Verschiedenes Elementarmathematik

Verschiedenes, S. 2
Körpergesetze
Die Menge der reellen Zahlen R mit der normalen Addition und Multiplikation von Zahlen bildet
einen Körper, d.h. die folgenden beiden Axiome sind erfüllt:
Verschiedenes
K.-H. Schild
21. Oktober 2010
Das Kapitel Verschiedenes“ des Skripts enthält Themengebiete, die sich schlecht einordnen
”
lassen.
Die folgenden Folien behandeln
• Etwas elementare Mathematik.
• Endliche Summen und Produkte.
Axiom 3.1. [Addition]
a) a + b = b + a
(Kommutativgesetz)
b) a + (b + c) = (a + b) + c
(Assoziativgesetz)
c) Es existiert genau ein Element 0 ∈ R mit a + 0 = a für alle a ∈ R.
d) Zu zwei reellen Zahlen a, b existiert genau ein Element x ∈ R mit a = b + x.
(Das Element x wird mit a − b bezeichnet. Gilt a = 0, so schreibt man kurz −b.)
Axiom 3.2. [Multiplikation]
a) a · b = b · a
(Kommutativgesetz)
b) a · (b · c) = (a · b) · c
(Assoziativgesetz)
c) Es existiert genau ein Element 1 ∈ R mit a · 1 = a für alle a ∈ R.
• Vollständige Induktion.
d) Zu zwei reellen Zahlen a, b existiert genau ein Element x ∈ R mit a = b · x.
(Das Element x wird mit ab bezeichnet. Gilt a = 1, so schreibt man kurz b−1.)
Schwerpunkt ist die vollständige Induktion.
e) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
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(Distributivgesetz)
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Verschiedenes, S. 1
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Verschiedenes, S. 3
Weitere Rechenregeln und Regeln der Bruchrechnung
Elementarmathematik
Wir wiederholen – sehr kursorisch – einige grundlegende Rechenregeln der Mathematik.
Aus diesen Grundeigenschaften lassen sich eine Reihe weiterer Eigenschaften ableiten, von
denen hier einige aufgezählt werden:
Die
Satz 3.1. Für reelle Zahlen a, b, c, d gilt:
– natürlichen Zahlen N
– ganzen Zahlen Z
a) a + (−b) = a − b
b) −(−a) = a
– und die reellen Zahlen R
c) −(a + b) = −a − b
d) −(a − b) = −a + b
e) a · 0 = 0
f) a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
sowie die auf ihnen definierte Addition und Multiplikation werden als gegeben vorausgesetzt.
Behandelt werden:
∀a ∈ R
g) −(a · b) = (−a) · b = −a · b = a · (−b)
• Allgemeine Rechengesetze für reelle Zahlen
• Potenzregeln
• Binomische Formeln
h) (−a) · (−b) = a · b
i)
a·c a
=
b·c b
j)
k)
a c a·c
· =
b d b·d
l)
a c a · d c · b ad ± cb
± =
±
=
b d b·d d ·b
bd
a c a d a·d
: = · =
b d b c b·c
• Quadratische Gleichungen
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Verschiedenes, S. 4
Verschiedenes, S. 6
Wurzeln
Beispiele
Das Ziehen einer Wurzel ist eine Umkehrung des Potenzierens mit positiven Exponenten n.
•
•
Man sucht dabei die Basis x, deren n-te Potenz die Zahl a ergibt, also
3 4 5
3+4−5
2
+ − =
=
7 7 7
7
7
xn = a.
3·3 4·4
9 − 16
7
3 4
− =
−
=
=− .
4 3
12
12
12
12
Eine Lösung dieser Potenzgleichung heißt die n-te Wurzel von a und wird mit
x=
6 3 2
11
1 1
= 1.83̄ .
• 1+ + = + + =
2 3
6 6 6
6
bezeichnet. Die Zahl a heißt der Radikant, die Zahl n die Ordnung der Wurzel.
√
√
Die zweite Wurzel 2 a wird Quadratwurzel genannt und vereinfachend mit a bezeichnet.
12 6
4
3
12 + 6 + 4 + 3
25
1 1 1
+ + +
=
=
= 2.083̄ .
