Übungen zur Mathematik für Ingenieure 1

Übungen zur Mathematik für Ingenieure 1
Wintersemester 2015/16
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
C. Drenkhahn
Blatt 7
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Welche rationalen Zahlen b können als Nullstellen des Polynoms
p(x) = x4 + 9x3 + 29x2 + 39x + 18
auftreten? Spalten Sie mit Hilfe des Horner-Schemas sukzessiv für jede Nullstelle
b den Linearfaktor (x−b) ab und geben Sie anschließend die Produktdarstellung
von p an.
Aufgabe 2 (2 + 2 = 4 Punkte)
Mit Hilfe der Polynomdivision berechne man den ganzen Anteil der folgenden
beiden rationalen Funktionen:
f (x) =
x7 − 3x3 + 1
x2 + x + 1
und
g(x) =
x9 − x7 − 3x3 + 1
.
x3 + x2 + 1
Aufgabe 3 (2 + 2 = 4 Punkte)
Berechnen Sie jeweils mit dem Euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler der Polynome f und g. (Zur Bearbeitung des Teils (b) der Aufgabe
schauen Sie sich bitte den Abschnitt 2.7 „Ergänzung: Polynome über “ im Kapitel 2 des Buches „Höhere Mathematik 1“ von Meyberg und Vachenauer an!)
C
(a) f = x2 − 1, g = x3 − 2x − x2 + 2
(b) f = x2 + 1, g = x3 + 3ix2 − 2x
Aufgabe 4 (3 + 1 = 4 Punkte)
1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion nach n ∈
mit sin(α) 6= 0 gilt:
N, dass für alle α ∈ R
sin(2nα)
cos(α) + cos(3α) + · · · + cos (2n − 1)α =
.
2 sin(α)
(1)
2. Was erhält man im Fall sin(α) = 0 für die linke Seite von (1)?
Aufgabe 5 ((Freiwillige!) *-Aufgabe; 2 + 2 = 4 Zusatzpunkte)
In Aufgabe 5 auf Blatt 1 wurde gezeigt, dass die rationalen Zahlen abzählbar
sind. Die irrationalen Zahlen hingegen sind nicht abzählbar; sie sind überabzählbar. (Umgangssprachlich bedeutet dies, dass es „wesentlich mehr irrationale als
rationale Zahlen gibt“.) Hier soll nun gezeigt werden, dass sogar das Intervall
[0, 1] nicht abzählbar ist; gehen Sie dabei wie folgt vor:
1. Jemand gibt Ihnen eine unendliche Liste mit Zahlen aus [0, 1]; in jeder
(unendlichen langen) Zeile der Liste steht die Dezimalbruchentwicklung
0.a1 a2 a3 ... genau einer Zahl und die (unendlich vielen) Zeilen sind mit
natürlichen Zahlen durchnummeriert. Können Sie bei vorliegender Liste
eine Zahl z ∈ [0, 1] angeben, die nicht auf der Liste steht?
2. Überlegen Sie sich, warum aus Aufgabenteil 1 schon folgt, dass [0, 1] nicht
abzählbar sein kann, d.h., dass keine injektive Abbildung von [0, 1] nach
existieren kann.
N
Bitte begründen Sie Ihre Schlüsse nachvollziehbar!
Aufgabe 6 ((Freiwilliges!) Weihnachtsrätsel; 6 Knobelpunkte)
Es war einmal vor langer, langer Zeit ...: An einem Weg befinden sich fünf verschiedenfarbige Ställe. In jedem dieser Ställe wohnt ein Hirte. Jeder Hirte kommt
aus einer anderen Gegend (des antiken) Israels, trinkt ein anderes Getränk und
verwendet ein anderes Gewürz. Alle Hirten halten verschiedene Tiere. Es liegen
die folgenden weiteren Informationen vor:
1. Das Christkind wurde in dem Stall geboren, in dem ein Esel gehalten wird.
2. Der galiläische Hirte lebt in einem roten Stall.
3. Der samaritanische Hirte hält einen Hund.
4. Der judäische Hirte trinkt gerne Tee.
5. Der grüne Stall liegt links direkt neben dem weißen Stall.
6. Der Hirte des grünen Stalles trinkt Fruchtnektar.
7. Der Hirte, der mit Nelken würzt, hält einen Vogel.
8. Der Hirte, der im mittleren Stall wohnt, trinkt Milch.
9. Der Hirte des gelben Stalles würzt mit Pfeffer.
10. Der betanische Hirte wohnt im Stall ganz links.
11. Der Hirte, der mit Koriander würzt, wohnt neben dem, der eine Katze
hält.
12. Der Hirte, der ein Kamel hält, wohnt neben dem, der mit Pfeffer würzt.
13. Der mit Zimt würzt, trinkt gerne Wein.
14. Der betanische Hirte wohnt neben dem blauen Stall.
15. Der kanaaische Hirte würzt mit Safran.
16. Der mit Koriander würzende Hirte hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.
Die zu lösende Frage lautet: In welchem dieser Ställe wurde das Christkind
geboren?
(Geben Sie die Kette logischer Schlussfolgerungen an, die Sie zu Ihrer Antwort
führen!)
Abgabe der regulären Aufgaben 1 bis 4 bitte bis spätestens Freitag, den 18.
Dezember, 10:10 Uhr im Schreinfach (1. Stock Math. Sem.) bzw. Postfach (3.
Stock Math. Sem.) Ihres Übungsgruppenleiters. Sternchen- und Knobelaufgabe
können bis Freitag, den 8. Januar 2016, 10:10 Uhr abgegeben werden.