§4 Körper

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 22.5
$Id: korper.tex,v 1.20 2012/05/22 11:02:43 hk Exp $
§4
Körper
4.3
Der Körper der komplexen Zahlen
In der letzten Sitzung hatten wir begonnen die komplexen Zahlen C zu besprechen.
Wie schon angekündigt beruht die exakte Definition der komplexen Zahlen auf der
sogenannten Gaußschen Zahlenebene
C = R2
wobei die komplexe Zahl z = x + iy, x, y ∈ R dem Punkt z = (x, y) ∈ R2 der
Ebene entspricht. In unseren einleitenden Überlegungen haben wir gesehen, dass es
überhaupt nur eine einzige Möglichkeit gibt Addition und Multiplikation komplexer
Zahlen einzuführen. Dies stellen wir nun auf den Kopf und definieren
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 ),
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )
für alle a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R. Damit haben wir eine Addition und eine Multiplikation auf
der Menge C definiert, und wir wollen uns überlegen das hierdurch
√ tatsächlich eine
Erweiterung von R konstruiert wird, in der es eine Wurzel i = −1 gibt. Streng
genommen enthält C = R2 die reellen Zahlen nicht einmal als Teilmenge. Um dieses
kleine Problem zu korrigieren, denken wir uns R als die x-Achse in der Ebene, d.h. wir
wollen keinen Unterschied zwischen der reellen Zahl x ∈ R und dem Punkt (x, 0) ∈ R2
der Ebene machen. Wir denken uns also x = (x, 0), wobei das Gleichheitszeichen
hier nicht wörtlich zu verstehen ist. Wir müssen nur noch verifizieren, dass dann die
komplexe und die reelle Addition und Multiplikation reeller Zahlen übereinstimmen.
Dies ist schnell geschehen, für alle a, b ∈ R gelten
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0) · (b, 0) = (ab − 0 · 0, a · 0 + 0 · b) = (ab, 0).
Unsere Hauptforderung an die Arithmetik komplexer Zahlen war es, zumindest mit
den Grundrechenarten, normal rechnen“ zu können. Wie schon früher erwähnt, wird
”
dieses normale Rechnen gerade durch die Körperaxiome beschrieben, wir wollen also
den folgenden Satz einsehen:
Satz 4.17 (Der Körper der komplexen Zahlen)
Das Tripel (C, +, ·) ist ein Körper.
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Beweis: Der Nachweis das (C, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins ist, geschieht durch
direktes Nachrechnen und soll hier nicht vorgeführt werden. Das neutrale Element
der Addition ist dabei 0 ∈ R ⊆ C und das neutrale Element der Multiplikation ist
1 ∈ R ⊆ C. Multiplikative Inverse berechnen sich wie zu Beginn dieses Abschnitts
gesehen, für x, y ∈ R mit (x, y) 6= (0, 0) ist
x
y
−1
(x, y) =
,−
x2 + y 2 x2 + y 2
das multiplikative Inverse von (x, y).
Schließlich gibt es in C auch eine Wurzel aus −1. Es handelt sich einfach um den
Punkt mit Koordinaten x = 0 und y = 1 auf der y-Achse.
Lemma 4.18: Die imaginäre Einheit“ i := (0, 1) ∈ C ist eine Quadratwurzel aus −1.
”
Beweis: Es gilt
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.
Für alle a, b ∈ R gilt jetzt die Gleichung
a + ib = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = (a, 0) + (0 · b − 1 · 0, 0 · 0 + 1 · b) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
die komplexe Zahl a + ib ist also tatsächlich wie vorgesehen der Punkt (a, b) der Ebene. Damit sind die komplexen Zahlen vollständig etabliert. Wir führen jetzt einige
zusätzliche, nützliche Schreibweisen ein.
Definition 4.19: Ist z = a + ib mit a, b ∈ R eine komplexe Zahl, so nennt man a den
Realteil von z und b den Imaginärteil von z, und schreibt
Re(z) := a und Im(z) := b.
