¨Ubung zum Lehrerweiterbildungskurs `Stochastik` WiSe 2012/2013

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 19 (Binomialverteilung, Poissonverteilung)1
In Deutschland spielen zur Zeit etwa 31,5% der Bevölkerung ( rd. 80 Millionen) Lotto und geben schätzungsweise 120 Millionen Tipps ab.2 Bestimmen
Sie approximativ die Verteilung der Anzahl der Gewinner mit “6 Richtigen”.
Wie groß ist insbesondere die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 0, 1, 2, . . . , 11
solcher Gewinner gibt? Wo liegt der maximale Wert (mit Begründung)?
Lösungsskizze
Wegen der Größe der Zahlen, und weil es sich um “seltene” Ereignisse handelt, nähern wir die Binomialverteilung der betrachteten Zufallsvariablen X,
Bn;p
mit n = 120 · 106
und p =
1
49
6
,
durch die Poissonverteilung mit
λ = np ≈ 120 · 106 ·
1
≈ 8, 57
14 · 106
an.
Daher gilt:
P ({X = k}) ≈
λk −λ 8, 57k −8,57
e ≈
e
.
k!
k!
Insbesondere folgt:
P ({X = 0}) ≈
P ({X = 1}) ≈
e−8,57
8, 57 · e−8,57
≈
≈
0, 0002
0, 0016
P ({X = 2}) ≈
8,572 −8,57
2 e
8,573 −8,57
6 e
8,574 −8,57
24 e
8,575 −8,57
120 e
≈
0, 007
≈
0, 020
≈
0, 043
≈
0, 073
P ({X = 3}) ≈
P ({X = 4}) ≈
P ({X = 5}) ≈
k
P ({X
P ({X
P ({X
P ({X
P ({X
P ({X
= 6})
= 7})
= 8})
= 9})
= 10})
= 11})
≈
≈
≈
≈
≈
≈
0, 104
0, 128
0, 137
0, 130
0, 112
0, 087
k+1
λ
Das Maximum liegt bei k = 8, da λk! ≤ (k+1)!
genau für k + 1 ≤ λ gilt.
Anmerkung: Entgegengesetzt zur Annahme hat nicht jeder Tipp die gleiche
Chance, abgegeben zu werden.
1
2
frei nach H.Scheid:Stochastik in der Kollegstufe, BI
Hier dürfen Sie annehmen, dass die abgegebenen Tipps gleichverteilt sind.