Blatt1

Prof. Dr. Duco van Straten
M. Pauly
1. Übung zur Vorlesung
„Elementarmathematik“
im Wintersemester 15/16
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Summen
1,
1 + 3,
1 + 3 + 5,
1 + 3 + 5 + 7,
...
Wie kann man diese Summen (zeichnerich) veranschaulichen? Welchen Wert kann man für die
n-te Summe vermuten? Beweisen Sie Ihre Vermutung.
Aufgabe 2:
Betrachten Sie die Pentagonalzahlen
1, 5, 12, 22, 35, . . .
Veranschaulichen Sie diese Zahlenfolge zeichnerich (farbig). Wie entsteht die nächste Pentagonalzahl aus der vorherigen? Zeigen Sie, dass die n-te Pentagonalzahl gleich 12 n(3n − 1)
ist.
Aufgabe 3:
Eine Torte wird durch n Geraden in Stücke geschnitten. Die Schnitte können beliebig verlaufen. Wie viele Tortenstücke können höchstens entstehen? Stellen Sie eine Vermutung auf und
beweisen Sie diese.
Aufgabe 4:
(a) Zeichnen und berechnen Sie die ersten 11 Zeilen des Pascalschen Dreiecks.
(b) Färben Sie in einer Zeichnung alle durch 3 teilbaren Einträge ein und in einer anderen
alle durch 5 teilbaren. Sehen Sie ein Muster?
(c) Auf wie vielen Wegen lässt sich das Wort MATHERÄTSEL in der Abbildung lesen?
Beginnen Sie beim Ablesen mit dem oberen Buchstaben M und gehen Sie dann immer schräg nach unten links oder unten rechts, bis Sie zu dem ganz unten stehenden
Buchstaben L gelangen.
M
A
T
H
E
R
H
E
R
Ä
A
T
H
E
R
Ä
T
T
R
Ä
T
S
H
E
R
Ä
T
S
E
R
Ä
T
S
E
L
E
Die Lösungen vor bis zu 3 der ersten 4 Aufgaben sind bis Freitag den 30.10 12 Uhr in den
beschrifteten Kästen vor der Fachschaft abzugeben.
Die nachfolgenden Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern dienen zum selbst Studium.
Aufgabe 5:
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Summenzeichen.
(a) 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 66.
(b) 5 + 13 + 25 + 41 + . . . + 221.
(c) Die Summe der ersten 12 natürlichen Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind.
(d) Die Summe der ersten 20 natürlichen Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind.
Aufgabe 6:
Schreiben Sie die folgenden Summen aus und berechnen Sie diese.
(a)
4
P
l
22
l=1
(b)
7
P
l!
l=1
(c)
100
P
(−1)l l
l=1
Aufgabe 7:
(Weizenkörner auf dem Schachbrett)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der Erfinder des Schachspiels von seinem König mit
264 − 1 Weizenkörnern belohnt werden sollte. Können mit dieser Anzahl an Weizenkörnern die
gesamten Landmassen der Erde bedeckt werden?
Hinweis: 30% der Erdoberfläche besteht aus Landmassen.
Aufgabe 8:
Sei n ∈ N. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
(a) Die natürliche Zahl 32n+1 + 2n−1 durch 7 teilbar.
(b) Die Summme 13 + 23 + 33 + · · · + n3 ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl.
Aufgabe 9:
Wie verhält sich der Umfang der folgenden Vielecke zueinander?