Zur Vorbereitung der nächsten Definition erinnern wir uns noch einmal an die Formel
für die multiplikative Inverse einer komplexen Zahl z = a + ib 6= 0, diese war als
1
a − ib
= 2
a + ib
a + b2
gegeben. Sowohl der Zähler als auch der Nenner dieses Bruchs haben eine eigenständige
Bedeutung. Wir beginnen mit dem Zähler und definieren:
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Definition 4.20: Ist z = a+ib ∈ C mit a, b ∈ R eine komplexe Zahl, so heißt z := a−ib
die zu z konjugiert komplexe Zahl. Offenbar ist genau dann z = z wenn z ∈ R ist.
Die komplexe Konjugation erfüllt eine ganze Reihe wichtiger Formeln.
Lemma 4.21 (Grundeigenschaften der Konjugation)
Für alle z, z1 , z2 ∈ C gelten
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2 und zz = Re(z)2 + Im(z)2 ∈ R≥0 .
Beweis: Dies ist Übungsaufgabe (32).
Insbesondere können wir für jede komplexe Zahl z = a + ib ∈ C mit a, b ∈ R den schon
in der letzten Sitzung eingeführten Betrag von z in Termen der Konjugation auch als
√
√
|z| := zz = a2 + b2 ∈ R≥0
schreiben, der Nenner in der Formel für 1/z ist dann gerade |z|2 , d.h. für jedes 0 6= z ∈ C
gilt
z
1
= 2.
z
|z|
Die komplexe Betragsfunktion erfüllt ähnliche Grundeigenschaften wie der reelle Betrag.
Lemma 4.22 (Grundeigenschaften der komplexen Betragsfunktion)
Für alle z1 , z2 ∈ C gelten
(a) Die Dreiecksungleichung |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
(b) Die Multiplikativität |z1 z2 | = |z1 | · |z2 | des Betrags.
Beweis: (a) Nach Lemma 21 haben wir
√
√
√
√
|z1 z2 | = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z1 · z2 z2 = |z1 | · |z2 |.
(b) Wir zeigen zunächst, dass |1 + z| ≤ 1 + |z| für jedes z ∈ C gilt. Mit Lemma 21
ergibt sich
|1 + z|2 = (1 + z) · 1 + z = (1 + z) · (1 + z) = 1 + z + z + zz = 1 + z + z + |z|2 .
Nach Aufgabe (31) haben wir weiter
p
p
z + z = 2 Re(z) ≤ 2| Re(z)| = 2 Re(z)2 ≤ 2 Re(z)2 + Im(z)2 = 2|z|,
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und setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so wird
|1 + z|2 = 1 + z + z + |z|2 ≤ 1 + 2|z| + |z|2 = (1 + |z|)2 =⇒ |1 + z| ≤ 1 + |z|.
Wir kommen jetzt zur allgemeinen Dreiecksungleichung. Im Fall z1 = 0 haben wir
sofort |z1 + z2 | = |z2 | = |z1 | + |z2 |. Ist z1 6= 0, so ergibt sich mit (b) und der bereits
bewiesenen Teilaussage
z2 z
z
z
2
2
2
= |z1 | · 1 + ≤ |z1 | · 1 + = |z1 | + z1 · |z1 + z2 | = z1 · 1 +
z1
z1
z1
z1 = |z1 | + |z2 |.
Es gibt noch einige weitere einfache Formeln für die Konjugation und den Betrag. Für
z = a + ib ∈ C haben wir offenbar
p
√
z = z und |z| = z z = zz = |z|
sowie für z 6= 0
r
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
z · = z · = 1 = 1 =⇒ = und =
· =
=√ =
.
z
z
z
z
z
z z
zz
|z|
zz
Insbesondere ist für z1 , z2 ∈ C mit z2 6= 0 auch
z1 |z1 |
z1
z1
und =
.
=
z2
z2
|z2 |
z2
4.3.1
Graphische Darstellung der komplexen Zahlen
Wir haben die komplexen Zahlen als die Gaußsche Zahlenebene C = R2 eingeführt,
und wollen jetzt die bisher definierten Begriffe auch geometrisch interpretieren. Relativ
leicht ist dies für Addition, Konjugation und den Betrag möglich.
b1 + b 2
z1 + z 2
z=a+ib
z=(x,y)
r
b2
z2
x
b1
z1
z=a−ib
a2
a1
Addition
a1 + a 2
Konjugation
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Betrag
y
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Die Formel (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) ist die Ihnen wahrscheinlich aus der
Schule noch vertraute Addition von Vektoren, manchmal als das Kräfteparallelogram“
”
bezeichnet. Die komplexe Konjugation ersetzt die y-Komponente eines Punktes durch
ihr Negatives, und dies ist gerade die Spiegelung an der x-Achse. Zur Interpretation
des Betrages muss man sich das oben rechts stehende rechtwinklige Dreieck anschauen.
