Lernkonzept - Technische Fachkurse Köck

Bildungswerk der
Bayerischen Wirtschaft gGmbH
Seminar
Technische Mathematik
Ausgabe für gewerblich-technische Berufe
Kursbegleitende Unterlagen – Auflage Nr. 1
© Technische Fachkurse Köck
www.fachkurse-koeck.de
Copyright
Technische Fachkurse Köck
www.fachkurse-koeck.de
Autoren:
Mona Off, LMU München, Mathematik und Wirtschaftspädagogik
Manfred Köck, Dipl.-Ing.
Alle Rechte liegen bei den Technischen Fachkursen Köck. Jede Verbreitung und Vervielfältigung
dieses Werks – durch welches Medium auch immer – ist untersagt.
Wir bitten Sie auch um das Einhalten der Urheberrechte, damit auch weitere Auszubildende in der
Zukunft von unserer Arbeit profitieren können.
© TFK 2015
Seminar Technische Mathematik
Prüfungsorientiert für IHK-Prüfung Teil 1, Fachrichtung Metalltechnik
Kurskonzept
Das hier vorliegende Konzept ist bis jetzt einmalig in Aufbau und Struktur.
Sie erarbeiten sich mit dem Dozenten von dem Bereich Grundlagen der Mathematik
bis hin zu den fachspezifischen Aufgaben optimale Lösungsstrategien. Sie stabilisieren Ihr Wissen
mittels themenbezogenen Übungsaufgaben für jedes Lernfeld, d.h. im Einzelnen:
Zu allen wesentlichen Inhalten der Aufgabenthemen wird mit dem Dozenten jeweils
mindestens eine Aufgabe ausführlich besprochen und erläutert in Bezug auf die optimale
Lösungsstrategie (Lösungsweg, Erläuterungen, Regeln, beachte! merke!)
anschließend wird vom Teilnehmer mindestens eine Aufgabe selbstständig bearbeitet mit
anschließender ausführlicher Besprechung des Lösungsweges und der Ergebnisse
Zusätzlich haben Sie Aufgaben zum selbstständigen Bearbeiten
Am Ende der ersten drei Kapitel befinden sich „Wiederholungsaufgaben“.
Diese beinhalten die verschiedenen Themenbereiche des vorherigen Kapitels.
Lösungsstrategie mittels methodischer Analyse . Die folgende Vorgehensweise bei Lösungen
von mathematischen Aufgaben ist bei allen Aufgabentypen empfehlungswert.
1
Aufgabentext lesen
langsam, gründlich
2
Zweites Mal Aufgabentext lesen und analysieren
welche Größen sind gegeben? welche gesucht?
3
Erkenntnisse der Analyse aufschreiben
gegebene Größen:…….
Lösung:…….
gesuchte Größen……
4
Berechnung
mittels Tabellenbuch, eventuell mit gegebenen Kennlinien, Diagrammen als "Ganzes",
den Lösungsweg erkennen, Strategie festlegen
5
Ergebnis beurteilen
Ergebnis beurteilen im Kontext zur Aufgabenstellung und den gegebene Werten
Ist das Ergebnis realistisch und sinnvoll?
Inhalt
1.
Mathematische Grundlagen............................................................................................................ 1
1.1.
Elektronische Taschenrechner ................................................................................................ 1
1.2.
Grundrechenarten ................................................................................................................... 2
1.2.1.
Rechengesetze................................................................................................................. 2
1.2.2.
Vorzeichenregeln............................................................................................................. 4
1.3.
1.3.1.
Erweitern/Kürzen ............................................................................................................ 5
1.3.2.
Addition/Subtraktion....................................................................................................... 6
1.3.3.
Multiplikation/Division .................................................................................................... 7
1.3.4.
Vorzeichen und Schreibweisen ....................................................................................... 9
1.4.
Potenzen und Wurzeln .......................................................................................................... 11
1.4.1.
Potenzgesetze................................................................................................................ 11
1.4.2.
Wurzelrechnung ............................................................................................................ 12
1.5.
