Folgen, S. 54
Änderungsraten (Elastizitäten)
Eine weitere, sehr wichtige Anwendung (im Skript: später):
Änderungsraten (Empfindlichkeitsmaße, Einflussmaße, Elastizitäten, ....)
Nehmen wir an, gegeben sind zwei ökonomische Größen x und y, z.B.
x = Werbeausgaben,
y = Umsatz
x = mittleres Jahreseinkommen, y = mittlerer Jahreskonsum
x = Ausgaben für Hartz-IV,
y = Zahl der Arbeitslosen
x = Preis,
y = Nachfrage(menge)
oder
oder
Änderungsraten (Empfindlichkeitsmaße, Einflussmaße, Elastizitäten, ....)
• Lautet der Zusammenhang
y = α+β·x
• Lautet der Zusammenhang
(lin-lin)
• Lautet der Zusammenhang
In einem solchen Modell gibt β an,
um wieviel (absolute) Einheiten y steigt, wenn x um eine (absolute) Einheit erhöht wird.
Meistens ist die Änderungsrate β die ökonomisch interessanteste Größe, zumindest
dann, wenn man unterstellen kann, dass x einen ‘kausalen’ Einfluss auf y ausübt.
(und nicht umgekehrt y kausal für x ist oder der Ursache-Wirkungs-Zusammenhang über ‘Drittvariablen’, sagen wir
z, vermittelt wird.)
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
ln(y) = α + β · x
(log-lin)
gibt der Parameter β (näherungsweise) an,
um wie viele relative Einheiten y wächst, wenn x um eine absolute Einheit steigt.
←− häufig nur näherungsweise oder ‘statistisch’ erfüllt
K.-H. Schild
Folgen, S. 55
Änderungsraten (Elastizitäten)
gibt der Parameter β an,
um wie viele absolute Einheiten y wächst, wenn x um eine absolute Einheit steigt.
oder
Nehmen wir außerdem an, es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen x und y
y = α+βx
Folgen, S. 56
Änderungsraten (Elastizitäten)
Änderungsraten (Empfindlichkeitsmaße, Einflussmaße, Elastizitäten, ....)
Anhand des Beispiels: x = Werbeausgaben, y = Umsatz mit
y = α + β · ln(x)
(lin-log)
gibt der Parameter β (näherungsweise) an,
um wie viele absolute Einheiten y wächst, wenn x um eine relative Einheit steigt.
• Lautet der Zusammenhang
ln(y) = α + β · ln(x)
(log-log)
gibt der Parameter β (näherungsweise) an,
um wie viele relative Einheiten y wächst, wenn x um eine relative Einheit steigt.
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Folgen, S. 57
Änderungsraten (Elastizitäten)
Exponentielle und isoelastische Modelle
• Das log-lin-Modell (’einfach-logarithmischer’ Zusammenhang mit dem Log. nur bei y) kann
man auch so schreiben:
y = α+βx
(exp)
β quantifiziert dann den Effekt, den ein Euro Werbeausgaben auf den Umsatz hat (Grenz-
ln(y) = α + β · x ⇐⇒ y = eα+β·x ⇐⇒
(Fktnl.gl.)
y = y0 eβx
(y0 := eα)
Einfluss der Werbung auf den Umsatz, oder Grenzertrag der Werbung).
Es beschreibt also ein exponentielles Modell (in y);
Ein Problem ist:
Wenn x = t = Zeit, dann exp. Wachstumsmod. mit β = λ = (momentane) Wachstumsrate
• Das log-log-Modell (‘doppelt-logarithmischer’ Zusammenhang, Log. bei x und y) lässt sich
Gerade für ökonom. Größen ist ein lineares Modell oft nicht adäquat.
auch so schreiben:
Z.B. könnte es sein, dass Änderungen in x und/oder y eher prozentual zu messen sind.
(exp)
ln(y) = α+β·ln(x) ⇐⇒ y = eα+β·ln(x) ⇐⇒ y = eα ·eβ ln(x) ⇐⇒ y = y1 xβ (y1 := eα)
Es gibt ein äußerst einfaches Rezept, um solche Situationen zu behandeln:
(Fktnl.gl.)
(Basiswech.)
Sind für eine Größe relative (prozentuale) Änderungen adäquat, verwende ein lineares
Modell im (natürl.) Logarithmus der Größe. (Die ‘Größe’ kann x oder y oder beides sein!)
Es kennzeichnet also ein isoelastisches Modell
(Potenzfunktion = isoelast. Fkt = Cobb-Douglas-Funktion = ...)
Die Änderungsrate β von y bzw. ln(y) mit x bzw. ln(x) erhält dann die entsprechend umdefinierte
Bedeutung, wie auf der folgenden Folie für die vier daraus abgeleiteten Modelle ausgeführt:
Das β in einem solchen Modell nennen die Ökonomen gerne die Elastizität (mit der y auf
Änderungen in x reagiert; sie verwenden dafür auch eher den Buchstaben ε statt β).
