie seine Nullstellen. Zeichnen Sie die Graphen der Sinusfunktion und von P . Vergleichen Sie P mit der Taylorreihe der Sinusfunktion um 21 π.
b) Geben Sie das Interpolationspolynom P ∈ P5 zu den Daten
(−0.5, 0.875),
(1, 2),
(3, 3.5),
(5, 5),
(9, 8)
und seine Nullstellen an.
(10 Punkte)
Aufgabe 3.2
(Müller-Methode)
Approximieren Sie π als Nullstelle der Sinusfunktion, indem Sie zwei Schritte der Müller-Methode zu geschickt
gewählten Anfangsdaten von Hand ausführen. (Null und π sind natürlich keine erlaubten Startwerte.) Skizzieren
Sie Ihr Vorgehen grafisch.
(8 Punkte)
Aufgabe 3.3
Sei h :
(Interpolation mit vielen Knoten)
R → R die durch
h(x) =
0,
1,
x≤0
x>0
definierte Heaviside-Funktion. Interpolieren Sie numerisch die Daten
(xj , h(xj )),
xj = −1, −1 +
1
1
,...,1 − ,1
N
N
mit dem Lagrange-Ansatz zu den Zahlen N = 1, 2, 4, 8. Benutzen Sie den Befehl subplot, und plotten Sie in vier
Teilgrafiken die Graphen der Heaviside-Funktion und des jeweiligen Interpolationspolynoms. Kommentieren Sie
Ihr Resultat.
(8 Punkte)