Formeln und Gleichungen ..................................................................................................... 14
1.5.1.
Äquivalenzumformung .................................................................................................. 14
1.5.2.
Umstellen und Auflösen von Formeln ........................................................................... 16
1.5.3.
Der einfache Dreisatz .................................................................................................... 18
1.5.4.
Der umgekehrte Dreisatz .............................................................................................. 20
1.5.5.
Prozentrechnung ........................................................................................................... 22
1.6.
Funktionen............................................................................................................................. 24
1.7.
Rechnen am Dreieck .............................................................................................................. 27
1.7.1.
Satz des Pythagoras ....................................................................................................... 27
1.7.2.
Trigonometrie ................................................................................................................ 29
1.8.
2.
Rechnen mit Brüchen .............................................................................................................. 5
Wiederholungsaufgaben ....................................................................................................... 31
Physikalische Grundlagen .............................................................................................................. 34
2.1.
Kreis ....................................................................................................................................... 34
2.2.
Flächen .................................................................................................................................. 36
2.3.
Volumen und Masse .............................................................................................................. 38
2.3.1.
Volumen ........................................................................................................................ 38
2.3.2.
Masse............................................................................................................................. 40
2.4.
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.......................................................................... 41
2.4.1.
gleichförmige Bewegung ............................................................................................... 41
2.4.2.
kreisförmige Bewegung ................................................................................................. 43
2.5.
Kräfte ..................................................................................................................................... 45
3.
4.
2.6.
Moment und Hebel ............................................................................................................... 48
2.7.
Mechanische Arbeit............................................................................................................... 50
2.8.
Mechanische Leistung ........................................................................................................... 51
2.9.
Wiederholungsaufgaben ....................................................................................................... 53
Elektrotechnische Grundlagen ...................................................................................................... 55
3.1.
Umrechnen von Einheiten..................................................................................................... 55
3.2.
Stromstärke, Ladung und elektrische Spannung ................................................................... 56
3.2.
Elektrischer Widerstand ........................................................................................................ 58
3.4.
Das Ohmsche Gesetz ............................................................................................................. 60
3.5.
Schalten von Widerständen .................................................................................................. 62
3.5.1.
Reihenschaltung ............................................................................................................ 62
3.5.2.
Parallelschaltung ........................................................................................................... 64
3.5.3.
komplizierte Schaltungen .............................................................................................. 66
3.6.
Elektrische Arbeit und Leistung ............................................................................................. 69
3.7.
Wärmeenergie ....................................................................................................................... 71
3.8.
Wiederholungsaufgaben ....................................................................................................... 72
Prüfungsorientierte Aufgaben....................................................................................................... 75
4.5.
Masse, Volumen, Dichte und Fläche ..................................................................................... 75
4.6.
Fräsen, Bohren, Drehen und Reiben ..................................................................................... 80
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
1. Mathematische Grundlagen
1.1. Elektronische Taschenrechner
1
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
1.2. Grundrechenarten
1.2.1. Rechengesetze
Kommutativgesetz:
Sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation können die Glieder
(Vertauschungsgesetz) eines Rechenterms vertauscht werden.
Für alle Zahlen gilt: + = + oder ∙ = ∙
Assoziativgesetz:
Bei der Addition und Multiplikation können die Glieder eines Rechenterms
(Verbindungsgesetz)
beliebig durch Klammern zusammengefasst werden.
Für alle Zahlen gilt: + + = + + oder ∙ ∙ = ∙ ∙
Distributivgesetz:
Jede Zahl innerhalb der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert. Dies gilt
(Verteilungsgesetz)
auch für die Division. Der Term in der Klammer kann eine Summe oder eine
Differenz sein. Durch die Zahl 0 darf nicht geteilt werden! Die Umkehrung
des Distributivgesetzes nennt man Ausklammern.
Für alle Zahlen gilt: + ∙ =
+ oder + ∶ = ∶ + ∶
Durch die Rechengesetze können Terme leichter berechnet werden. Bei komplexeren Termen gilt die
Regel: „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“.