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Folgen, S. 58
Änderungsraten (Elastizitäten)
Folgen, S. 60
Änderungsraten (Elastizitäten)
Zusammenfassung
Quiz: pH-Wert und Säuregehalt
In einem (populär-)wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende
Passage (leicht geändert und ergänzt):
Durch die Auflösung nach y haben wir also folgende Entsprechungen:
log-lin-Modell ⇐⇒ exponentielles Modell
Weltweit ist der mittlere pH-Wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um 0.12 auf etwa 8.1 gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die pH-Skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um 0.12 entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts
um satte 32 Prozent. ... Der pH-Wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser (mit einem Säuregehalt von 10−7) beträgt er 7.0.
log-log-Modell ⇐⇒ isoelastisches Modell
Zusammengefasst:
Modell
lin - lin
lin - log
log - lin
log - log
Formel
y = α+βx
y = α + β ln(x)
ln(y) = α + β x
ln(y) = α + β ln(y)
äq. Formel
y = α+βx
y = α + β ln(x)
y = y0 eβ x
y = y1 xβ
β misst Effekt
abs. Änd. x auf
abs. Änd. y
rel. Änd. x auf
abs. Änd. y
abs. Änd. x auf
rel. Änd. y
rel. Änd. x auf
rel. Änd. y
Welche Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen pH-Wert (pH) u. Säuregehalt A?
(β, A0 , A1 , pH0 und pH1 stellen Parameter dar, die sich von Modell zu Modell ändern können.)
A = β · ln(pH) + A1;
A = A0 eβ·pH;
pH = β · ln(A) + pH1;
pH = pH0 eβ·A;
A = β · log10(pH) + A1;
A = A0 10β·pH;
pH = β · log10(A) + pH1;
pH = pH0 10β·A;
A = β · log2(pH) + A1;
A = A0 2β·pH;
pH = β · log2(A) + pH1;
pH = pH0 2β·A;
Bestimmen Sie für eines der korrekten Modelle die numerischen Werte der Parameter.
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K.-H. Schild
Folgen, S. 59
Änderungsraten (Elastizitäten)
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Folgen, S. 61
Änderungsraten (Elastizitäten)
Quiz: Was ist die korrekte Nachfragefunktion?
Aufgabe: Elastizitäten zur Messung der Integration von Aktienmärkten
Für die Nachfrage D(p) als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden:
In einem wissenschaftlichen Artikel zur Integration des US-amerikanischen und englischen Aktienmarkts finden sich
folgende Passagen (leicht geändert und ergänzt):
1. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 0.3 Stück.
We use weekly data during the period 1989 – 1999 of the US S&P 500 index and the UK FTSE 100 index ... The
dependent variable yt [in the model yt = α + β xt (+εt )] is the log of the UK FTSE 100 index and the independent
variable xt is the log of the S&P 500 index ... Our method selected a breakpoint at the beginning of 1991 (first Gulf
War, collapse of Soviet Union, start of the transition in the East European economies). The other structural break
was found to be at the end of 1992 [conjecture: exchange rate crisis]. The estimated values of the parameters are:
2. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent.
5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 0.03 Stück.
Welche der folgenden Nachfragefunktionen3 beschreibt jeweils das Szenario (näherungsweise)?
Jan 1989 -
Jan 1991
Feb 1991 -
Dec 1992
Jan 1993 -
α̂
β̂
α̂
β̂
α̂
Dec 1999
β̂
2.95
0.82
1.22
-0.58
-9.28
1.17
a) Korrigieren Sie die folgende Aussage für den Zeitraum 1991-1992 so, dass sie den Ergebnissen der Analyse
entspricht (lesen Sie dazu den Text genau, die Formulierung enthält eine ganze Reihe von Fehlern!):
a) D(p) = −0.3 p + A
b) D(p) = −0.3 ln(p) + B
c) D(p) = C e−0.3 p
−3 p
d) D(p) = D p−0.3
−3
1991-1992: Wenn der S&P 500 um einen Indexpunkt gestiegen ist, dann ist der FTSE 100 (im Schnitt) um 1.22
e) D(p) = −3.0 p + A
f) D(p) = −3.0 ln(p) + B
g) D(p) = C e
h) D(p) = D p
Indexpunkte gestiegen.
i) D(p) = −30 p + A
j) D(p) = −30 ln(p) + B
k) D(p) = C e−30 p
l) D(p) = D p−30
c) Für welche Zeiträume kann man von einer recht starken Integration der beiden Märkte reden?
b) Formulieren Sie entsprechende (korrekte) Aussagen für die Zeiträume 1989-1990 und 1993-1999.
A, B,C, D sind Konstanten mit folgender Bedeutung: A,C = Nachfrage beim Preis von 0 Euro, B, D = Nachfrage beim Preis von 1 Euro.
d) Angenommen, der amerikanische treibt“ den englischen Aktienmarkt. Klassifizieren Sie die drei Zeiträume ent”
sprechend folgender Attribute der Art der Reaktion des englischen Markts: Advers, Überreaktion, Unterreaktion.
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
Abt. Statistik, Fb. Wiwi, Philipps-Universität Marburg
3 Preis p in Euro, Nachfrage D(p) in Stück des betrachteten Produktes;
K.-H. Schild
K.-H. Schild
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Anderungsraten