Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus

Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus
K.-H. Schild
24. Oktober 2013
• Die zwei letzten Folien beziehen sich auf Einflussmaße (‘simultane Änderungsrate von y mit
x’) in lin-lin, log-lin, lin-log und log-log Modellen. Wir behandeln dies in der Vorlesung bereits
an dieser Stelle, im Zusammenhang mit Logarithmen. Im Skript wird dieser Stoff erst nach
der Differentialrechnung, im Kapitel ‘Elastizität’, behandelt.
Die Folien zu diesem Stoff finden Sie auf der Internet-Seite unter “Downloads“
Philipps-Universität Marburg
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 1
Bedeutung der Umkehrfunktion
Gegeben eine bijektive Funktion f : D → W eines Intervalls D auf eine Intervall W .
Bei der Umkehrfunktion sucht man für ein gegebenes y ∈ W dasjenige x mit f (x) = y.
Ergänzen Sie unter Verwendung der Wörter ‘Winkel’, ‘Bogenmaß’, ‘Basis’, ‘Exponent’ usw.:
• Bei
√
a y sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
• Bei loga(y) sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
−1
• Bei arc cos(y) = cos (y) sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 2
Was ist der genaueste Wert? (ohne Taschenrechner!)
• log2(30) ≈
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
• log5(25) ≈
√
• 5 25 ≈
• ln(9) ≈
• log2(3) ≈
1.0;
Philipps-Universität Marburg
1.2;
1.4;
1.6;
2.0 .
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 3
Was ist korrekt ?
•
ln(x) − ln(y) =
ln(x − y);
•
2
ln(x /y );
2
ln(x/y);
2 ln(x) − ln(y) ;
2 ln(x/y);
keines.
2
e
x−y
2e
;
x2 −y2
e
;
x2
e
;
y2 −x2
1−e
;
keines.
ln(x2)/ ln(y2) =
2
2
ln(x /y );
•
keines.
ex − ey =
x2 /y2
•
ln(x) + ln(1/y);
ln(x/y);
ln(x2) − ln(y2) =
2
•
ln(x)/ ln(y);
2
2
2
ln(x − y );
2
logx2 y ;
2
logy2 x ;
keines.
2
ex /ey =
x2 −y2
e
Philipps-Universität Marburg
;
x2 /y2
e
;
x
−y 2
e ·e
;
e(x−y)(x+y);
keines.
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Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 4
Was ist korrekt ?
•
•
exp(e−x − x) =
exp(−ex)/ex ;
exp(e−x) − e−x ;
exp(−ex) ex ;
exp(e−x) e−x ;
exp(e−x) − ex ;
e−x/ exp(−ex) ;
e−x/ exp(−e−x) ;
keines.
−x
ln exp(e ) · e
−x
e
•
•
x
·x;
=
−x
e
+x;
x
−e +x;
ex
;
x
1
e + ;
x
x
1
x+ x ;
e
y = exp(e−x) ⇒ x =
1
ln − ln(y) ; ln ln( y ) ; − ln(ln(y)) ; − ln2(y) ; ln
1
ln(y)
keines.
; keines.
exp(e−x) · exp(−ex) =
exp(e−x − ex) ; exp(−e−2x) ; Philipps-Universität Marburg
1
1
;
; exp(1) ;
2x
x
−x
exp(e )
exp(e − e )
keines.
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 5
Wie lautet die Umkehrfunktion (als Lösung der Gl. f (x) = y)?
Die quadrat. Gleichung x (x − 2) = y ( ⇐⇒ x2 − 2x − y = 0) hat die beiden Lösungen
p
x± = 1 ± 1 + y
Mit diesem Hinweis lassen sich die Umkehrfunktionen folgender Funktionen bestimmen
2x
x
x2 −2x
f1(x) = e − 2e
f2(x) = e
f3(x) = ln2(x) − ln(x2)
f4(x) = ln(x) + ln(x − 2)
und zwar ist die Umkehrfunktion – bei geeigneter Wahl von Def.- und Wertebereich – jeweils eine
der folgenden vier Funktionen:
√
g1(y) = ln(1 + 1 + y)
√
1+ 1+y
g3(y) = e
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Philipps-Universität Marburg
f1?
f2?
f3?
f4?