• 1+ + + =
2 3 4
12 12 12 12
12
12
120 60
40
30
24
250 + 24
274
137
1 1 1 1
• 1+ + + + =
+
+
+
+
=
=
=
= 2.283̄
2 3 4 5
120 120 120 120 120
120
120
60
B EISPIEL :
Die Gleichung x2 = 9 hat zwei reelle Lösungen, nämlich
x1 =
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√
n
a
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Verschiedenes, S. 5
√
√
9 = 3 und x2 = − 9 = −3.
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Verschiedenes, S. 7
Potenzregeln
Wurzeln mit negativer und gebrochen rationaler Ordnung
Es sei a eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl. Die n-te Potenz von a, geschrieben an, ist
definiert durch
an = a · a
· ... · a .
Durch die Vereinbarung
n−mal
Dabei heißt a die Basis und n der Exponent der Potenz. Durch die Vereinbarungen
a0 = 1
und
1
=: a−n
an
wird das Wurzelziehen auf negative ganze Ordnungen ausgedehnt.
(für a = 0)
kann man das Potenzieren auf nicht-positive ganzzahlige Exponenten ausdehnen, d.h. n ∈ Z.
Es lassen sich die folgenden Rechenregeln, die sog. Potenzregeln beweisen.
Wurzeln können als Potenzen mit gebrochenen (oder rationalen) Exponenten aufgefasst werden.
Es gilt die Beziehung
√
√
n
a = a1/n oder allgemeiner n am = am/n mit m, n ∈ Z und n ≥ 0.
Satz 3.2. Für a, b ∈ R und n, m ∈ Z gilt:
m
a) (an) = an·m
b) an · am = an+m
Die aufgeführten Regeln für das Rechnen mit Potenzen ( Potenzregeln“) gelten auch für rationale
”
Exponenten.
an
c) m = an−m, (a = 0)
a
d) an · bn = (a · b)n
a
an
e) n = ( )n,
(b = 0) .
b
b
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√
1
√
= −n a
n
a
Die Regeln für das Wurzelziehen können somit aus den Potenzregeln abgeleitet werden.
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Verschiedenes, S. 8
Verschiedenes, S. 10
Binomische Formeln
Absolutbetrag einer reellen Zahl
Die sogenannten binomischen Formeln lassen sich sehr einfach aus den Grundgesetzen ableiten. Zum Beispiel erhält man die zweite binomische Formel folgendermaßen aus dem Distributivgesetz:
Definition 3.4. Die nicht-negative Zahl
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a(a − b) − b(a − b) = aa − ab − ba + bb.
|a| =
Da, nach dem Kommutativgesetz, ab = ba, ergibt sich schließlich
(a − b)2 = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2.
a, falls a ≥ 0
−a, falls a < 0
heißt Absolutbetrag einer reellen Zahl a.
Wir fassen die drei Regeln in einem Satz zusammen:
B EISPIEL :
Satz 3.3. [Binomische Formeln]
Für die reellen Zahlen −4 und 4 gilt: | − 4| = |4| = 4;
umgekehrt folgt aus |a| = 4, dass a = 4 oder a = −4.
1) (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
2) (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
Geometrisch stellt der Absolutbetrag |a| den Abstand auf der Zahlengeraden von a zum Nullpunkt dar.
3) (a − b) · (a + b) = a2 − b2
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Verschiedenes, S. 9
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Verschiedenes, S. 11
Beispiel zu den elementaren Rechenregeln
Der Ausdruck
Lösen von Gleichungen
Das Lösen von Gleichungen ist eine der häufigsten Aufgaben in der Mathematik.
x
3xy
x−y
−
+ 2
.
x + y x − y x − y2
Man unterscheidet die Komplexität von Gleichungen hinsichtlich:
soll vereinfacht werden.
– Anzahl der Unbekannten: x, y, ...
Dazu werden die drei Terme gleichnamig gemacht, um sie auf einen Bruchstrich schreiben zu
können. Dabei werden mehrfach binomische Formeln angewandt:
– Anzahl der Bedingungsgleichungen: 1, 2, ...
– Form der Problemstellung: Ungleichung oder Gleichung
x
3xy
x−y
−
+
x + y x − y x 2 − y2
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=
(x + y)x
3xy
(x − y)(x − y)
−
+
(x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x − y)(x + y)
=
(x − y)2 − (x + y)x + 3xy
(x − y) (x + y)
=
x2 − 2xy + y2 − x2 − xy + 3xy
x 2 − y2
=
y2
2
x − y2
– Funktionale Struktur der Gleichungen in den Unbekannten: linear, quadratisch, ...