Ist z = x + iy mit x, y ∈ R, so haben die beiden Katheten die Längen x und y.
Nach dem Satz von Pythagoras
ist das Hypothenusenquadrat gleich x2 + y 2 , die Länge
p
der Hypotenuse ist also x2 + y 2 = |z|. Diese Länge ist nun gerade der Abstand des
Punktes z zum Nullpunkt, d.h. |z| = Abstand von z zum Nullpunkt.
Hier wird jetzt auch die Benennung der Dreiecksungleichung verständlich. Schauen
wir uns das oben links stehende Parallelogram an, und schreiben z1 = a1 + ib1 , z2 =
a2 + ib2 , so wird |z1 + z2 | gerade die Länge der Diagonale des Parallelograms. Das
von 0, z1 und z1 + z2 gebildete Dreieck, hat die Seitenlänge |z1 |, |z2 | und |z1 + z2 |. Die
Dreiecksungleichung wird dann zur geometrischen Dreiecksungleichung, dass die Länge
einer jeden Seite eines Dreiecks höchstens so groß ist wie die Summe der Längen der
beiden anderen Seiten.
Es verbleibt nur noch die komplexe Multiplikation
geometrisch zu beschreiben. Hierzu beginnen wir mit einer kleinen Vorüberlegung. Wir geben uns einen Winkel
φ vor und betrachten den Punkt e(φ) = eφ ∈ R2 auf
e( )
1
dem Einheitskreis, der zur x-Achse den Winkel φ bildet.
y
In dem entstehenden rechtwinkligen Dreieck hat die Hyx
potenuse die Länge 1, die Länge der Ankathete ist die
x-Koordinate von e(φ) und die Länge der Gegenkathete
ist die y-Koordinate von e(φ).
Damit ist x das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse, also x = cos φ. Ebenso ist y das Verhältnis von
Gegenkathete zu Hypotenuse, also y = sin φ. Unser Punkt berechnet sich also zu
e(φ) = (cos φ, sin φ) = cos φ + i sin φ.
Der Punkt e(φ) auf dem Einheitskreis wird durch den Winkel φ repräsentiert. In diesem
Kontext, und eigentlich immer in der Mathematik, ist es hilfreich den Winkel φ nicht
im gewöhnlichen Gradmaß, also zwischen 0◦ und 360◦ zu messen, sondern im sogenannten Bogenmaß. Dieses entsteht aus dem Gradmaß indem wir den Bereich 0◦ . . . 360◦
proportional auf den Bereich von 0 bis 2π umskalieren. Die Winkel φ im Bogenmaß
und φ◦ im Gradmaß entsprechen sich also über die Formeln
φ◦
φ
φ = 2π ·
und φ◦ = 360◦ ·
.
◦
360
2π
Wir haben also beispielsweise die folgenden Übersetzungen
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Gradmaß
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
360◦
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Bogenmaß
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Beachte das wir Winkel im Bogenmaß einfach als reelle Zahlen betrachten, und nicht
als so etwas wie π/2 Grad. In der Mathematik gibt es keine Messungen, und daher
auch keinen Bedarf für Maßeinheiten. Das Bogenmaß hat auch eine einfache geometrische Bedeutung. Der Umfang eines Kreises mit Radius r > 0 ist ja bekanntlich 2πr,
und der Umfang des Einheitskreises ist somit 2π. Verändern wir den Winkel φ, so
verändert sich die Länge des oben dick eingezeichneten Bogens proportional mit φ. Da
der volle Umfang des Einheitskreises 2π, also gleich dem vollen Winkel ist, ist damit
φ auch zugleich die Länge unseres dick eingezeichneten Bogens. Dies erklärt auch den
Namen Bogenmaß“, das Maß des Winkels im Bogenmaß ist eben gerade die Länge
”
des entsprechenden Bogens auf dem Einheitskreis.
