Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2017

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2017
Prof. Andreas Dreuw, Manuel Hodecker, Adrian Dempwolff
Ausgabe:
Abgabe:
Übungsblatt 4
1
2
3
4
5
Aufgabe 4.1 (4 P). Gegeben seien die Matrizen
1
A= 1 2
B=
−1
Do 11.05.2017
Fr 19.05.2017 10:00
Σ
/ 24 P
C=
0
2
1
2
Geben Sie an, welche der Matrixprodukte A · B, B · A, A · C, B · C, CT · C existieren und
berechnen Sie diese.
Aufgabe 4.2 (6 P). Gegeben sei ein Vektor ~r = xy im R2 und eine Drehmatrix
cos(ϕ) − sin(ϕ)
D(ϕ) =
sin(ϕ) cos(ϕ)
~r werde nun zuerst um den Winkel ϕ1 und anschließend um den Winkel ϕ2 gedreht.
(a) Berechnen Sie
(3 P)
D(ϕ2 ) · [D(ϕ1 ) · ~r]
(b) Zeigen Sie mit Hilfe trigonometrischer Additionstheoreme, dass
(3 P)
D(ϕ2 ) · [D(ϕ1 ) · ~r] = D(ϕ1 + ϕ2 ) · ~r
Aufgabe 4.3 (4 P). Der sogenannte Kommutator zwischen zwei Matrizen A und B ist
definiert als
[A, B] = A · B − B · A
Seien A und B nun zwei beliebige 2×2 Matrizen. Zeigen Sie, dass im Allgemeinen [A, B] 6= 0
gilt.
Aufgabe 4.4 (5 P). Gegeben seien die drei 2 × 2 Matrizen
1
9 2
10 0
2
A=
D=
U= √
2 6
0 5
1
5
1
−2
Zeigen Sie, dass gilt:
(a) A = U · D · U
(2 P)
(b) A2 = U · D2 · U
(3 P)
1
Aufgabe 4.5 (5 P). Gegeben sei eine quadratische n × n Matrix A = {aij }. Eine symmetrische Matrix As ist defniniert durch die Beziehung aij = aji (i, j = 1, 2, . . . , n) und eine
antisymmetrische Matrix Aa durch aij = −aji (i, j = 1, 2, . . . , n). Die Matrix A lässt sich
dann darstellen als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Teils, also
A = As + Aa
Sei nun
A=
a
c
b
d
eine beliebige 2 × 2 Matrix. Bestimmen Sie die zugehörigen Matrizen As und Aa .
2