Repetition (mit Formelbuch und Tachenrechner)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Repetition (mit Formelbuch und Tachenrechner)
Modul: Mathematik
Datum: 1.6.2013
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: BWZ (Gruppe A) 2012/2013
1. Aufgabe
In einem Dreieck sind die Längen von zwei Seiten und einen Winkel bekannt:
• a=4
• b=3
• β = 40◦
Berechne Sie die Länge der Seite c und den Winkel γ. (Achtung: Es gibt zwei
Lösungen!)
2. Aufgabe
Berechnen Sie die Länge der Seite x.
x
2
40
o
4
3. Aufgabe
Berechnen Sie die Länge der Strecke x.
ωγ
x
20 o
7
10
γ
2
γ
2
Mathematik
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1.6.2013
4. Aufgabe
Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], sodass
sin (x) 1 − 2x2 = 0
5. Aufgabe
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = 2x. Gesucht ist derjenige Kreis
mit Radius r = 2, der sowohl die Gerade g als auch die y-Achse berührt und im
I. Quadranten liegt. Bestimmen Sie die Koordinaten seines Mittelpunktes und die
Kreisgleichung.
6. Aufgabe
Berechnen Sie die Länge des Bogens b, wenn r = 4 ist.
b
100o
r
M
7. Aufgabe
(a) Die Überlagerung (Summe / Differenz) von gleichfrequenten Schwingungen
ergibt wieder eine Schwingung (mit einer neuen Amplitude und einer Phasenverschiebung). Bestimmen Sie die Grössen A und ϕ bei nachfolgender Überlagerung1
√
3 sin (2x) + cos (2x) = A sin (2x + ϕ)
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der goniometrischen Gleichung:
√
3 sin (2x) + cos (2x) = −1
1
Tipp (Additionstheorem): sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
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8. Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A (−2/14), B (0/4) und C (1/5).
(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden (y = px + q) durch die
Punkte A und B.
(b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel (y = ax2 + bx + c) durch
die Punkte A, B und C.
(c) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel und Skizzieren Sie die Graphen
der beiden Funktionen im untenstehenden Koordinatensystem:
(d) Verschieben Sie die Gerade, so dass die neue Gerade zur Tangente an die
Parabel wird. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?
9. Aufgabe
Gegeben sei ein Holzklotz mit den Ecken A (0, 0, 0), B (3, 0, 0), C (3, 1, 0), D (0, 1, 0),
E (0, 0, 5), F (3, 0, 5), G (3, 1, 5) und H (0, 1, 5). Vom Punkt B bewegen sich ein
Holzwurm und eine Ameise auf kürzestem Weg zum Punkt Q (1.5, 0.8, 5).
(a) Bestimmen Sie die Distanzen, welche Holzwurm und Ameise zurücklegen müssen.
(b) Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsverhältnis
lange für die Strecke BQ brauchen.
vHolzwurm
,
vAmeise
so dass beide gleich-
10. Aufgabe
Lineare Gleichungssysteme bestimmen oft nicht nur eine einzige Lösung, je nach
dem inneren Zusammenhang der einzelnen Gleichungen sind auch Widersprüche
oder gar unendlich viele Lösungen möglich. Analysieren Sie das untenstehende Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z für verschiedene Werte der Parameter
a und t.
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Begründen Sie jeweils Ihre Antworten.
x + y + 2·z = 3 2·x − y + 4·z = t x + 3·y − a·z = 3 (a) Besitzt das Gleichungssystem für a = −3 und t = 3 eine Lösung, wenn ja
welche?
(b) Kann für a = −3 der Parameter t so gewählt werden, dass der Wert von x
doppelt so gross wie jener von y wird? Welchen Wert müsste in diesem Fall t
annehmen?
(c) Können die Werte für die Parameter a und t so vorgegeben werden, dass das
Gleichungssystem keine Lösung besitzt?
(d) Besitzt das Gleichungssystem für a = −2 und t = 6 auch eine Lösung?
11. Aufgabe
Das gleichseitige Dreieck ABC besitzt die Seitenlänge a. Von jeder Ecke wird die
Strecke d, wie in untenstehender Zeichnung, so auf den Dreieckseiten abgetragen,
dass die Punkte D, E und F entstehen.
(a) Wie gross ist die Fläche des Dreiecks DEF ?
(b) Wie gross muss die Strecke d gewählt werden, damit die Fläche von DEF ein
Drittel der Fläche des Dreiecks ABC wird?
(c) Drehen Sie das kleinere Dreieck DEF so, dass sich seine Ecken auf den Seiten
des Dreiecks ABC bewegen. Wie gross ist die Strecke d, wenn seine Fläche
minimal wird?
12. Aufgabe
Ein Mann (mM ) steht auf einem stehenden Schlitten (mS ), welcher reibungsfrei auf
der Unterlage gleiten kann. Auf dem Schlitten befinden sich n Steine (m0 ), welcher
der Mann nacheinander vom Schlitten nach Hinten abwirft (immer mit der Relativgeschwindigkeit v0 , gemessen gegen den Schlitten). Durch das Abwerfen der Steine
erfährt der Schlitten (inkl. Mann und Steinen) einen Stoss in die entgegengesetzte
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Richtung (Impulserhaltung). Die Geschwindigkeit des Schlittens nach dem k-ten
Steinwurf lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
vk−1 (mM + mS + (n − k + 1) m0 ) = vk (mM + mS + (n − k) m0 ) − (v0 − vk−1 ) m0
(a) Stellen Sie die obige Gleichung nach vk um.
(b) Wie gross ist die Schlittengeschwindigkeit, nachdem der Mann 5 Steine herunter geworfen hat? (mM = 50kg, mS = 10kg, m0 = 5kg, n = 10, v0 = 6 ms )
13. Aufgabe
Bestimmen Sie x und y:
(a) allgemein in Abhängigkeit von a, b und A2 .
(b) für a = 4.5cm, b = 13.5cm und A2 = 144cm2 .
14. Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen im Intervall 0 ≤ x ≤
2π.
(a) sin (x) + sin (2x) = 0
(b) cos 2x + π9 = 0.5
15. Aufgabe
Gegeben sind die beiden Funktionen y1 (x) = sin (x − π) und y2 (x) = −2 +
2 cos 21 x . Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen im Intervall −2π ≤
x ≤ 2π.
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16. Aufgabe
Eine Grade g ist durch die Punkte P (3, −2, 3) und Q (5, −4, 6) gegeben.
(a) Geben Sie die Parametergleichung für die Gerade g an.
(b) Wie gross ist die Entfernung zwischen den Punkten?
(c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt mit der xz-Ebene.
(d) Die Gerade g wird parallel durch den Koordinatenursprung verschoben. Bestimmen Sie die Winkel zwischen verschobener Geraden und den Koordinatenachsen.
17. Aufgabe
Gegeben ist ein Dreieck mit A (−1, −1, 1), B (2, −2, 1) und D (2.5, −0.5, 1).
(a) Berechnen Sie die Längen der Seiten und die drei Innenwinkel.
(b) Ermitteln Sie die Koordinate eines Punktes C, so dass ABCD ein Parallelogram ist.
→
→
(c) Berechnen Sie das Vektorprodukt AB × AD. Welche Bedeutung hat dieses
Vektorprodukt? Warum war die besondere Lage dieses Vektors bereits aus
den anderen Koordinaten ersichtlich?
18. Aufgabe
Geben Sie die Gleichungen der skizzierten Funktion an:
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