Wir berechnen jetzt, wie die Multiplikation von Punkten auf dem Einheitskreis
aussieht. Für alle φ, ψ ∈ R haben wir
e(φ) · e(ψ) =
=
=
=
(cos φ + i sin φ) · (cos ψ + i sin ψ)
cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i · (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ)
cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)
e(φ + ψ),
d.h. bei Multiplikation komplexer Zahlen auf dem Einheitskreis müssen nur die beiden
Winkel φ und ψ miteinander addiert werden. In dieser Rechnung haben wir die sogenannten Additionstheoreme von Sinus und Cosinus verwendet, die wir hier als bekannt
annehmen wollen. Bei der Multiplikation komplexer Zahlen auf dem Einheitskreis werden also einfach die Winkel die sie zur x-Achse bilden miteinander addiert.
Durch Einführung der sogenannten Polarkoordinaten
y
kann man diese Interpretation der Multiplikation auf alle
komplexen Zahlen ausdehnen. Gegeben sei eine komplexe
Zahl z ∈ C und wir nehmen erst einmal z 6= 0 an. Die
z=reφ
r
erste Polarkoordinate von z ist dann der Abstand r von
eφ
φ
z zum Nullpunkt, und wir wissen bereits das dies gerade
x
der Betrag von z ist, also
r = |z|.
Nun betrachten wir den Schnittpunkt der von Null ausgehenden Halbgeraden in Richtung z mit dem Einheitskreis, als Formel ist dies einfach
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z/r = z/|z|. Die zweite Polarkoordinate von z ist der Winkel φ den diese Halbgerade
mit der x-Achse hat, also
z
= e(φ) =⇒ z = re(φ).
r
Haben wir umgekehrt eine Zahl r ≥ 0 und einen Winkel φ ∈ R gegeben, so können
wir die komplexe Zahl z := re(φ) bilden. Beachte das die erste Polarkoordinate r
immer eindeutig festgelegt ist, der Winkel φ aber nicht. Man kann zu φ noch beliebige
Vielfache von 2π, also von 360◦ im Gradmaß, hinzuaddieren ohne das sich z ändert. Um
ein eindeutiges φ zu kriegen muss man die erlaubten Winkel auf ein Intervall der Länge
2π einschränken. Für z = 0 ist φ sogar völlig willkürlich. Die komplexe Multiplikation
sieht in Polarkoordinaten nun sehr einfach aus, für alle r, s ≥ 0 und alle Winkel φ, ψ ∈ R
gelten
re(φ) · se(ψ) = rse(φ) · e(ψ) = rse(φ + ψ).
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten werden also die beiden
Längen miteinander multipliziert, und die beiden Winkel werden addiert. Schauen wir
uns einmal drei kleine Beispiele an.
1. Sei z = i. Der Abstand zu 0 ist r = |i| = 1, und da i im oberen Teil der yAchse liegt, ist der Winkel zur x-Achse gleich 90◦ , beziehungsweise φ = π/2.
Also i = 1 · e(π/2) in Polarkoordinaten.
2. Die komplexe Zahl 1 + i hat als Abstand zum Nullpunkt
√
√
r = |1 + i| = 12 + 12 = 2.
Außerdem liegt z auf der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten,
unser Win√
kel ist also φ = π/4. Polarkoordinaten sind damit 1 + i = 2 e(π/4).
3. Nehme jetzt z = −i. Es ist r = | − i| = 1. Was als Winkel genommen wird,
ist nicht mehr so eindeutig. Man kann etwa φ = 3π/2 oder auch φ = −π/2
verwenden. Diese beiden unterscheiden sich gerade um 2π.
4.4
Polynomdivision
Wir wollen jetzt Polynome über den reellen und über den komplexen Zahlen untersuchen. Da R und C unendliche Körper sind, wissen wir bereits nach Satz 7 das wir keinen
Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen machen müssen. Wir beginnen mit einigen Wiederholungen und zunächst erinnern wir an die bereits vor Lemma
6 diskutierte Polynomdivision, die wir jetzt auch als einen Satz festhalten wollen.