√
g2(y) = 1 + 1 + ey
g4(y) = 1 +
g1;
g1;
g1 ;
g1 ;
p
1 + ln(y)
g2;
g2;
g2;
g2;
g3;
g3;
g3;
g3;
g4.
g4.
g4.
g4.
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 6
Was ist die korrekte Nachfragefunktion?
Für die Nachfrage D(p) als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden:
1. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 0.3 Stück.
2. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent.
5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 0.03 Stück.
Welche der folgenden Nachfragefunktionen1 beschreibt jeweils das Szenario (näherungsweise)?
a) D(p) = −0.3 p + A
b) D(p) = −0.3 ln(p) + B
c) D(p) = C e−0.3 p
d) D(p) = D p−0.3
e) D(p) = −3.0 p + A
f) D(p) = −3.0 ln(p) + B
g) D(p) = C e−3 p
h) D(p) = D p−3
i) D(p) = −30 p + A
j) D(p) = −30 ln(p) + B
k) D(p) = C e−30 p
l) D(p) = D p−30
1 Preis p in Euro, Nachfrage D(p) in Stück des betrachteten Produktes;
A, B,C, D sind Konstanten mit folgender Bedeutung: A,C = Nachfrage beim Preis von 0 Euro, B, D = Nachfrage beim Preis von 1 Euro.
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K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 7
pH-Wert und Säuregehalt
In einem (populär-)wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende
Passage (leicht geändert und ergänzt):
Weltweit ist der mittlere pH-Wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um 0.12 auf etwa 8.1 gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die pH-Skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um 0.12 entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts
um satte 32 Prozent. ... Der pH-Wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser (mit einem Säuregehalt von 10−7) beträgt er 7.0.
Welche Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen pH-Wert (pH) u. Säuregehalt A?
(β, A0 , A1 , pH0 und pH1 stellen Parameter dar, die sich von Modell zu Modell ändern können.)
A = β · ln(pH) + A1;
A = A0 eβ·pH;
pH = β · ln(A) + pH1;
pH = pH0 eβ·A;
A = β · log10(pH) + A1;
A = A0 10β·pH;
pH = β · log10(A) + pH1;
pH = pH0 10β·A;
A = β · log2(pH) + A1;
A = A0 2β·pH;
pH = β · log2(A) + pH1;
pH = pH0 2β·A;
Bestimmen Sie für eines der korrekten Modelle die numerischen Werte der Parameter.
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K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 8
Elastizitäten zur Messung der Integration von Aktienmärkten
In einem wissenschaftlichen Artikel zur Integration des US-amerikanischen und englischen Aktienmarkts finden sich
folgende Passagen (leicht geändert und ergänzt):
We use weekly data during the period 1989 – 1999 of the US S&P 500 index and the UK FTSE 100 index ... The
dependent variable yt [in the model yt = α + β xt (+εt )] is the log of the UK FTSE 100 index and the independent
variable xt is the log of the S&P 500 index ... Our method selected a breakpoint at the beginning of 1991 (first Gulf
War, collapse of Soviet Union, start of the transition in the East European economies). The other structural break
was found to be at the end of 1992 [conjecture: exchange rate crisis]. The estimated values of the parameters are:
Jan 1989 -
Jan 1991
Feb 1991 -
Dec 1992
Jan 1993 -
Dec 1999
α̂
β̂
α̂
β̂
α̂
β̂
2.95
0.82
1.22
-0.58
-9.28
1.17
a) Korrigieren Sie die folgende Aussage für den Zeitraum 1991-1992 so, dass sie den Ergebnissen der Analyse
entspricht (lesen Sie dazu den Text genau, die Formulierung enthält eine ganze Reihe von Fehlern!):
1991-1992: Wenn der S&P 500 um einen Indexpunkt gestiegen ist, dann ist der FTSE 100 (im Schnitt) um 1.22
Indexpunkte gestiegen.
b) Formulieren Sie entsprechende (korrekte) Aussagen für die Zeiträume 1989-1990 und 1993-1999.
c) Für welche Zeiträume kann man von einer recht starken Integration der beiden Märkte reden?
d) Angenommen, der amerikanische treibt“ den englischen Aktienmarkt. Klassifizieren Sie die drei Zeiträume ent”
sprechend folgender Attribute der Art der Reaktion des englischen Markts: Advers, Überreaktion, Unterreaktion.
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K.-H. Schild