Wir wollen uns (hier) mit dem einfachsten Fall einer Gleichung (oder Ungleichung) in einer Unbekannten auseinander setzen. Die zugehörige Gleichung lässt sich immmer in die Struktur eines
Nullstellen-Problems
Gesucht x ∈ R so, dass f (x) = 0
bringen, wobei f eine gegebene Funktion ist.
Lineare Gleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktion f linear ist und quadratische
dadurch, dass f quadratisch ist. In diesen Fällen kann man explizite Lösungsformeln angeben.
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Verschiedenes, S. 12
Verschiedenes, S. 14
Lineare Ungleichungen
Lösung linearer Gleichungen
Als Beispiel behandeln wir die lineare Gleichung (a) 3x + 10 = x + 4
Die Gleichung heißt linear, da x nur in der ersten Potenz, x1 = x, auftritt.
(a)
⇐⇒
3x + 10 = x + 4
Lineare Ungleichungen lassen sich im Prinzip genauso behandeln wie lineare Gleichungen. Der
einzige Punkt, den man beachten muss, ist:
| − 10
Bei der Multiplikation, Division oder dem Potenzieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen (>, ≥, <, ≤) in der Ungleichung um.
3x + 10 − 10 = x + 4 − 10
⇐⇒
3x = x − 6
⇐⇒
3x − x = x − 6 − x
⇐⇒
3x − x = x − x − 6
⇐⇒
|−x
2x = −6
−6
2x
=
2
2
x = −3
⇐⇒
⇐⇒
Wir behandeln beispielhaft die Ungleichung
−2x + 10 > 0.
−2x + 10 > 0
|:2
| − 10
−2x > −10 | : (−2) !!
x < 5
Lösungen der Ungleichung sind daher alle x mit x < 5.
Die Aussage “ 3x+10 = x+4“ ist also äquivalent zu der Aussage “ x = −3“. Lösung der Gleichung
(a) ist daher x = −3.
Anders gesagt, die Lösungsmenge ist das Intervall (−∞, 5).
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Verschiedenes, S. 13
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Verschiedenes, S. 15
Quadratische Gleichungen
Graphische Interpretation der Lösung
Die auf der letzten Folie behandelte Gleichung kann man in eine Standardform transformieren:
3x + 10 = x + 4
⇐⇒
| − 4, −x
Allgemeine Form
a · x2 + b · x + c = 0
2x + 6 = 0 .
Division durch a −→ Normalform:
Wir setzen
wobei a = 0
x2 + p x + q = 0
f (x) = y = 2x + 6
und erhalten damit eine lineare Funktion (Gerade) in x. Die Lösung der Gleichung entspricht
Graph der Funktion f (x) = x2 + p x + q: Eine (nach oben offene) Parabel
offensichtlich der Nullstelle dieser Funktion, denn die Suche nach der Nullstelle führt auf die
gleiche Bedingungsgleichung an x: f (x) = 0 ⇐⇒ 0 = 2x + 6
Daher grundsätzlich folgende drei Möglichkeiten:
y
y
f(x) = 2x +6
Parabel-Scheitelpunkt
unterhalb der x-Achse:
Zwei Lösungen
5
f(x) = 0
-3
Parabel-Scheitelpunkt
oberhalb der x-Achse:
Keine Lösung
1
1
x
0
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Parabel-Scheitelpunkt
auf der x-Achse:
Genau eine Lösung
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x
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Verschiedenes, S. 16
Verschiedenes, S. 18
p-q-Formel
Lösung mit quadratischer Ergänzung
Das Vorgehen wird erläutert anhand der quadratischen Gleichung
Mit dem Prinzip der quadratischen Ergänzung bewiesen:
x − 6x + 8 = 3.
2
2
Die Gleichung wäre direkt lösbar, wenn anstatt der 8 eine 9 (=3 ) auf der linken Seite stünde, da
dann der binomische Term x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 entsteht. Daher ergänzt“ man eine 9:
”
Satz 3.5. [ p-q-Formel]
Die Lösungen der quadratischen Gleichung (in Normalform):
x2 + p · x + q = 0
x2 − 6x + 8 = 3
2
2
x2 − 6x +3
− 3 +8 = 3
sind
p
x± = − ±
2
quadr. Erg.