Satz 4.23 (Polynomdivision mit Rest)
Sei K ein Körper und seien a, d ∈ K[x] zwei Polynome mit d 6= 0. Dann existieren
eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[x] mit a = q · d + r und grad(r) < grad(d).
Beweis: Klar da in einem Körper jedes von Null verschiedene Element eine Einheit ist.
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Zur näheren Untersuchung von Polynomen erinnern wir jetzt an den Begriff der unzerlegbaren oder irreduziblen Polynome, und diesmal wollen wir diese auch einmal explizit
als eine Definition einführen.
Definition 4.24: Sei K ein Körper. Ein Polynom p ∈ K[x] heißt irreduzibel wenn
grad(p) ≥ 1 ist und es keine Polynome q1 , q2 ∈ K[x] mit p = q1 · q2 und grad(q1 ) ≥ 1,
grad(q2 ) ≥ 1 gibt.
Die irreduziblen Polynome sind also so etwas wie die Primzahlen unter den Polynomen, sie lassen sich nicht in nicht trivialer Weise als Produkt zweier kleinerer Polynome
schreiben. Im allgemeinen kann es recht schwer sein einem gegebenen Polynom anzusehen ob es irreduzibel ist oder nicht. Für Polynome kleinen Grades wird es sich allerdings
als vergleichsweise einfach herausstellen. Zunächst beachte, dass aus p = q1 · q2 auch
grad(p) = grad(q1 ) + grad(q2 )
folgt. Insbesondere ergibt sich für p ∈ K[x] damit
grad(p) = 1 =⇒ p ist irreduzibel.
Die Polynome von Grad 1 sind dabei die einzigen irreduziblen Polynome die eine Nullstelle haben. Ist nämlich p ∈ K[x] ein Polynom mit grad(p) ≥ 2 das eine Nullstelle
a ∈ K besitzt, so liefert Lemma 6 ein Polynom q ∈ K[x] mit grad(q) = grad(p) − 1 ≥ 1
und p = q · (x − a), d.h. p ist nicht irreduzibel. Dies zeigt
p ∈ K[x] irreduzibel, grad(p) ≥ 2 =⇒ p hat keine Nullstellen in K.
Umgekehrt ist dies falsch, beispielsweise hat das Polynom x4 + 1 ∈ R[x] keine reelle
Nullstelle, ist aber trotzdem nicht irreduzibel. Man kann x4 +1 als ein Produkt von zwei
quadratischen Polynomen schreiben. Für die Behandlung von Beispielen ist es praktisch
zu wissen, dass die Umkehrung für Polynome von Grad 2 und 3 gilt. Ist p ∈ K[x] mit
grad(p) ∈ {2, 3} und schreiben wir p = q1 · q2 mit grad(q1 ) ≥ 1, grad(q2 ) ≥ 1, so hat
wegen grad(q1 ) + grad(q2 ) = grad(p) ∈ {2, 3} eines der beiden Polynome q1 , q2 den
Grad 1, und wir schreiben qi = ax + b mit i ∈ {1, 2}, a, b ∈ K, a 6= 0. Dann ist −b/a
eine Nullstelle von qi und damit auch von p. Dies zeigt
p ∈ K[x] mit grad(p) ∈ {2, 3} hat keine Nullstelle =⇒ p ist irreduzibel.
Wie bemerkt sind die irreduziblen Polynome so etwas wie die Primzahlen unter den
Polynomen. Entsprechend der Tatsache das sich jede natürliche Zahl n ≥ 2 als Produkt
von Primzahlen schreiben läßt, kann man auch jedes Polynom von Grad mindestens 1
als Produkt irreduzibler Polynome schreiben.
Lemma 4.25 (Zerlegung in irreduzible Faktoren)
Seien K ein Körper und p ∈ K[x] ein Polynom mit grad(p) ≥ 1. Dann existieren
irreduzible Polynome p1 , . . . , ps ∈ K[x] mit p = p1 · . . . · ps .
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Beweis: Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach n = grad(p). Ist p ∈ K[x]
mit grad(p) = 1, so haben wir oben schon festgehalten das p selbst irreduzibel ist, und
insbesondere ein Produkt irreduzibler Polynome ist, also s = 1 und p1 = p. Nun sei
n ≥ 2 und die Aussage gelte bereits für alle Polynome p ∈ K[x] mit 1 ≤ grad(p) < n.