Die Zahl 0 ändert bei der Addition den Wert der Summe nicht. Bei der Multiplikation mit der Zahl 1
ändert sich der Wert des Produkts nicht. Ein Produkt mit der Zahl 0 hat den Wert 0.
Aufgabenbeispiel:
Berechnen Sie geschickt, indem Sie die Rechengesetze verwenden: 11 ∙ 31 − 29 ∙ 11
Lösung:
1. Kommutativgesetz:
11 ∙ 31 − 29 ∙ 11 = 11 ∙ 31 − 11 ∙ 29 =
2. Ausklammern:
= 11 ∙ 31 − 29 =
3. Differenz berechnen und multiplizieren: = 11 ∙ 31 − 29 = 11 ∙ 2 = 22
Aufgaben:
1) Wenden Sie das Kommutativgesetz an und berechnen Sie die Terme.
a) 3 + 29 + 7 + 1
b) 2 ∙ 13 ∙ 5
2
c) 6 + 12 − 10 − 3
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
2) Wenden Sie das Assoziativgesetz an und berechnen Sie die Terme.
b) 12 ∙ 5 ∙ 3
a) 5 + 17 + 13
c)
3−9 +6
3) Wenden Sie das Distributivgesetz an und berechnen Sie die Terme.
a) 3 ∙ 5 + 2
b) 4 ∙ 16 − 1
c)
48 + 24 ∶ 6
4) Berechnen Sie geschickt und geben Sie an welche Rechengesetze Sie verwendet haben:
a) 4562 − 986 − 104 + 438
b) 9 ∙ 23 − 23 ∙ 8 − 23
c) 909 − 333 ∶ 3
d) 3422 − 888 − 1317 − 905
e) −45 + 132 − 15 + 48 − 70
f) 80 − 144 ∶ 48 − 36 + 14
3
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
1.2.2. Vorzeichenregeln
Addition und Subtraktion:
Multiplikation und Division:
Vorzeichen vor Klammern:
Bei gleichen Vorzeichen addiere die Beträge und gib der Summe das
gemeinsame Vorzeichen.
Ziehe bei verschiedenen Vorzeichen den kleineren Betrag von dem
Größeren ab und gib anschließend der Differenz das Vorzeichen des
Summanden mit dem größeren Betrag.
Ist das Vorzeichen gleich, ist das Produkt positiv.
Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Produkt negativ. Das Gleiche
gilt für die Division.
Steht ein + vor der Klammer, ändern sich die Vorzeichen nicht.
Bei einem – vor der Klammer, müssen alle Vorzeichen in der Klammer
umgekehrt werden.
Aufgabenbeispiel:
Berechnen Sie: −23 + 11 ∙ −12 + −15
Lösung:
1. Kommutativgesetz:
−23 + 11 ∙ −12 + −15 = −23 + −15 + 11 ∙ −12 =
2. Vorzeichen beachten:
= −23 − 15 + 11 ∙ −12 =
3. Addition bei zwei negativen
= −38 + 11 ∙ −12 =
Zahlen:
4. Multiplikation bei
= −38 − 134 =
unterschiedlichen Vorzeichen:
5. Addition bei zwei negativen
= −172
Zahlen:
Aufgaben:
1) Berechnen Sie.
b) −18 − 56 ∶ 7 + 13 ∙ −6
a) −3 + 7
d) −36 ∶ 9 − 5 ∙ 11 e) 43 − 26 − +73 − −38
g) −77 + 93 − 65 ∙ −146 + 94 ∶ −13
4
c) −13 + −29 + 7 ∶ −7
f) 100 ∶ −4 + 11 ∙ 3 − −4 ∙ 5
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen.
a) 8 ∙ −5
b) 5 + 6 + 4 + 3 + 4
d)
+4 ∙2
e) 9 + 2 + 5 + 7 + 4
g) 25 ∙ 12 + ∙ 25 − 2 ∙ 25
c)
f)
−10
∙ −12
y−9 ∙ x+5
1.3. Rechnen mit Brüchen
1.3.1. Erweitern/Kürzen
Durch das Erweitern und Kürzen von Brüchen ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch
derselben Zahl multipliziert, kurz:
dieselbe Zahl geteilt, kurz:
∙
∙
=
=
∙
∙
Aufgabenbeispiel:
Erweitern Sie auf den gegebenen Nenner:
Lösung:
1. Kürze zuerst mit 12:
!