(x2 − 6x + 9) − 9 + 8 = 3 | + 9 − 8 = +1
p 2
√
(x − 3)2 = 4 |
∨
x − 3 = +2
x1 = 1
∨
x2 = 5.
2
− q,
sofern die Diskriminante 2 − q positiv ist.
(Ist die Diskriminante negativ, so hat die Gleichung keine Lösung. Ist sie null, hat die Gleichung
nur die Lösung −p/2.)
(x2 − 6x + 9) = 4
x − 3 = −2
p 2
Die Gleichung hat also die beiden Lösungen x1 = 1, x2 = 5.
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Verschiedenes, S. 17
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Verschiedenes, S. 19
Beweis der p-q-Formel
Lösung quadratischer Ungleichungen
x + px + q = 0
p 2 p 2
+q = 0
x + px + 2 − 2
2
Betrachte exemplarisch die Situation ‘Normalform’ mit ≥:
2
x2 + p · x + q ≥ 0.
quadr. Erg.
2
2
x2 + px + 2p − 2p + q = 0
binom. Term
2
x + 2p
−
Faktorisierung der linken Seite:
Sind x± die beiden Lösungen der zugehörigen Gleichung, so gilt immer
p 2
+q = 0
2
2
p 2
x + 2p
=
−q
2 √
|
x2 + p · x + q = (x − x+) · (x − x−)
=: Diskriminante
p 2
x + p =
−q
2
2
p 2
−q
x + 2p = ±
2
p 2
−q
x = − 2p ±
2
p
p 2
p
p 2
Die Gleichung hat also die beiden Lösungen x+ = − 2 +
−
q
,
x
=
−
−
− q.
−
2
2
2
Die Lösungsmenge der Ungleichung besteht aus den beiden Intervallen (−∞, x−] und [x+, +∞).
Denn:
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x2 + p · x + q ≥ 0 ⇐⇒
(x ≥ x− ∧ x ≥ x+) ∨
⇐⇒
(x ≤ x− ∧ x ≤ x+)
(x ≥ x+) ∨
(x ≤ x−)
Da x− < x+, besteht die Lösungsmenge also aus den beiden Intervallen [x+, ∞) und (−∞, x−].
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Verschiedenes, S. 20
Verschiedenes, S. 22
Endliche Summen und Produkte
Rechenregeln für Summen
Das Summenzeichen ∑ (griechisch: Sigma) dient der verkürzten Schreibweise von Summen
reeller Zahlen am, am+1, ..., an−1, an:
am + am+1 + ... + an−1 + an =:
Im folgenden Satz sind einige Rechenregeln für Summen zusammengestellt.
Satz 3.6. Es gilt:
n
∑ ai
(lies: Summe der ai von i = m bis i = n).
a)
i=m
i ist der Laufindex, der
b)
• beginnend von der Summationsuntergrenze m ∈ Z
• bis zur Summationsobergrenze n ∈ Z läuft
n
n
n
i=m
i=m
i=m
∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi)
k
n
i=m
i=k+1
∑ ai + ∑
n
c)
d.h. die Werte m, m + 1, ..., n − 1, n durchläuft (wobei m ≤ n sein muss).
∑c =
i=m
ai =
n
∑ ai
(eine Version des Assoziativgesetzes)
(m ≤ k < n) (Aufspaltung einer Summe, auch Assoziativgesetz)
i=m
(n − m + 1) ·c
(c = const.) ( Konstantenregel“)
”
Anz. Summanden
Anmerkung: Es ist egal, wie man den Laufindex nennt:
n
n
n
d)
∑ ai = ∑ ak = ∑ at
i=m
k=m
t=m
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Verschiedenes, S. 21
n
n
i=m
i=m
∑ c · ai = c · ∑ ai
(c = const.) (eine Version des Distributivgesetzes)
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Verschiedenes, S. 23
Doppelsummen
Zwei Beispiele für endliche Summen
Wir betrachten nun doppelt indizierte Größen ai, j (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n).