Sei p ∈ K[x] ein Polynom mit grad(p) = n. Dann können zwei Fälle auftreten.
Fall 1. Das Polynom p ist irreduzibel. Dann ist p insbesondere wieder ein Produkt
irreduzibler Polynome mit s = 1 und p1 = p.
Fall 2. Das Polynom p ist nicht irreduzibel. Dann gibt es Polynome q1 , q2 ∈ K[x] mit
grad(q1 ) ≥ 1, grad(q2 ) ≥ 1 und p = q1 · q2 . Wegen grad(q1 ) + grad(q2 ) = grad(p) = n
ist auch grad(q1 ), grad(q2 ) < n. Also können wir unsere Induktionsannahme anwenden
und erhalten irreduzible Polynome p1 , . . . , ps ∈ K[x] und ps+1 , . . . , ps+t ∈ K[x] mit
q1 = p1 · . . . · ps und q2 = ps+1 · . . . · ps+t . Damit ist insgesamt
p = q1 · q1 = p1 · . . . · ps · ps+1 · . . . · ps+t ,
und auch p ist als Produkt irreduzibler Polynome geschrieben.
Man kann zeigen, dass die Zerlegung in irreduzible Polynome im wesentlichen eindeutig
ist, also bis auf Umordnung der Faktoren und Multiplikation mit Konstanten. Diese
Tatsache wollen wir hier aber nicht mehr beweisen. Oft beschränkt man sich für die
Faktoren p1 , . . . , ps auf normierte, irreduzible Polynome. Ein normiertes Polynom war
dabei ein Polynom dessen höchster Koeffizient 1 ist, also ein Polynom der Form xn +
an−1 xn−1 + · · · + a0 . Dann muss man aber zusätzlich einen konstanten Faktor zulassen.
Etwas ausführlicher kann man also jedes Polynom p ∈ K[x] mit grad(p) ≥ 1 als ein
Produkt
p = ap1 · . . . · ps
schreiben, wobei p1 , . . . , ps normierte, irreduzible Polynome sind und a ∈ K\{0} der
höchste Koeffizient des Polynoms p ist. Besonders wichtig ist der Fall wenn alle Polynome p1 , . . . , ps den Grad 1 haben. Dann kann man pi = x − ai mit ai ∈ K schreiben
und hat
p = a(x − a1 ) · . . . · (x − as ).
Damit ist s = grad(p) dann der Grad von p und a1 , . . . , as sind die Nullstellen von
p. Dabei kann es durchaus passieren das dieselbe Nullstelle mehrfach aufgelistet wird,
man sagt das a1 , . . . , as die mit Vielfachheiten aufgelisteten Nullstellen von p sind und
das das Polynom p in Linearfaktoren zerfällt.
In Anbetracht des Zerlegungssatzes Lemma 25 ist es von Interesse die irreduziblen
Polynome über K möglichst explizit zu kennen. Leider hängt die Gestalt irreduzibler
Polynome sehr stark von Körper K ab. U”ber dem Körper mit zwei Elementen zeigte
Aufgabe (23) das es beispielsweise genau 1342176 irreduzible Polynome von Grad 25
über diesem Körper gibt, hier ist also keine gute explizite Beschreibung zu erwarten.
Über den komplexen Zahlen werden wir gleich sehen, dass die irreduziblen Polynome
genau die Polynome von Grad 1 sind, und über den reellen Zahlen haben irreduzible
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Polynome immer den Grad 1 oder 2. Über den rationalen ist die Lage dann schon
wieder wesentlich komplizierter.
4.5
Polynome in C
Wir kommen jetzt speziell zu komplexen Polynomen p ∈ C[x]. Für diese vereinfachen
sich die oben eingeführten Begriffe wesentlich, die irreduziblen Polynome sind genau
die Polynome von Grad 1. Diese Tatsache beruht auf dem folgenden, leider schon recht
komplizierten, Satz.
Satz 4.26: Jedes Polynom p ∈ C[x] mit grad(p) ≥ 1 hat in C eine Nullstelle.
Beweis: Da ein Beweis dieses Satzes schon etwas fortgeschrittene Hilfsmittel benötigt,
soll hier auf den Beweis verzichtet werden.