=
!
=
=
2. Erweitere anschließend:
""
∙ #
∙ #
=
#
""
Aufgaben:
1) Erweitern Sie auf einen (möglichst kleinen) gemeinsamen Nenner der beiden Brüche. Welcher
der beiden Brüche ist größer?
a)
#
$
und
)
!
b)
#
$
!
und *
c)
5
#
und
+
#
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
2) Kürzen Sie vollständig. Geben Sie dabei alle Zwischenschritte an.
a)
#$
)
b)
!
)!
c)
*#
"+
d)
*
)"!"
e)
#∙!!
))"∙ )*
f)
*#∙+*
)*$∙ $!
1.3.2. Addition/Subtraktion
Für die Addition und Subtraktion von Brüchen benötigt man den gleichen Nenner der einzelnen
Brüche. Den kleinsten gemeinsamen Nenner nennt man Hauptnenner. Den Hauptnenner erhält man
durch Erweitern und Kürzen der Brüche.
Addition: Haben die Brüche den gleichen
Subtraktion: Haben die Brüche den gleichen
Hauptnenner, dann addiert man beide Zähler,
Hauptnenner, dann subtrahiert man beide Zähler,
,-.
,1.
kurz: /0
kurz: /0
Aufgabenbeispiel:
Berechnen Sie den folgenden Term: 7 −
Lösung:
1. Wandle die ganze Zahl in einen
Bruch um:
*
"
−
)
7−
*
)
−
"
+
*
"
= −
2. Erweitere auf den Hauptnenner 20:
=
+∙ "
*
− "
∙ "
−
3. Fasse zusammen:
=
"1*1 #
"
=
)∙#
∙#
)
− =
=
$
"
=
*
#
Aufgaben:
1) Berechnen Sie die folgenden Terme.
a)
−)
b)
#
+
+$
c) 8 + $ −
6
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen.
a)
2
+
3
b)
$4
5
−
c)
4
)
67
+
#
86
− 12
1.3.3. Multiplikation/Division
Bei der Multiplikation werden die Zähler und
Nenner multipliziert, kurz:
∙
∙ =
9
∙9
Bei der Division wird der Bruch hinter dem „:“Zeichen umgedreht und dann werden beide
Brüche multipliziert, kurz:
9
∶ = ∙
9
Man nennt dieses Verfahren Multiplikation mit
dem Kehrwert.
Aufgabenbeispiel:
Berechnen Sie den folgenden Term:
7
∶3
9
81
9∶
7
Lösung:
7
7 3
9∶3 = 9∶1 =
81 9 81
9∶ 7
1∶ 7
7 1
7∙1
7
∙3
9
9
∙
3
27
=
=
=
=
7
9 7
1∙7
∙
9
1 81 1 ∙ 9
1. Wandle die ganze Zahl in einen Bruch um:
2. Multipliziere mit dem Kehrwert. Beachte vielleicht
kann man kürzen:
3. Der Doppelbruch ist ein Bruch geteilt durch einen
Bruch, d.h.: Multipliziere mit dem Kehrwert!
=
7 7
7 9 1∙1 1
∶ =
∙ =
=
27 9 27 7 3 ∙ 1 3
Aufgaben:
1) Berechnen Sie die folgenden Terme.
a)
∙
# )
b)
#
∶)
c) 18 ∶ )#
7
Seminar Technische Mathematik - Mathematische Grundlagen
2) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen.
a)
$,.
)!:2
∙
#+
!,
b)
)$.
:2
∶
,.
*2
c)
,
.
∙ ;, + .<
3) Berechnen Sie die Doppelbrüche.
a)
=
>
=
=?
b)
= = >
∶; - <
@ >A B
= A =
;?1A?<∙>
c)
8
A
>
;C-D<