Diese können in einer Tabelle (Index i für Zeilen, Index j für Spalten) angeordnet werden:
B EISPIELE :
(1) Es sei ai = 1i , m = 1 und n = 5. Dann ist
n
5
i=m
i=1
a1,1
...
...
...
am,1 . . . am,n
∑ ai = ∑ 1i = 1 + 12 + 13 + 14 + 15 = 2.283̄.
Werden zunächst die Zeilen summiert und dann die Spalten, ergibt sich die Doppelsumme
∑n a1, j + . . . + ∑nj=1 am, j =
j=1
(2) Es sei ai = 2i, m = −2 und n = 2. Dann ist
s1
n
2
i=m
i=−2
∑ ai = ∑ 2i = (−4) + (−2) + 0 + 2 + 4 = 0.
sm
m
∑
i=1
∑n ai, j
j=1
si
=
m
n
∑ ∑ ai, j
i=1 j=1
Satz 3.7. (Fortsetzung)
m
e)
f)
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(Zeilensumme: s1 = ∑nj=1 a1, j )
...
(Zeilensumme: sm = ∑nj=1 am, j )
a1,n
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n
n
m
∑ ∑ ai, j = ∑ ∑ ai, j
i=1 j=1
n m
j=1 i=1
n
i=1 j=1
i=1
∑ ∑ ai · b j =
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(eine Version des Kommutativgesetzes)
m a
i
∑ · ∑ bj
(eine Version des Distributivgesetzes)
j=1
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Verschiedenes, S. 26
Beispiel für Doppelsummen
Rechenregeln für Produkte
B EISPIEL :
In einer Tabelle seien die Absatzmengen ai, j der Produkte i = 1, 2 auf den Absatzmärkten
j = 1, 2, 3 angegeben:
i ↓ ,j →
1
2
Für Produkte gelten die folgenden Rechenregeln:
Satz 3.8. Es gilt:
1
20
0
2
10
40
3
0
20
n
a)
i=m
Die Gesamtabsatzmenge ist
b)
2
3
∑ ∑ ai, j = (20 + 10 + 0) + (0 + 40 + 20) = 90.
i=1 j=1
i=m
k
n
i=m
i=k+1
∏ ai · ∏
n
c)
Man erhält das gleiche Ergebnis, wenn man zunächst über die Produkte und dann über die
Absatzmärkte summiert:
3
n
∏ ai · ∏ bi =
∏ c · ai =
i=m
n
∏ ai · bi
bzw.
a’)
i=m
ai =
n
∏ ai
∏ni=m ai
=
∏ni=m bi
n
ai
∏ bi
(bi = 0 ∀ i)
i=m
(m ≤ k < n)
i=m
n
n−m+1
c · ∏ ai
(c = const.)
Anz. Faktoren i=m
Speziell gilt:
2
∑ ∑ ai, j = (20 + 0) + (10 + 40) + (0 + 20) = 90.
n
∏ c = cn
j=1 i=1
∀n ∈ N
.
i=1
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Verschiedenes, S. 25
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Verschiedenes, S. 27
Endliche Produkte
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Das Produktzeichen ∏ (griechisch: Pi) dient der verkürzten Schreibweise von Produkten reeller
Zahlen am, am+1, ..., an−1, an:
Die vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, mit dem man eine Gesamtaussage“ der Form
”
am · am+1 · ... · an−1 · an =:
n
∏ ai
“Für alle n ∈ N gilt Aussage(n)“
beweisen kann.
(lies: Produkt der ai von i = m bis i = n).
i=m
Die Multiplikationsuntergrenze m und die Multiplikationsobergrenze n sind ganzzahlig mit m ≤ n.
Man hat also eine von dem Parameter n ∈ N abhängige Aussage Aussage(n)“ und möchte sie (nicht nur für ein
”
einzelnes n, sondern gleich) für alle n ∈ N beweisen.
Das darf natürlich nur gehen, wenn die Gesamtaussage Für alle n ∈ N gilt Aussage(n)“ auch wirklich wahr ist.
”
Ein Beweis mit vollständiger Induktion umfasst zwei Schritte:
B EISPIEL :
1. Induktionsanfang:
Es wird gezeigt, dass die Aussage(1), d.h. die Aussage, die sich für n = 1 ergibt, wahr ist.