Wir hatten im letzten Abschnitt bemerkt, dass irreduzible Polynome von Grad mindestens 2 keine Nullstellen haben können, also ergibt Satz 26 sofort das für komplexe
Polynome p ∈ C[x] die Äquivalenz
p ist irreduzibel ⇐⇒ grad(p) = 1
besteht. Damit erhalten wir jetzt auch
Satz 4.27 (Fundamentalsatz der Algebra)
Sei p ∈ C[x] ein komplexes Polynom von Grad n := grad(p) ≥ 1 mit höchsten Koeffizienten a ∈ C\{0}. Dann zerfällt p in Linearfaktoren und hat mit Vielfachheiten n
komplexe Nullstellen a1 , . . . , an ∈ C, also
p = a(x − a1 ) · . . . · (x − an ).
Beweis: Dies ist klar nach Lemma 25 und der obigen Bemerkung über irreduzible,
komplexe Polynome.
4.6
Polynome in R
Über den reellen Zahlen ist die Lage etwas komplizierter als über den komplexen Zahlen.
Wir wollen uns einmal überlegen das jedes irreduzible, reelle Polynom Grad 1 oder 2
hat. Sei also ein irreduzibles Polynom p ∈ R[x] gegeben, und durch Multiplikation mit
einer Konstante können wir annehmen das der höchste Koeffizient von p gleich Eins
ist. Es können zwei verschiedene Fälle auftreten.
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1. Im ersten Fall hat das Polynom p eine reelle Nullstelle a ∈ R. Dann muss p(x) =
x − a sein und insbesondere hat p den Grad 1.
2. Im zweiten Fall hat p keine reelle Nullstelle. Nach Satz 26 hat p dann zumindest
eine komplexe Nullstelle a ∈ C\R. Schreiben wir p(x) = pp + p1 x + · · · + pn xn , so
folgt mit den Rechenregeln für die komplexe Konjugation auch
p(a) = p0 + p1 a + · · · + pn an = p0 + p1 a + · · · + pn an = p(a) = 0,
d.h. auch das konjugiert komplexe a von a ist eine Nullstelle von p. Damit können
wir das Polynom p ohne Rest durch die Linearfaktoren x − a und x − a teilen,
d.h. es gibt ein Polynom q ∈ R[x] mit
p(x) = q(x)(x−a)(x−a) = q(x)·(x2 −(a+a)x+aa) = q(x)·(x2 −2 Re(a)x+|a|2 ).
Somit ist p ein Vielfaches des reellen Polynoms x2 − 2 Re(a)x + |a|2 ∈ R[x] und da
p irreduzibel ist, muss damit sogar p(x) = x2 − 2 Re(a)x + |a|2 , also insbesondere
grad(p) = 2, sein.
Bei Polynomen in R läßt sich generell keine Aussage über die Anzahlen der reellen
Nullstellen treffen. Wir wollen hier nur eine Tatsache festhalten, die nicht nur für
Polynome, sondern allgemein für die sogenannten stetigen Abbildungen wahr ist.
Lemma 4.28: Seien p ∈ R[x] ein Polynom und a, b ∈ R mit a < b. Es gelte p(a)·p(b) <
0, d.h. p(a) und p(b) haben verschiedene Vorzeichen. Dann existiert ein x ∈ R mit
a < x < b und p(x) = 0, d.h. das Polynom p hat eine Nullstelle zwischen a und b.
Diese Tatsache wollen wir hier nicht beweisen, da sie sich später als ein Spezialfall
des sogenannten Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen ergeben wird. Anschaulich
ist das Lemma sowieso klar, ist p etwa bei x = a positiv und bei x = b negativ, so
muss p(x) zwischendurch auch irgendwo Null sein, da der Graph von p die x-Achse ja
nicht überspringen kann“. Da Polynome ungeraden Grades für |x| ausreichend groß
”
stets links und rechts verschiedenes Vorzeichen haben, folgt das jedes reelle Polynom
ungeraden Grades eine reelle Nullstelle hat. Alternativ kann man dies auch folgern
indem verwendet wird das irreduzible Polynome über R immer Grad 1 oder 2 haben.
10-11