1
i
Es sei ai = , m = 1 und n = 5. Dann ist
n
5
1 1 1 1
1
1
∏ ai = ∏ i = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 .
i=m
i=1
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2. Induktionsschritt:
Zeige für beliebiges n ∈ N:
Aussage(n) ⇒ Aussage(n + 1).
a) Aufstellen der Induktionsannahme bzw. Induktionsvoraussetzung (kurz: IV)
Es wird angenommen, dass Aussage(n) (für ein beliebiges n ∈ N) gültig ist.
b) Eigentlicher Induktionsschritt:
Es wird gezeigt, dass – unter der Induktionsvoraussetzung für n – die Aussage(n + 1)
(d.h. die Aussage, die sich für das nächste n ergibt) wahr ist.
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Verschiedenes, S. 28
Verschiedenes, S. 30
Beispiel 1 (Summen-Induktion)
Warum funktioniert die vollständige Induktion?
Wenn die beiden Schritte der vollständigen Induktion durchgeführt werden können, ist
n(n + 1)
∀ n ∈ N.
2
i=1
Aussage(n)
n
zz :
Aussage(n) für alle n ∈ N
bewiesen.
∑i =
n = 1:
Für n = 1 ist (Vergleich zwischen linker und rechter Seite):
Warum?
• Mit dem Induktionsanfang zeigt man die Aussage für n = 1.
• Wenn die Aussage für n = 2 gilt, dann zeigt die gleiche Überlegung, jetzt mit n = 2 statt n = 1,
dass sie für n = 3 gilt.
• Und so weiter, für alle n ∈ N“.
”
n
1
i=1
i=1
∑ i = ∑ i = 1.
• Aber dann ist die Induktionsvoraussetzung für n = 1 erfüllt. Indem man den Induktionsschritt
mit n = 1 durchführt, gilt sie auch für n + 1 = 2.
und
n(n + 1) 1 · 2
=
= 1.
2
2
Also gilt die Aussage für n = 1.
Dass diese Verkettungsüberlegung tatsächlich die Gesamtaussage beweist, leuchtet zwar ein, ist aber an sich nicht
zu beweisen. Deswegen muss man, ganz genau genommen, axiomatisch fordern, dass die vollständige Induktion
als Beweisprinzip akzeptiert wird.
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Verschiedenes, S. 29
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Verschiedenes, S. 31
Beispiel 1, Induktionsschritt
Schematisches Vorgehen bei der vollständigen Induktion
Schematisch lässt sich das Vorgehen bei der vollständigen Induktion folgendermaßen skizzieren.
In dieser Form wird es in den folgenden Beispielen angewandt.
IV : Sei n ∈ N beliebig, aber fest. Wir nehmen an, es gilt:
n
∑i =
• n = 1:
i=1
Zeige Aussage(1)
n → n + 1:
n+1
• IV:
zz :
Sei n ∈ N beliebig, aber fest. Wir nehmen an, Aussage(n) gilt.
• n → n + 1:
zz: Aussage(n + 1)
i=1
(n + 1)(n + 2)
.
2
Beweis dazu:
n+1
∑i
(zz := zu zeigen“)
”
i=1
Beweis dazu: ....
[Zeige Aussage(n) ⇒ Aussage(n + 1)]
=
n
∑i +
i=1
(n + 1)
(n+1)−ter Summand
IV
n
n(n + 1)
+ (n + 1) = (n + 1) + 1 · (n + 1)
=
2
2
n
n 2
= ( + 1)(n + 1) = ( + )(n + 1)
2
2 2
(n + 2)(n + 1) (n + 1)(n + 2)
=
=
q.e.d.
2
2
Wichtige Anmerkung:
Natürlich lässt sich die vollständige Induktion auch auf eine Gesamtaussage der Form “Für alle
n ≥ n0 gilt Aussage(n)“ anwenden. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Induktionsanfang bei n = n0 anstatt bei n = 1 gelegt wird.
Philipps-Universität Marburg
∑i=
n(n + 1)
.
2
K.-H. Schild
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Verschiedenes, S. 32
Verschiedenes, S. 34
Beispiel 3 (Produkt-Induktion)
Beispiel 2 (nochmal eine Summen-Induktion)
n2(n + 1)2
∀ n ∈ N.
4
i=1
Aussage(n)
n
n
zz :
∑ i3 =
zz :
i=2
1
i=1
i=1
n
∏
∑ i3 = ∑ i3 = 13 = 1.
und
Philipps-Universität Marburg
1−
i=2
1
=
i2
K.-H. Schild
∀n≥2
1−
i=2
1 3
1
1
= 1− 2 = 1− =
i2
2
4 4
3
n+1 2+1
=
= .
2n
2·2
4
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Verschiedenes, S. 35
Beispiel 2, Induktionsschritt
IV :
Beispiel 3, Induktionsschritt
IV :
Sei n ∈ N beliebig, aber fest. Wir nehmen an, es gilt:
Sei n ∈ N beliebig, aber fest. Wir nehmen an, es gilt:
n
n2(n + 1)2
.
∑ i3 =
4
i=1
n
n → n + 1:
∏
n → n + 1:
(n + 1)2(n + 2)2
.
zz : ∑ i =
4
i=1
∑i
3
=
n
∑i
3
i=1
i=1
+
Beweis dazu:
n+1
1
∏(1 − i2 )
(n + 1)
3
=
=
=
=
n
1
∏(1 − i2 ) ·
i=2 i=2
(n+1)−ter Summand
IV
IV
=
1
n+1
.
=
i2
2n
n2 + 4(n + 1)
n2 + 4n + 4
(n + 1)2 =
(n + 1)2
4
4
(n + 2)2
(n + 1)2(n + 2)2
(n + 1)2 =
q.e.d.
4
4
Philipps-Universität Marburg
1−
1 (n + 1)2
(n+1)−ter Faktor
=
1 n+1 · 1−
2n
(n + 1)2
=
n+1
n+1
1
n+1
=
−
−
2n
2n (n + 1)2
2n
2n (n + 1)
=
(n + 1)2 − 1
2n (n + 1)
=
n2 + 2n + 1 − 1
2n (n + 1)
=
n2 + 2n
2n (n + 1)
=
n (n + 2)
2n (n + 1)
(IV)
n2(n + 1)2
+ (n + 1)3
4
2
2
n
n
4(n + 1)
+ (n + 1) (n + 1)2 =
+
(n + 1)2
4
4
4
K.-H. Schild
1−
n+1 1
(n + 1) + 1
n+2
=
.
zz : ∏ 1 − 2 =
i
2(n
+
1)
2(n
+ 1)
i=2
3
n+1
i=2
n+1
Philipps-Universität Marburg
2
Also gilt die Aussage für n = 2.
Verschiedenes, S. 33
Beweis dazu:
1 n+1
=
i2
2n
Aussage(n)
1−
∏
und
12(1 + 1)2 1 · 4
n2(n + 1)2
=
=
= 1.
4
4
4
Also gilt die Aussage für n = 1.
n = 2:
Für n = 2 gilt (Vergleich zwischen linker und rechter Seite):
n = 1:
Für n = 1 gilt (Vergleich zwischen linker und rechter Seite):
n
∏
=
n+2
2 (n + 1)
q.e.d.
K.-H. Schild
Verschiedenes, S. 36
Vollständige Induktion, Beispiel 4
zz : 6 n − 1 ist durch
5 teilbar, ∀ n ∈ N.
Aussage(n)
n = 1:
Für n = 1 ist:
61 − 1 = 5.
Das Ergebnis, 5, ist durch 5 teilbar. Demnach gilt die Aussage für n = 1.
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Verschiedenes, S. 37
Beispiel 4, Induktionsschritt
IV :
Sei n ∈ N beliebig. Wir nehmen an, es gilt
6n − 1 ist durch 5 teilbar.
n → n + 1:
zz : 6n+1 − 1 ist durch 5 teilbar.
Beweis dazu: Wir schreiben
6n+1 − 1 = 6n · 6 − 1
n
und ersetzen den Term 6 mit Hilfe der IV. Nach IV ist:
6n − 1
⇒
6n
=
=
5 · m (mit einem geeigneten m ∈ N)
5 · m + 1.
Damit folgt:
6n+1 − 1
=
(IV)
⇒ 6n+1 − 1 ist durch 5 teilbar.
Philipps-Universität Marburg
6n · 6 − 1
=
(5 · m + 1) · 6 − 1
=
5·6·m+6−1
=
5·6·m+5
=
5 · (6 · m + 1)
= m ∈N
q.e.d.
K.-H. Schild